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基本概念

1. 随机试验 Random Experiment
   随机试验是可重复进行的、所有可能性已知，但试验结果未知的试验。
2. 样本空间与样本点 Sample Space & Sample Point
   随机试验的所有可能结果组成的集合称为样本空间，其中每个可能结果称为一个样本点
3. 基本事件、随机事件、必然事件、不可能事件 Elementary Event / Random Event / Certain Event / Impossible Event
   （1）基本事件：
   随机试验中，样本空间的一个样本点，称为该试验的一个基本事件，当在一次随机试验中出现了这个样本点，则称该基本事件发生。
   （2）随机事件：
   随机试验中，样本空间的一个子集，称为该试验的一个随机事件，当在一次随机试验中出现了该子集中的一个样本点，则称该随机事件发生。
   （3）必然事件：
   随机试验中，样本空间的全集，称为该试验的必然事件，任意一次随机试验中出现的样本点都必然在这个全集中。
   （4）不可能事件：
   随机试验中，样本空间的空集，称为该试验的不可能事件，任意一次随机试验中出现的样本点都不可能在这个空集中。
4. 对立事件、互斥事件 Complementary Event / Mutually Exclusive Event
   （1）对立事件
   随机试验中的多个事件必有，且仅有一个发生，则这些事件互为对立事件。
   （2）互斥事件
   随机试验中的多个事件不能同时发生，则它们为互斥事件，基本事件是互斥的。
   （3）对立事件与互斥事件的关系
   对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件。
5. 事件的运算
   （1）取交集 $\cap$，通常，$P(A\cap B)$记为$P(AB)$，例如$P(A\cap \Omega )$记为$P(A)$
   （2）取并集 $\cup$
   （3）交换律 $$\{\begin{array}{l}A\cup B=B\cup A\\ A\cap B=B\cap A\end{array}$$
   （4）结合律 $$\{\begin{array}{l}A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C\\ A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C\end{array}$$
   （5）分配律 $$\{\begin{array}{l}A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)\\ A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)\end{array}$$
   （6）德摩根律 $$\{\begin{array}{l}\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap \overline{B}\\ \overline{A\cap B}=\overline{A}\cup \overline{B}\end{array}$$
6. 频率与概率 Frequency & Probability
   （1）频率
   在随机试验中，设某随机事件发生的次数为频数$m$，则$m$与试验次数$n$的比值$\frac{m}{n}$称作频率。
   （2）概率
   表示随机试验中，某随机事件发生的可能性。
   （3）频率与概率的关系
   可以简单理解为，频率就是随机试验结果的真值，概率就是随机试验结果的预测。由大数定理可以证明，当随机试验次数足够多时，频率收敛于概率，即一般情况下我们认为：频率=概率。
7. 概率的性质
   （1）空集概率为0$$P(\varnothing )=0$$
   （2）概率小于1$$P(A)⩽1$$
   （3）有限可加公式
   若事件$A_i$与$A_j$互斥，则有：$$P(A_1\cup A_2\cup ...\cup A_n)=\sum _{i=1}^{n}P(A_i)$$
   （4）减法公式
   若$P(B)>P(A)$，则有$$P(B-A)=P(B)-P(A)$$
   （5）逆事件概率公式$$P(\overline{A})=1-P(A)$$
   （6）并事件概率公式$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$$
8. 等可能概型（古典概型） Classical Probability
   样本空间有限，且每个基本事件发生的概率相等的随机试验，称为等可能概型（古典概型）。其计算公式为：$$P(事件)=\frac{事件包含的基本事件数}{总基本事件数}$$
9. 放回抽样、不放回抽样 Sampling With Replacement / Sampling Without Replacement
   （1）放回抽样：
   样本点从样本空间中取出后，放回样本空间中，再进行下一次抽样的抽样方式，称为放回抽样。
   （2）不放回抽样：
   样本点从样本空间中取出后，不放回样本空间中，下一次抽样从除去被取出样本点的样本空间中进行抽样的抽样方式，称为不放回抽样
10. 实际推断原理 Practical Deducing Principle
    小概率事件在一次随机试验中不发生
11. 条件概率
    某一事件发生后，另一事件再发生的概率，称为条件概率。例如B事件发生后，A事件再发生的概率记为：$$P(A|B)$$读作在$B$条件下$A$的概率
12. 概率乘法公式
    $$P(AB)=P(B|A)P(A)$$
13. 事件独立性
    事件之间相互独立，是指事件之间相互无影响。例如有两事件$A$、$B$相互独立，则它们的独立性直观体现它们的条件概率为自身概率：$$\{\begin{array}{l}P(A)=P(A|B)\\ P(B)=P(B|A)\end{array}$$此时，概率乘法公式可以表示为：$$\begin{array}{rl}P(AB)& =P(B|A)P(A)\\ & =P(B)P(A)\\ & =P(A)P(B)\end{array}$$
14. 全概率与贝叶斯公式
    （1）全概率公式：
    全概率公式将复杂事件的概率求解问题，转化为了对不同条件下简单事件的概率进行求和，表示为：$$P(B)=\sum _{i=1}^{n}P(A_i)P(B|A_i)$$（2）贝叶斯公式：
    贝叶斯公式以全概率公式为中介，描述两个条件概率之间的关系。用于已知条件概率$P(B|A_i)$，求$P(A_i|B)$，表示为：$$P(A_i|B)=\frac{P(B|A_i)P(A_i)}{{\sum }_{j}P(B|A_j)P(A_j)}$$其原理在于，在全部随机试验${\sum }_{j}P(B|A_j)P(A_j)$中，支持某条件$P(A_i)$成立的事件$P(B|A_i)$越多，则已发生事件的条件$P(A_i|B)$越有可能成立。

随机变量及其分布

1. 随机变量
2. 分布函数
3. 离散型随机变量及其分布律
4. 连续型随机变量及其概率密度
5. 伯努利试验
6. 0-1分布
7. n重伯努利试验
8. 二项分布
9. 指数分布
10. 均匀分布
11. 正态分布
12. 随机变量函数的分布

多维随机变量及其分布

1. 二维随机变量
2. 二维随机变量的分布函数
3. 离散型二维随机变量的分布律
4. 连续型二维随机变量的概率密度
5. 离散型二维随机变量的边缘分布律
6. 连续型二维随机变量的边缘概率密度
7. 条件分布函数
8. 条件分布律
9. 条件概率密度
10. 两个随机变量的独立性
11. 随机变量运算的概率密度
12. 随机变量最值的概率密度

随机变量的数字特征

1. 数学期望
2. 随机变量函数的数学期望
3. 数学期望的性质
4. 方差
5. 标准差
6. 方差的性质
7. 标准化的随机变量
8. 协方差
9. 相关系数
10. 相关系数的性质
11. 不相关
12. 切比雪夫不等式
13. 重要分布的数学期望与方差
14. 矩
15. 协方差矩阵

大数定律及中心极限定理

1. 依概率收敛
2. 伯努利大数定律
3. 辛钦大数定律
4. 切比雪夫大数定律
5. 拉普拉斯中心极限定理
6. 独立同分布的中心极限定理
7. 独立非同分布的中心极限定理

样本及抽样分布

1. 总体
2. 简单随机样本
3. 统计量
4. 塔方分布
5. 涛分布
6. F分布及其密度函数的轮廓
7. 上alpha分位点

参数估计

假设检验

方差分析及回归分析

bootstrap方法

随机过程及其统计描述

马尔可夫链

平稳随机过程