CF 1092E Minimal Diameter Forest 题解
Solution 1
首先,如果我们已经把这棵可爱的森林连成了一棵更加可爱的树,那么新树的直径是多少呢?
类比CF804D(有我题解),可以得到直径来自下面两种情况之一:
①老树中的直径(即在初始的森林形态时的每棵树);
②对于两个来自不同老树的节点u,vu,vu,v后,它们之间的长度为:
uuu所在的老树中,以uuu为一端的路径的最长链+
在新树中,uuu所在的树与vvv所在的树的距离+
vvv所在的老树中,以vvv为一端的路径的最长链。
首先,我们考虑该如何连接节点,不考虑在哪些老树之间连边。显然,假设我们连接了节点u,vu,vu,v,那么u,vu,vu,v一定是所在老树中直径(最长链)的中点。
此定理很显然,读者自证不难
在初始的森林形态中,定义有kkk棵树,did_idi表示在第iii棵树中以直径的中点为一端的路径的最长距离,dis(i,j)dis(i,j)dis(i,j)表示第iii棵树到第jjj棵树的距离,diaidia_idiai表示第iii棵树的直径。我们需要用一种方式来连接这些树,使得
f=max1≤i≤k,1≤j≤k,i≠j(max(di+dj+dis(i,j),diai,diaj))f=max_{1≤i≤k,1≤j≤k,i≠j}(max(d_i+d_j+dis(i,j),dia_i,dia_j))f=max1≤i≤k,1≤j≤k,i=j(max(di+dj+dis(i,j),diai,diaj))
的值最小。
现在,相当于,我们把原来的树套树缩成了一棵普通的树,每个节点都有一个点权ddd;现在要把这些节点连成一棵树,使得fff值最小。
这时,我们需要的就是构造的能力。接着可以发现,我们构造出来的树必须是一个菊花图。
为什么呢?这里帮助各位巨佬感性理解一下:菊花图有一个重要的性质,其直径为222。所以,dis(i,j)dis(i,j)dis(i,j)的最大值也只有222。
详细证明咕咕咕
于是,我们枚举菊花图的那个入度为k−1k-1k−1的节点,假设ttt是目前枚举到的这个节点的编号。每次求出fff的值。而fff的值似乎只能在O(k2)O(k^2)O(k2)的复杂度内求出……
考虑优化一下求fff值的方法。根据maxmaxmax函数的结合律,我们可以得到:
f=max1≤i≤k,1≤j≤k,i≠j(max(di+dj+dis(i,j),diai,diaj))f=max_{1≤i≤k,1≤j≤k,i≠j}(max(d_i+d_j+dis(i,j),dia_i,dia_j))f=max1≤i≤k,1≤j≤k,i=j(max(di+dj+dis(i,j),diai,diaj))
f=max(max1≤i≤k,1≤j≤k,i≠j(di+dj+dis(i,j)),max1≤i≤k(diai))f=max(max_{1≤i≤k,1≤j≤k,i≠j}(d_i+d_j+dis(i,j)),max_{1≤i≤k}(dia_i))f=max(max1≤i≤k,1≤j≤k,i=j(di+dj+dis(i,j)),max1≤i≤k(diai))
①当dis(i,j)=1dis(i,j)=1dis(i,j)=1时,显然i=ti=ti=t或j=tj=tj=t。直接枚举找最大值即可,时间复杂度为O(k)O(k)O(k)。
②当dis(i,j)=2dis(i,j)=2dis(i,j)=2时,显然i≠ti≠ti=t切j≠tj≠tj=t。此时的最大值为ddd数组中除去编号为ttt的节点后,剩下的最大值与次大值之和加222。于是,我们每次只需要找最大值与次大值即可,时间复杂度为O(k)O(k)O(k)。
在最坏情况下,k=nk=nk=n,此时时间复杂度为O(n2)O(n^2)O(n2)。
Solution 2
本文章开头说过,本题存在O(nlogn)O(nlogn)O(nlogn)或O(n)O(n)O(n)的解法。
现在,我们回过头来看,Soluion 1中有什么可以优化的呢?
①当dis(i,j)=1dis(i,j)=1dis(i,j)=1时,我们不需要枚举最大值。最大值即为ttt号节点的ddd值,与剩下节点ddd值的最大值之和加111。
②只需要每次O(1)O(1)O(1)找到除去ttt节点的最大值与次大值即可优化。
于是,现在我们需要攻克的最后一个关卡就是一个Answer Queries的问题: 每次查询去掉一个节点后,剩下节点的最大值与次大值;每次询问独立。
这个问题有两种做法:
①求出ddd数组后立即O(klogk)O(klogk)O(klogk)地排序;
②求出ddd数组后,在O(k)O(k)O(k)的复杂度内求出其最大值,次大值与次次大值(即第333大的值),每次就可以O(1)O(1)O(1)查询。
最后,我们得到了本题的正解,而它是O(n)O(n)O(n)的。
但是由于本蒟蒻过于懒惰,采用了O(nlogn)O(nlogn)O(nlogn)的做法QAQ
Summary
步骤:
①通过并查集找到森林中的每棵树;
②求出每棵树的直径,与ddd值(直径可以通过两次dfsdfsdfs求出);
③枚举菊花图的度数为k−1k-1k−1的节点,并求出fff来更新答案。
本题思维含量较高,是Div.3Div.3Div.3的EEE中偏难的好题,但并不难得到正解。套路性强,码量较大,数据太水。
Code
//O(nlogn)解法
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
#define inf 200000000000007
using namespace std;int n,m,u,v,cnt=0,len=0,maxv=0,ans=inf,poss;
int head[100005],size[100005],depth[100005],father[100005];
int pos[100005],up[100005],bestson[100005],top[100005];struct FFT
{int rt,dia,d,minrt;
}ducati[200005];struct edge
{int next;int to;
}e[200005];struct node
{int u,v;
}a[100005];inline void add_edge(int u,int v)
{cnt++;e[cnt].to=v;e[cnt].next=head[u];head[u]=cnt;
}inline int find(int x)
{if (x!=father[x]) father[x]=find(father[x]);return father[x];
}inline void dfs(int now,int fath,int nowdis)
{up[now]=fath;size[now]=1;depth[now]=depth[fath]+1;int Maxv=0;if (nowdis>=maxv) maxv=nowdis,u=now;for (int i=head[now];i;i=e[i].next){if (e[i].to!=fath){dfs(e[i].to,now,nowdis+1);size[now]+=size[e[i].to];if (size[e[i].to]>Maxv) Maxv=size[e[i].to],bestson[now]=e[i].to;}}
}inline void dfs1(int now,int fath,int nowtop)
{top[now]=nowtop;if (bestson[now]) dfs1(bestson[now],now,nowtop);for (int i=head[now];i;i=e[i].next){if (e[i].to!=fath&&e[i].to!=bestson[now]) dfs1(e[i].to,now,e[i].to);}
}inline void dfs2(int now,int fath,int nowdis)
{if (now==1) return;if (nowdis>=maxv) maxv=nowdis,v=now;for (int i=head[now];i;i=e[i].next){if (e[i].to!=fath) dfs2(e[i].to,now,nowdis+1);}
}inline int LCA(int x,int y)
{while (top[x]!=top[y]){if (depth[top[x]]<depth[top[y]]) swap(x,y);x=up[top[x]];}if (depth[x]<depth[y]) return x;else return y;
}inline int dis(int x,int y)
{int tmp=LCA(x,y);return depth[x]-depth[tmp]+depth[y]-depth[tmp];
}inline void dfs3(int now,int fath)
{int res=max(dis(now,u),dis(now,v));if (ducati[len].d>=res){ducati[len].d=res;ducati[len].minrt=now-1;}for (int i=head[now];i;i=e[i].next){if (e[i].to!=fath) dfs3(e[i].to,now);}
}bool cmp(FFT x,FFT y)
{return x.d>y.d;
}signed main()
{cin>>n>>m;for (int i=1;i<=n+1;i++) father[i]=i;for (int i=1;i<=m;i++){cin>>u>>v;u++,v++;if (u>v) swap(u,v);father[find(u)]=find(v);a[i].u=u,a[i].v=v;add_edge(u,v);add_edge(v,u);}for (int i=1;i<=n+1;i++) father[i]=find(father[i]);for (int i=2;i<=n+1;i++){if (i==father[i]) add_edge(1,i),add_edge(i,1);}for (int i=head[1];i;i=e[i].next){len++;ducati[len].d=inf;pos[e[i].to]=len;maxv=0;dfs(e[i].to,1,0);dfs1(e[i].to,1,e[i].to);maxv=0;dfs2(u,1,0);dfs3(e[i].to,1);ducati[len].dia=dis(u,v);ducati[len].rt=e[i].to;}if (len==1) return cout<<ducati[len].dia<<endl,0;else if (len==2){int ans=max(ducati[1].d+ducati[2].d+1,max(ducati[1].dia,ducati[2].dia));cout<<ans<<endl;cout<<ducati[1].minrt<<' '<<ducati[2].minrt<<endl;return 0;}sort(ducati+1,ducati+len+1,cmp);maxv=0;for (int root=1;root<=len;root++) maxv=max(maxv,ducati[root].dia);for (int root=1;root<=len;root++){int point=1,point2=2,now=0;if (root==1) point=2;now=max(now,ducati[root].d+ducati[point].d+1);if (root==1) point=2,point2=3;else if (root==2) point=1,point2=3;now=max(now,ducati[point].d+ducati[point2].d+2);now=max(now,maxv);if (now<ans){ans=now;poss=root;}}cout<<ans<<endl;for (int i=1;i<=len;i++){if (i==poss) continue;cout<<ducati[poss].minrt<<' '<<ducati[i].minrt<<endl;}return 0;
}
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2024/5/6 16:50:57 - 配置失败还原请勿关闭计算机,电脑开机屏幕上面显示,配置失败还原更改 请勿关闭计算机 开不了机 这个问题怎么办...
解析如下:1、长按电脑电源键直至关机,然后再按一次电源健重启电脑,按F8健进入安全模式2、安全模式下进入Windows系统桌面后,按住“winR”打开运行窗口,输入“services.msc”打开服务设置3、在服务界面,选中…...
2022/11/19 21:17:18 - 错误使用 reshape要执行 RESHAPE,请勿更改元素数目。
%读入6幅图像(每一幅图像的大小是564*564) f1 imread(WashingtonDC_Band1_564.tif); subplot(3,2,1),imshow(f1); f2 imread(WashingtonDC_Band2_564.tif); subplot(3,2,2),imshow(f2); f3 imread(WashingtonDC_Band3_564.tif); subplot(3,2,3),imsho…...
2022/11/19 21:17:16 - 配置 已完成 请勿关闭计算机,win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机...
win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机”问题的解决方法在win7系统关机时如果有升级系统的或者其他需要会直接进入一个 等待界面,在等待界面中我们需要等待操作结束才能关机,虽然这比较麻烦,但是对系统进行配置和升级…...
2022/11/19 21:17:15 - 台式电脑显示配置100%请勿关闭计算机,“准备配置windows 请勿关闭计算机”的解决方法...
有不少用户在重装Win7系统或更新系统后会遇到“准备配置windows,请勿关闭计算机”的提示,要过很久才能进入系统,有的用户甚至几个小时也无法进入,下面就教大家这个问题的解决方法。第一种方法:我们首先在左下角的“开始…...
2022/11/19 21:17:14 - win7 正在配置 请勿关闭计算机,怎么办Win7开机显示正在配置Windows Update请勿关机...
置信有很多用户都跟小编一样遇到过这样的问题,电脑时发现开机屏幕显现“正在配置Windows Update,请勿关机”(如下图所示),而且还需求等大约5分钟才干进入系统。这是怎样回事呢?一切都是正常操作的,为什么开时机呈现“正…...
2022/11/19 21:17:13 - 准备配置windows 请勿关闭计算机 蓝屏,Win7开机总是出现提示“配置Windows请勿关机”...
Win7系统开机启动时总是出现“配置Windows请勿关机”的提示,没过几秒后电脑自动重启,每次开机都这样无法进入系统,此时碰到这种现象的用户就可以使用以下5种方法解决问题。方法一:开机按下F8,在出现的Windows高级启动选…...
2022/11/19 21:17:12 - 准备windows请勿关闭计算机要多久,windows10系统提示正在准备windows请勿关闭计算机怎么办...
有不少windows10系统用户反映说碰到这样一个情况,就是电脑提示正在准备windows请勿关闭计算机,碰到这样的问题该怎么解决呢,现在小编就给大家分享一下windows10系统提示正在准备windows请勿关闭计算机的具体第一种方法:1、2、依次…...
2022/11/19 21:17:11 - 配置 已完成 请勿关闭计算机,win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机”的解决方法...
今天和大家分享一下win7系统重装了Win7旗舰版系统后,每次关机的时候桌面上都会显示一个“配置Windows Update的界面,提示请勿关闭计算机”,每次停留好几分钟才能正常关机,导致什么情况引起的呢?出现配置Windows Update…...
2022/11/19 21:17:10 - 电脑桌面一直是清理请关闭计算机,windows7一直卡在清理 请勿关闭计算机-win7清理请勿关机,win7配置更新35%不动...
只能是等着,别无他法。说是卡着如果你看硬盘灯应该在读写。如果从 Win 10 无法正常回滚,只能是考虑备份数据后重装系统了。解决来方案一:管理员运行cmd:net stop WuAuServcd %windir%ren SoftwareDistribution SDoldnet start WuA…...
2022/11/19 21:17:09 - 计算机配置更新不起,电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?
原标题:电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?win7系统中在开机与关闭的时候总是显示“配置windows update请勿关闭计算机”相信有不少朋友都曾遇到过一次两次还能忍但经常遇到就叫人感到心烦了遇到这种问题怎么办呢?一般的方…...
2022/11/19 21:17:08 - 计算机正在配置无法关机,关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机...
关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!关机提示 windows7 正在配…...
2022/11/19 21:17:05 - 钉钉提示请勿通过开发者调试模式_钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用...
钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用 更新时间:2020-04-20 22:24:19 浏览次数:729次 区域: 南阳 > 卧龙 列举网提醒您:为保障您的权益,请不要提前支付任何费用! 虚拟位置外设器!!轨迹模拟&虚拟位置外设神器 专业用于:钉钉,外勤365,红圈通,企业微信和…...
2022/11/19 21:17:05 - 配置失败还原请勿关闭计算机怎么办,win7系统出现“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”,长时间没反应,无法进入系统的解决方案...
前几天班里有位学生电脑(windows 7系统)出问题了,具体表现是开机时一直停留在“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”这个界面,长时间没反应,无法进入系统。这个问题原来帮其他同学也解决过,网上搜了不少资料&#x…...
2022/11/19 21:17:04 - 一个电脑无法关闭计算机你应该怎么办,电脑显示“清理请勿关闭计算机”怎么办?...
本文为你提供了3个有效解决电脑显示“清理请勿关闭计算机”问题的方法,并在最后教给你1种保护系统安全的好方法,一起来看看!电脑出现“清理请勿关闭计算机”在Windows 7(SP1)和Windows Server 2008 R2 SP1中,添加了1个新功能在“磁…...
2022/11/19 21:17:03 - 请勿关闭计算机还原更改要多久,电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机怎么办...
许多用户在长期不使用电脑的时候,开启电脑发现电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机。。.这要怎么办呢?下面小编就带着大家一起看看吧!如果能够正常进入系统,建议您暂时移…...
2022/11/19 21:17:02 - 还原更改请勿关闭计算机 要多久,配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以...
配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机&#x…...
2022/11/19 21:17:01 - 电脑配置中请勿关闭计算机怎么办,准备配置windows请勿关闭计算机一直显示怎么办【图解】...
不知道大家有没有遇到过这样的一个问题,就是我们的win7系统在关机的时候,总是喜欢显示“准备配置windows,请勿关机”这样的一个页面,没有什么大碍,但是如果一直等着的话就要两个小时甚至更久都关不了机,非常…...
2022/11/19 21:17:00 - 正在准备配置请勿关闭计算机,正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了解决教程...
当电脑出现正在准备配置windows请勿关闭计算机时,一般是您正对windows进行升级,但是这个要是长时间没有反应,我们不能再傻等下去了。可能是电脑出了别的问题了,来看看教程的说法。正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了方法一…...
2022/11/19 21:16:59 - 配置失败还原请勿关闭计算机,配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机...
我们使用电脑的过程中有时会遇到这种情况,当我们打开电脑之后,发现一直停留在一个界面:“配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机”,等了许久还是无法进入系统。如果我们遇到此类问题应该如何解决呢࿰…...
2022/11/19 21:16:58 - 如何在iPhone上关闭“请勿打扰”
Apple’s “Do Not Disturb While Driving” is a potentially lifesaving iPhone feature, but it doesn’t always turn on automatically at the appropriate time. For example, you might be a passenger in a moving car, but your iPhone may think you’re the one dri…...
2022/11/19 21:16:57