NOIP2016普及组复赛——T4魔法阵
题目描述
六十年一次的魔法战争就要开始了,大魔法师准备从附近的魔法场中汲取魔法能量。
大魔法师有m个魔法物品,编号分别为1,2,…,m。
每个物品具有一个魔法值,我们用xix_ixi表示编号为i的物品的魔法值。
每个魔法值xix_ixi是不超过n的正整数,可能有多个物品的魔法值相同。
大魔法师认为,当且仅当四个编号为a,b,c,d的魔法物品满足xa<xb<xc<xdx_a<x_b<x_c<x_dxa<xb<xc<xd,xb−xa=2(xd−xc)x_b−x_a=2(x_d−x_c)xb−xa=2(xd−xc),并且xb−xa<(xc−xb)/3x_b−x_a<(x_c−x_b)/3xb−xa<(xc−xb)/3 时,这四个魔法物品形成了一个魔法阵,他称这四个魔法物品分别为这个魔法阵的A物品,B物品,C物品,D物品。
现在,大魔法师想要知道,对于每个魔法物品,作为某个魔法阵的A物品出现的次数,作为B物品的次数,作为C物品的次数,和作为D物品的次数。
输入格式
输入文件的第一行包含两个空格隔开的正整数n和m。
接下来m行,每行一个正整数,第i+1行的正整数表示xix_ixi,即编号为i的物品的魔法值。
保证每个xix_ixi是分别在合法范围内等概率随机生成的。
输出格式
共输出m行,每行四个整数。
第i行的四个整数依次表示编号为i的物品作为A,B,C,D物品分别出现的次数。
保证标准输出中的每个数都不会超过109。
每行相邻的两个数之间用恰好一个空格隔开。
数据范围
1≤n≤150001≤n≤150001≤n≤15000,
1≤m≤400001≤m≤400001≤m≤40000,
1≤xi≤n1≤x_i≤n1≤xi≤n
输入样例
30 8
1
24
7
28
5
29
26
24
输出样例
4 0 0 0
0 0 1 0
0 2 0 0
0 0 1 1
1 3 0 0
0 0 0 2
0 0 2 2
0 0 1 0
算法1
算法思想:暴力枚举(40分)
依次将每件物品作为魔法阵的A、B、C、D类物品进行枚举,选择符合以下条件的方案:
- xa<xb<xc<xdx_a<x_b<x_c<x_dxa<xb<xc<xd
- xb−xa=2×(xd−xc)x_b−x_a=2\times(x_d−x_c)xb−xa=2×(xd−xc)
- xb−xa<(xc−xb)/3x_b−x_a<(x_c−x_b)/3xb−xa<(xc−xb)/3
时间复杂度
O(m4)O(m^4)O(m4)
C++ 代码
#include <iostream>
#include <cstdio>using namespace std;const int N = 40010;int x[N], sum[N][5];int main()
{int n, m;scanf("%d%d", &n, &m);for(int i = 1; i <= m; i ++) scanf("%d", &x[i]);for(int a = 1; a <= m; a ++)for(int b = 1; b <= m; b ++)for(int c = 1; c <= m; c ++)for(int d = 1; d <= m; d ++)//条件一:递增序列if((x[a] < x[b]) && (x[b] < x[c]) && (x[c] < x[d])){//条件二:xb−xa=2(xd−xc)if((x[b] - x[a]) != 2 * (x[d] - x[c])) continue;//条件三:xb−xa<(xc−xb)/3//处理不能整除的情况int t = (x[c] - x[b]) / 3;if((x[c] - x[b]) % 3) t ++;if((x[b] - x[a]) < t){sum[a][1] ++, sum[b][2] ++, sum[c][3] ++, sum[d][4] ++;}}for(int i = 1; i <= m; i ++){printf("%d %d %d %d\n", sum[i][1], sum[i][2], sum[i][3], sum[i][4]); }return 0;
}
算法2
算法思想:桶排序,前缀和,数学,组合计数,乘法原理,加法原理(100分)
分析物品满足魔法阵的三个条件:
- xa<xb<xc<xdx_a<x_b<x_c<x_dxa<xb<xc<xd
- xb−xa=2×(xd−xc)x_b−x_a=2\times(x_d−x_c)xb−xa=2×(xd−xc)
- xb−xa<(xc−xb)/3x_b−x_a<(x_c−x_b)/3xb−xa<(xc−xb)/3
为了减少枚举次数,必须找到A、B、C、D类物品魔法值之间的关系,这里(xd−xc)(x_d−x_c)(xd−xc)最小,不妨设t=(xd−xc)t = (x_d−x_c)t=(xd−xc),那么:
- xb−xa=2tx_b−x_a=2txb−xa=2t
- 2t<(xc−xb)/32t<(x_c−x_b)/32t<(xc−xb)/3,整理得xc−xb>6tx_c−x_b>6txc−xb>6t;那么存在正整数kkk,使得xc−xb=6t+kx_c−x_b=6t+kxc−xb=6t+k。
那么A、B、C、D类物品魔法值在数轴上满足如下关系:
ttt的范围
根据题目描述,每个魔法值xix_ixi是不超过nnn的正整数,那么A类物品的最小值为111,D类物品的最大值为nnn,线段AD的最大长度为n−1n-1n−1。而由图可知AD=2t+6t+k+tAD=2t+6t+k+tAD=2t+6t+k+t,9t+k<=n−19t+k<=n-19t+k<=n−1,而kkk是正整数,所以9t<n−19t<n-19t<n−1,记作t<n−19t<\frac{n-1}{9}t<9n−1。即:
1≤t<n−191\le t < \frac{n-1}{9}1≤t<9n−1
确定了t
的范围,就可以对红色部分和蓝色部分进行枚举,。
枚举D类物品的魔法值
通过题目描述,DDD的最大值为nnn,从数轴上看最小值为9t+29t+29t+2(即A=1A=1A=1且k=1k=1k=1),由此可以枚举DDD类物品的魔法值,计算出CCC的值:
C=D−tC=D-tC=D−t
因为使A,B,C,DA,B,C,DA,B,C,D满足条件的kkk的最小值为1,所以对于当前的CCC和DDD,AAA的最大值和BBB的最大值分别为:
A=D−9t−1A=D-9t-1A=D−9t−1B=2tB=2tB=2t
由此根据乘法原理,通过cnt[x]
(表示魔法值为x
的物品的出现次数),计算在当前D
值的情况下,
- 魔法值为CCC的物品作为魔法阵中编号为
c
的物品个数:
c=cnt[A]×cnt[B]×cnt[D]c=cnt[A]\times cnt[B]\times cnt[D]c=cnt[A]×cnt[B]×cnt[D] - 魔法值为DDD的物品作为魔法阵中编号为
d
的物品个数:
d=cnt[A]×cnt[B]×cnt[C]d=cnt[A]\times cnt[B]\times cnt[C]d=cnt[A]×cnt[B]×cnt[C]
在其他条件不变的情况下,如果AAA和BBB比最大值小的话,只要CCC和BBB满足Xc−Xb>6tX_c-X_b>6tXc−Xb>6t,那么A,B,C,DA,B,C,DA,B,C,D一定能组成魔法阵。即如果有a1<a2,b1<b2a_1<a_2,b_1<b_2a1<a2,b1<b2,且a2,b2a_2,b_2a2,b2能够和C,DC,DC,D组成魔法阵,那么a1,b1a_1,b_1a1,b1也一定能够和C,DC,DC,D组成魔法阵。因此可以使用前缀和的思想累加c
和d
的值,c[C]
和d[D]
的累加的次数是所有满足要求的AAA和BBB的 cnt[A] * cnt[B]
的和,再分别乘以cnt[D]
和cnt[C]
,即:
sum+=cnt[A]×cnt[B]sum+=cnt[A] \times cnt[B]sum+=cnt[A]×cnt[B]c[C]+=sum×cnt[D]c[C]+=sum \times cnt[D]c[C]+=sum×cnt[D]d[D]+=sum×cnt[C]d[D]+=sum\times cnt[C]d[D]+=sum×cnt[C]
枚举A类物品的魔法值
同理可以枚举A类物品的魔法值。 AAA的最小值为1,最大值为n−9t−1n-9t-1n−9t−1(即D=nD=nD=n且k=1k=1k=1)。此时:
B=A+2tB=A+2tB=A+2t
DDD和CCC的最大值分别为:
D=A+9t+1D=A+9t+1D=A+9t+1C=D−tC=D-tC=D−t
根据乘法原理和前缀和思想:
sum+=cnt[C]×cnt[D]sum+=cnt[C]\times cnt[D]sum+=cnt[C]×cnt[D]a[A]+=sum×cnt[B]a[A]+=sum\times cnt[B]a[A]+=sum×cnt[B]b[B]+=sum×cnt[A]b[B]+=sum\times cnt[A]b[B]+=sum×cnt[A]
时间复杂度
由于A,B,C,DA, B, C, DA,B,C,D均在1到n之间,因此 1≤t≤n−291≤t≤\frac{n−2}{9}1≤t≤9n−2。所以总枚举次数大约是: n−29×n=O(n29)=2.5×107\frac{n−2}{9}\times n=O(\frac{n^2}{9})=2.5×10^79n−2×n=O(9n2)=2.5×107。
参考文献
魔法阵 NOIP2016T4
C++ 代码
#include <iostream>
#include <cstdio>using namespace std;const int N = 15010, M = 40010;
//x[i]表示第i件物品的魔法值
//cnt[i]表示魔法值为i的物品的出现次数
//a[i]表示魔法值为i的作为魔法阵中a物品的次数
int x[M], cnt[N], a[N], b[N], c[N], d[N];int main()
{int n, m;scanf("%d%d", &n, &m);for(int i = 1; i <= m; i ++) {scanf("%d", &x[i]);cnt[x[i]] ++;}//枚举tfor(int t = 1; 9 * t < n - 1; t ++){int sum = 0;//枚举右边区域中D的值for(int D = 9 * t + 2; D <= n; D ++){int C = D - t;int A = D - 9 * t - 1; //满足条件的A的最大值int B = A + 2 * t;sum += cnt[A] * cnt[B]; //前缀和累加c[C] += sum * cnt[D]; d[D] += sum * cnt[C];}sum = 0;//枚举左边区域A的值for(int A = n - 9 * t - 1; A >= 1; A --){int B = A + 2 * t;int D = A + 9 * t + 1; //满足条件的D的最大值int C = D - t;sum += cnt[C] * cnt[D]; //前缀和累加a[A] += sum * cnt[B]; b[B] += sum * cnt[A];}} for(int i = 1; i <= m; i ++){printf("%d %d %d %d\n", a[x[i]], b[x[i]], c[x[i]], d[x[i]]); }return 0;
}
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C/C++等级考试(1~8级)全部真题・点这里 第1题:双精度浮点数的输入输出 输入一个双精度浮点数,保留8位小数,输出这个浮点数。 时间限制:1000 内存限制:65536输入 只有一行,一个双精度浮点数。输出 一行,保留8位小数的浮点数。样例输入 3.1415926535798932样例输出 3.1…...
2024/5/3 1:54:59 - 配置失败还原请勿关闭计算机,电脑开机屏幕上面显示,配置失败还原更改 请勿关闭计算机 开不了机 这个问题怎么办...
解析如下:1、长按电脑电源键直至关机,然后再按一次电源健重启电脑,按F8健进入安全模式2、安全模式下进入Windows系统桌面后,按住“winR”打开运行窗口,输入“services.msc”打开服务设置3、在服务界面,选中…...
2022/11/19 21:17:18 - 错误使用 reshape要执行 RESHAPE,请勿更改元素数目。
%读入6幅图像(每一幅图像的大小是564*564) f1 imread(WashingtonDC_Band1_564.tif); subplot(3,2,1),imshow(f1); f2 imread(WashingtonDC_Band2_564.tif); subplot(3,2,2),imshow(f2); f3 imread(WashingtonDC_Band3_564.tif); subplot(3,2,3),imsho…...
2022/11/19 21:17:16 - 配置 已完成 请勿关闭计算机,win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机...
win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机”问题的解决方法在win7系统关机时如果有升级系统的或者其他需要会直接进入一个 等待界面,在等待界面中我们需要等待操作结束才能关机,虽然这比较麻烦,但是对系统进行配置和升级…...
2022/11/19 21:17:15 - 台式电脑显示配置100%请勿关闭计算机,“准备配置windows 请勿关闭计算机”的解决方法...
有不少用户在重装Win7系统或更新系统后会遇到“准备配置windows,请勿关闭计算机”的提示,要过很久才能进入系统,有的用户甚至几个小时也无法进入,下面就教大家这个问题的解决方法。第一种方法:我们首先在左下角的“开始…...
2022/11/19 21:17:14 - win7 正在配置 请勿关闭计算机,怎么办Win7开机显示正在配置Windows Update请勿关机...
置信有很多用户都跟小编一样遇到过这样的问题,电脑时发现开机屏幕显现“正在配置Windows Update,请勿关机”(如下图所示),而且还需求等大约5分钟才干进入系统。这是怎样回事呢?一切都是正常操作的,为什么开时机呈现“正…...
2022/11/19 21:17:13 - 准备配置windows 请勿关闭计算机 蓝屏,Win7开机总是出现提示“配置Windows请勿关机”...
Win7系统开机启动时总是出现“配置Windows请勿关机”的提示,没过几秒后电脑自动重启,每次开机都这样无法进入系统,此时碰到这种现象的用户就可以使用以下5种方法解决问题。方法一:开机按下F8,在出现的Windows高级启动选…...
2022/11/19 21:17:12 - 准备windows请勿关闭计算机要多久,windows10系统提示正在准备windows请勿关闭计算机怎么办...
有不少windows10系统用户反映说碰到这样一个情况,就是电脑提示正在准备windows请勿关闭计算机,碰到这样的问题该怎么解决呢,现在小编就给大家分享一下windows10系统提示正在准备windows请勿关闭计算机的具体第一种方法:1、2、依次…...
2022/11/19 21:17:11 - 配置 已完成 请勿关闭计算机,win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机”的解决方法...
今天和大家分享一下win7系统重装了Win7旗舰版系统后,每次关机的时候桌面上都会显示一个“配置Windows Update的界面,提示请勿关闭计算机”,每次停留好几分钟才能正常关机,导致什么情况引起的呢?出现配置Windows Update…...
2022/11/19 21:17:10 - 电脑桌面一直是清理请关闭计算机,windows7一直卡在清理 请勿关闭计算机-win7清理请勿关机,win7配置更新35%不动...
只能是等着,别无他法。说是卡着如果你看硬盘灯应该在读写。如果从 Win 10 无法正常回滚,只能是考虑备份数据后重装系统了。解决来方案一:管理员运行cmd:net stop WuAuServcd %windir%ren SoftwareDistribution SDoldnet start WuA…...
2022/11/19 21:17:09 - 计算机配置更新不起,电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?
原标题:电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?win7系统中在开机与关闭的时候总是显示“配置windows update请勿关闭计算机”相信有不少朋友都曾遇到过一次两次还能忍但经常遇到就叫人感到心烦了遇到这种问题怎么办呢?一般的方…...
2022/11/19 21:17:08 - 计算机正在配置无法关机,关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机...
关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!关机提示 windows7 正在配…...
2022/11/19 21:17:05 - 钉钉提示请勿通过开发者调试模式_钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用...
钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用 更新时间:2020-04-20 22:24:19 浏览次数:729次 区域: 南阳 > 卧龙 列举网提醒您:为保障您的权益,请不要提前支付任何费用! 虚拟位置外设器!!轨迹模拟&虚拟位置外设神器 专业用于:钉钉,外勤365,红圈通,企业微信和…...
2022/11/19 21:17:05 - 配置失败还原请勿关闭计算机怎么办,win7系统出现“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”,长时间没反应,无法进入系统的解决方案...
前几天班里有位学生电脑(windows 7系统)出问题了,具体表现是开机时一直停留在“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”这个界面,长时间没反应,无法进入系统。这个问题原来帮其他同学也解决过,网上搜了不少资料&#x…...
2022/11/19 21:17:04 - 一个电脑无法关闭计算机你应该怎么办,电脑显示“清理请勿关闭计算机”怎么办?...
本文为你提供了3个有效解决电脑显示“清理请勿关闭计算机”问题的方法,并在最后教给你1种保护系统安全的好方法,一起来看看!电脑出现“清理请勿关闭计算机”在Windows 7(SP1)和Windows Server 2008 R2 SP1中,添加了1个新功能在“磁…...
2022/11/19 21:17:03 - 请勿关闭计算机还原更改要多久,电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机怎么办...
许多用户在长期不使用电脑的时候,开启电脑发现电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机。。.这要怎么办呢?下面小编就带着大家一起看看吧!如果能够正常进入系统,建议您暂时移…...
2022/11/19 21:17:02 - 还原更改请勿关闭计算机 要多久,配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以...
配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机&#x…...
2022/11/19 21:17:01 - 电脑配置中请勿关闭计算机怎么办,准备配置windows请勿关闭计算机一直显示怎么办【图解】...
不知道大家有没有遇到过这样的一个问题,就是我们的win7系统在关机的时候,总是喜欢显示“准备配置windows,请勿关机”这样的一个页面,没有什么大碍,但是如果一直等着的话就要两个小时甚至更久都关不了机,非常…...
2022/11/19 21:17:00 - 正在准备配置请勿关闭计算机,正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了解决教程...
当电脑出现正在准备配置windows请勿关闭计算机时,一般是您正对windows进行升级,但是这个要是长时间没有反应,我们不能再傻等下去了。可能是电脑出了别的问题了,来看看教程的说法。正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了方法一…...
2022/11/19 21:16:59 - 配置失败还原请勿关闭计算机,配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机...
我们使用电脑的过程中有时会遇到这种情况,当我们打开电脑之后,发现一直停留在一个界面:“配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机”,等了许久还是无法进入系统。如果我们遇到此类问题应该如何解决呢࿰…...
2022/11/19 21:16:58 - 如何在iPhone上关闭“请勿打扰”
Apple’s “Do Not Disturb While Driving” is a potentially lifesaving iPhone feature, but it doesn’t always turn on automatically at the appropriate time. For example, you might be a passenger in a moving car, but your iPhone may think you’re the one dri…...
2022/11/19 21:16:57