大数据:一张图读懂为什么AUC等于ROC曲线下的面积(或者说AUC的物理意义是:预测的正例排在负例前面的概率)?
ROC和AUC
- 根据定义,AUC是ROC曲线下面积
- AUC的物理意义为:正例的判定值大于反例的判定值的概率
- 根据物理意义,AUC的计算公式为:∑1≤i≤m∑1≤j≤n(P[i]−P[j]∣P[i]−P[j]∣+12)m∗n\frac{\sum_{1 \leq i \leq m}\sum_{1\leq j \leq n}(\frac{\frac{P[i]-P[j]}{|P[i]-P[j]|} + 1}{2})}{m * n}m∗n∑1≤i≤m∑1≤j≤n(2∣P[i]−P[j]∣P[i]−P[j]+1)
将AUC的物理意义和定义联系起来的方法
假设有mmm个正样例,nnn个负样例,m=50,n=25m=50,n=25m=50,n=25,P(Mi)P(M_i)P(Mi)代表模型对某个正样例的输出,并且有P(M1)≥P(M2)⋯≥P(Mm)P(M_1)\geq P(M_2) \dots\geq P(M_m)P(M1)≥P(M2)⋯≥P(Mm),每一个正样本与坐标系纵轴上的一个点绑定,比如样本MiM_iMi的坐标为(0,i);负样例同理,只是负样本是与横轴上的点绑定的。
记η\etaη为阈值(模型输出的结果大于阈值就预测为正样例,否则为负样例),当η\etaη从ηB\eta_BηB变为ηC\eta_CηC时(ηB>ηC\eta_B > \eta_CηB>ηC,并且中间不存在一个ηx\eta_xηx使得ηx\eta_xηx和ηB\eta_BηB在ROC曲线上对应的点不同),M29,M30M_{29},M_{30}M29,M30从FN进入TP,N15N_{15}N15从TN进入FP。(如果不清楚FN、TP等是什么,可以先百度一下)
因此一定有P(M30)>ηC>P(N16)≥⋯≥P(N25)P(M_{30}) > \eta_C > P(N_{16}) \geq \dots \geq P(N_{25})P(M30)>ηC>P(N16)≥⋯≥P(N25),这样就一次性找到了所有比M30M_{30}M30的输出小的负样例,记这些负样例的个数为n∼M30=∣{N16,…,N25}∣n_{\sim M_{30}} = |\{N_{16},\dots,N{25}\}|n∼M30=∣{N16,…,N25}∣。
从数值上来说n∼M30n_{\sim M_{30}}n∼M30与SCEFGS_{CEFG}SCEFG的相同,因此n∼M30n_{\sim M_{30}}n∼M30的几何意义就是矩形CEFGCEFGCEFG的面积;同理,n∼M29n_{\sim M_{29}}n∼M29的几何意义对应的就是CEFGCEFGCEFG下面的那个矩形的面积,如图所示已经在图中画出。对于其它的正样例同理。
因此,图中这个ROC下的面积其实约等于所有的正样例输出比负样例输出大的组合的个数∑in∼Mi\sum_{i}{n_{\sim M_{i}}}∑in∼Mi,这与估算AUC的公式∑1≤i≤m∑1≤j≤n(P[i]−P[j]∣P[i]−P[j]∣+12)m∗n\frac{\sum_{1 \leq i \leq m}\sum_{1\leq j \leq n}(\frac{\frac{P[i]-P[j]}{|P[i]-P[j]|} + 1}{2})}{m * n}m∗n∑1≤i≤m∑1≤j≤n(2∣P[i]−P[j]∣P[i]−P[j]+1)的分子的含义相同。
最后,对于上面的这个图,我们将纵坐标整体处以mmm,横坐标整体除以nnn,图中的ROC曲线就成为了真正意义上的ROC曲线,而曲线下面积就应该约等于∑in∼Mim∗n\frac{\sum_{i}{n_{\sim M_{i}}}}{m * n}m∗n∑in∼Mi。
上面的证明就相当于把ROC曲线下的面积求了一下,发现它跟由物理意义得出的计算公式是一样的。
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2022/11/19 21:16:59 - 配置失败还原请勿关闭计算机,配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机...
我们使用电脑的过程中有时会遇到这种情况,当我们打开电脑之后,发现一直停留在一个界面:“配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机”,等了许久还是无法进入系统。如果我们遇到此类问题应该如何解决呢࿰…...
2022/11/19 21:16:58 - 如何在iPhone上关闭“请勿打扰”
Apple’s “Do Not Disturb While Driving” is a potentially lifesaving iPhone feature, but it doesn’t always turn on automatically at the appropriate time. For example, you might be a passenger in a moving car, but your iPhone may think you’re the one dri…...
2022/11/19 21:16:57