拉格朗日插值
基本公式
给定n+1n+1n+1个横坐标不相同的点,可以唯一确定一个nnn次的多项式f(x)f(x)f(x)。
(x1,y1)(x2,y2)...(xn+1,yn+1)(x_1,y_1)\quad(x_2,y_2)...\quad(x_{n+1},y_{n+1})\quad (x1,y1)(x2,y2)...(xn+1,yn+1)
可以通过构造得到多项式
f(x)=∑i=1n+1yi∏j≠ix−xjxi−xjf(x)=\sum_{i=1}^{n+1}y_i\prod_{j\neq i}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}\\ f(x)=i=1∑n+1yij=i∏xi−xjx−xj
把点带进去可以验证,这样可以O(n2)O(n^2)O(n2)计算。
注意: 多带几个点进去不会影响结果。
应用
如果xxx取值为连续的,1≤x≤n+11\le x\le n+11≤x≤n+1,计算f(k)f(k)f(k)代入公式
f(k)=∑i=1n+1yi∏j≠ik−ji−jf(k)=\sum_{i=1}^{n+1}y_i\prod_{j\neq i}\frac{k-j}{i-j}\\ f(k)=i=1∑n+1yij=i∏i−jk−j
则很明显可以看出有阶乘的形式,可以进行预处理,时间复杂度降为O(n)O(n)O(n)。例题
namespace polysum
{const int D=1e6+9;ll p[D],p1[D],p2[D];ll qpow(ll a,ll b){ll res=1;a%=mod;while(b){if(b&1)res=res*a%mod;a=a*a%mod;b>>=1;}return res;}void init(int n)//x=1~n{ll res=1;for(int i=1; i<=n; i++)res=res*(ll)i%mod;res=qpow(res,mod-2);p[n]=res;for(int i=n-1;i>=0;i--)p[i]=p[i+1]*(i+1)%mod;}ll polysum(int n,ll *a,ll m)//a[1]...a[n] a[m]{if(1<=m&&m<=(ll)n)return a[(int)m];ll res=0;p1[1]=p2[n]=1;for(int i=2; i<=n; i++)p1[i]=p1[i-1]*(ll)(m-i+1)%mod;for(int i=n-1; i>=1; i--)p2[i]=p2[i+1]*(ll)(m-i-1)%mod;for(int i=1; i<=n; i++){ll tmp=p[i-1]*p[n-i]%mod;if((n-i)&1)tmp=tmp*(mod-1)%mod;res=(res+a[i]*p1[i]%mod*p2[i]%mod*tmp%mod)%mod;}return res;}
}
重心拉格朗日插值
f(x)=∑i=1n+1yi∏j≠ix−xjxi−xj=∑i=1n+1yi1x−xi∏j=1n+1(x−xj)∏j≠i1xi−xj=∏j=1n+1(x−xj)∑i=1n+1yi1x−xi∏j≠i1xi−xj\begin{aligned} f(x)&=\sum_{i=1}^{n+1}y_i\prod_{j\neq i}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}\\ &=\sum_{i=1}^{n+1}y_i\frac{1}{x-x_i}\prod_{j=1}^{n+1}(x-x_j)\prod_{j\neq i}\frac{1}{x_i-x_j}\\ &=\prod_{j=1}^{n+1}(x-x_j)\sum_{i=1}^{n+1}y_i\frac{1}{x-x_i}\prod_{j\neq i}\frac{1}{x_i-x_j} \end{aligned} f(x)=i=1∑n+1yij=i∏xi−xjx−xj=i=1∑n+1yix−xi1j=1∏n+1(x−xj)j=i∏xi−xj1=j=1∏n+1(x−xj)i=1∑n+1yix−xi1j=i∏xi−xj1
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2022/11/19 21:17:00 - 正在准备配置请勿关闭计算机,正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了解决教程...
当电脑出现正在准备配置windows请勿关闭计算机时,一般是您正对windows进行升级,但是这个要是长时间没有反应,我们不能再傻等下去了。可能是电脑出了别的问题了,来看看教程的说法。正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了方法一…...
2022/11/19 21:16:59 - 配置失败还原请勿关闭计算机,配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机...
我们使用电脑的过程中有时会遇到这种情况,当我们打开电脑之后,发现一直停留在一个界面:“配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机”,等了许久还是无法进入系统。如果我们遇到此类问题应该如何解决呢࿰…...
2022/11/19 21:16:58 - 如何在iPhone上关闭“请勿打扰”
Apple’s “Do Not Disturb While Driving” is a potentially lifesaving iPhone feature, but it doesn’t always turn on automatically at the appropriate time. For example, you might be a passenger in a moving car, but your iPhone may think you’re the one dri…...
2022/11/19 21:16:57