第一章 事件及其概率(1)

1.概率的统计定义

将自然界中的事件分为两种：一种是发生结果确定的，可以分为必然事件与不可能事件；另一种则是某个结果可能发生也可能不发生，称为随机事件。对于某种试验，可能出现多种可能结果，出现的每个结果称为随机事件，简称事件。不同事件发生的可能性有大有小，这种可能性大小的量化指标称为事件的概率。

对于可以重复进行的试验，如果每一次试验之间互不影响，那么，如果$N$次试验中发生了$n$次事件$A$，则称$A$在$N$次试验中出现的频率为$F_N(A)=\frac{n}{N}$。随着$N$的增大，频率会收敛于一个常数$P(A)$，将这个常数称为事件$A$发生的概率，这就是概率的统计定义。

事件的频率与概率都具有三个基本性质：

1. 非负性：$F_A(N)\ge 0,P(A)\ge 0$。
2. 规范性：对必然事件$\Omega$，有$F_N(\Omega )=1,P(\Omega )=1$。
3. 可加性：对两个不会同时发生的事件$A,B$，记$A+B$为$A$或$B$至少出现其一这一事件，则$F_N(A+B)=F_N(A)+F_N(B),P(A+B)=P(A)+P(B)$。这一性质可以推广到任意有限个事件。

2.古典概型与几何概型

样本空间与样本点：对于某一个随机试验，将每一个可能发生的事件用一个样本点${\omega }_i$代替，则所有这样的样本点构成样本空间$\Omega$，即
Ω={ω1,ω2,⋯,ωn}\Omega=\{\omega_1,\omega_2,\cdots,\omega_n\} Ω={ω1​,ω2​,⋯,ωn​}
当然，并不是所有的样本空间中包含的样本点都是有限的或者可列的，但对于每一次试验，一定会发生有且仅有一个样本点。对同一个问题，可以设置不同的样本空间和样本点，在讨论具体问题前要先明确样本空间和样本点。

有两类特殊的样本空间，分别对应着古典概型和几何概型。

古典概型的特点是：样本空间是有限的，且每个样本点发生的概率相同。这样，如果样本空间含$n$个样本点，且事件$A$恰好包含其中的$m$个样本点，则有
$$P(A)=\frac{m}{n}=\frac{A包含的样本点数}{样本空间中样本点的总数}$$
古典概型还可以推广到每个样本点发生概率不同的情况，如果Ω={ω1,⋯,ωn}\Omega=\{\omega_1,\cdots,\omega_n\}Ω={ω1​,⋯,ωn​}，且样本点${\omega }_i$发生的概率为$p_i>0$，$\sum _{i=1}^n{p}_i=1$。这样，事件$A$的概率可以写成
$$P(A)=\sum _{i:{\omega }_i\in A}{p}_i$$
几何概型的样本空间$\Omega$是一个包含无限个点的区域（维数不限），样本点是区域中的每一个点，这样，如果事件$A_g$包含的样本点构成区域$g$，则有
$$P(A_g)=\frac{g的测度}{\Omega 的测度}$$

3.概率的公理化定义

现在将样本空间看作讨论问题的全集$\Omega$，样本点是集合中的元素，那么事件可以被定义为样本点的集合。如果某一次实验中样本点$\omega$出现且$\omega \in A$，则称事件$A$发生。同时将$\Omega$看成必然事件，$\varnothing$看成不可能事件，则每一个样本点的集合对应一个事件，这样就可以用集合论的方法来研究事件。

类似集合，定义事件之间的关系：

• $A\supset B$：$A$包含$B$，即$\forall \omega \in B,\omega \in A$。
• $A=B$：$A$与$B$相等，即$A\supset B,B\supset A$。
• $A\cup B$：$A$与$B$的并事件，即$A,B$至少发生一个。
• $A\cap B$：$A$与$B$的交事件，即$A,B$都发生，也记作$AB$。
• $A\setminus B$：$A$与$B$的差事件，即$A$发生但$B$不发生。如果有$B\subset A$，则也可以记作$A-B$。
• $A\cap B=\varnothing$：代表$A,B$不会同时发生，即互不相容。
• $\bar{A}$：代表$A$的逆（对立）事件，即$A$不发生。

关于这些事件间关系，有以下的运算关系：

• $A\cup B=B\cup A$，$AB=BA$。
• $(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)$，$(AB)C=A(BC)$。
• $(A\cup B)C=AC\cup BC$，$(AB)\cup C=(A\cup C)(B\cup C)$。
• $\overline{A\cup B}=\bar{A}\bar{B}$，$\overline{AB}=\bar{A}\cup \bar{B}$。
• $A\setminus B=A\bar{B}$。

运用以上事件之间的运算关系，可以由一系列基本事件表达复杂事件。

用集合定义了事件以后，就可以描述概率空间了。概率空间是一个由样本空间、事件域、概率组成的三元组$(\Omega ,\mathcal{F},P)$。

这里$\Omega$是样本空间，也就是样本点的全体，根据问题适当选择。

$\mathcal{F}$是事件域，也就是事件的集合，而事件又是样本点的集合，也就是说$\mathcal{F}$中的元素都是由样本点构成的集合。同时，一个事件域$\mathcal{F}$还需要满足以下条件：

• $\Omega \in \mathcal{F}$。
• 若$A\in \mathcal{F}$，则有$\bar{A}\in \mathcal{F}$。
• 若$A_1,\cdots ,A_n,\cdots \in \mathcal{F}$，则$\bigcup _{i=1}^{\infty }{A}_i\in \mathcal{F}$。

满足以上三个条件的事件域$\mathcal{F}$称为$\sigma$-代数。并且可以推出对于任何一个事件域，必然事件、不可能事件、事件的逆、有限并、有限交、可列无限并、可列无限交等等在事件域内。最小的事件域是{Ω,∅}\{\Omega ,\empty\}{Ω,∅}。

• 有一种特殊的$\sigma$-代数称为（一维）Borel $\sigma$-代数，它的样本空间是$\Omega =\mathbb{R}$，取一切左开右闭区间以及它们的并、交、逆所构成的集合为事件域$\mathcal{F}$，这样的事件域$\mathcal{F}$称为Borel $\sigma$-代数。
• 对于样本空间$\Omega$为有限或可列个样本点组成的情况，常常取事件域$\mathcal{F}$为一切$\Omega$的子集构成的集合。
• 如果只对$\Omega$的一个子集$A$感兴趣，则包含$A$的最小$\sigma$-代数是{∅,A,Aˉ,Ω}\{\empty,A,\bar A,\Omega\}{∅,A,Aˉ,Ω}。

概率$P$指的是定义在$\mathcal{F}$上的函数$A\mapsto P$，并且满足：

• 非负性：$P(A)\ge 0$。
• 规范性：$P(\Omega )=1$。
• 可列可加性：若$A_1,\cdots ,A_n,\cdots$两两不相容，则$P(\sum _{i=1}^n{A}_i)=\sum _{i=1}^{n}P(A_i)$。

需要注意的是，概率的公理化定义并不能简化事件概率的计算，只是为概率理论奠定了基础，因此只需要能识别并区分样本空间、事件域以及明确概率是定义在事件域上的函数即可。

由于事件用集合来定义，再结合概率的基本性质，可以推导出事件的概率具有以下的性质：

1. $P(\varnothing )=0$，由于$\Omega =\Omega +\varnothing +\varnothing +\cdots$，对两边同时求概率并由不相容事件的可列可加性，可以得到
   $$P(\Omega )=P(\Omega )+P(\varnothing )+P(\varnothing )+\cdots$$
   又由于概率的非负性，有$P(\varnothing )=0$。

2. 有限可加性：对于不相容的一列事件$A_1,\cdots ,A_n$，有
   $$P(\sum _{i=1}^n{A}_i)=\sum _{i=1}^{n}P(A_i)$$
   只要将有限事件列扩展为无限事件列$A_1,\cdots ,A_n,\varnothing ,\cdots$即可。

3. 若$B\subset A$，则$P(A-B)=P(A)-P(B)$。只需令$A=B+(A-B)$，显然有$B$与$A-B$不相容，那么有$P(A)=P(B)+P(A-B)$。

4. $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$，这里$A\cup B=A\cup (B-AB)$，且$A\cap (B-AB)=\varnothing ,AB\subset B$，于是
   $$P(A\cup B)=P(A)+P(B-AB)=P(A)+P(B)-P(AB)$$

5. 多还少补定理：
   $$P(A_1\cup \cdots \cup A_n)=\sum _{i=1}^{n}P(A_i)-\sum _{1\le i<j\le n}P(A_i{A}_j)+\cdots +(-1{)}^{n-1}P(A_1\cdots A_n)$$
   可以从4由归纳法证明。

6. 次可加性：$P(\bigcup _{i=1}^N{A}_i)\le \sum _{i=1}^{N}P(A_i)$。

概率测度具有连续性，这指的是对于一系列单调增加的事件序列$A_1\subset A_2\subset \cdots \subset A_n\subset \cdots$，具有极限$A$，即$\underset{n\to \infty }{\lim }{A}_n=\bigcup _{i=1}^{\infty }{A}_i=A$，则有
$$P(\underset{n\to \infty }{\lim }{A}_n)=P(A)=\underset{n\to \infty }{\lim }P(A_n)$$
同理对于一列单调减少的事件序列$A_1\supset A_2\supset \cdots \supset A_n\supset \cdots$，具有极限$A$，即$\underset{n\to \infty }{\lim }{A}_n=\bigcap _{i=1}^{\infty }{A}_i=A$，同样有
$$P(\underset{n\to \infty }{\lim }{A}_n)=P(A)=\underset{n\to \infty }{\lim }P(A_n)$$