算法Day09-动态规划之最长递增子序列
动态规划之最长递增子序列
- 基本概念
- 动态规划解法
- 二分查找解法
基本概念
- 动态规划的通用技巧 : 数学归纳思想
- 最长递增子序列LIS问题:
- 动态规划解法. 时间复杂度是 O(N2)
- 二分查找解法. 时间复杂度是 O(NlogN)O(N\log N)O(NlogN)
- 注意: 子序列和子串之间的区别
- 子序列不一定是连续的
- 子串一定是连续的
动态规划解法
- 动态规划的核心思想: 数学归纳法
- 想要证明一个数学结论成立:
- 先假设这个结论在 k<nk < nk<n 时成立
- 然后证明 k=nk = nk=n 时此结论也成立
- 那么就说明这个结论对于 kkk 等于任何数时都是成立的
- 动态规划算法: 需要一个DP数组
- 可以假设 dp[0,...,i−1]dp[0,...,i - 1]dp[0,...,i−1] 都已经计算出来
- 通过这些结果计算出dp[i]dp[i]dp[i]
- 最长递增子序列LIS问题:
- 首先要定义清楚 dpdpdp 数组的含义
- 要清楚 dp[i]dp[i]dp[i] 的值代表的含义
- 定义: dp[i]dp[i]dp[i] 表示以 nums[i]nums[i]nums[i] 这个数结尾的最长递增子序列的长度
- 根据定义,可知最终结果的子序列的最大长度就是dp数组中的最大值
int res = 0;
for (int i = 0; i < dp.size(); i ++) {res = Math.max(res, dp[i]);
}
return res;
- 设计动态规划算法正确计算每个 dp[i]dp[i]dp[i] : 使用数学归纳法思考如何进行状态转移
- 根据对dp数组的定义,已知 dp[0,...,4]dp[0,...,4]dp[0,...,4] 的结果,要求 dp[5]dp[5]dp[5] 的值,也就是要求 nums[5]nums[5]nums[5] 为结尾的最长递增子序列
- nums[5]=3nums[5]=3nums[5]=3,因为是递增子序列,只要找到之前结尾比3小的递增子序列,然后将3接到最后,就可以形成一个新的递增子序列,并且这个新的序列长度会增加1
- 形成的子序列有多种,只是需要最长的,将最长子序列的长度作为 dp[5]dp[5]dp[5] 的值
for (int j = 0; j < i, j++) {if (nums[i] > nums[j]) {dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);} }
- 使用数学归纳法,可以计算出其余的dp数组的值
for (int i = 0; i < nums.length; i++) {for (int j = 0; j < i; j++) {if (nums[i] > nums[j]) {dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);}} }
- dp数组应该全部初始化为1, 因为子序列长度最少也要包含自己,所以最小长度为1而不为0
- 最长递增子序列完整代码:
public int lengthOfLIS() {int[] dp = new int[nums.length];// dp数组全部初始化为1Arrays.fill(dp, 1);for (int i = 0; i < nums.length; i++) {for (int j = 0; j < i; j++) {if (nums[i] > nums[j]) {dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);}}}int res = 0;for (int i = 0; i < dp.length(); i++) {res = Math.max(res, dp[i]);}return res;
}
- 最长递增子序列的DP数组算法的时间复杂度为O(N2)
- 动态规划设计流程:
- 首先明确DP数组所存数据的含义
- 这步很重要,如果含义不明确,会导致后续步骤计算混乱
- 然后根据DP数组的定义,计算出 dp[i]dp[i]dp[i]
- 运用数学归纳法的思想,假设 dp[0,...,i−1]dp[0,...,i-1]dp[0,...,i−1] 的值都是已知,根据 dp[0,...,i−1]dp[0,...,i-1]dp[0,...,i−1] 的值求出 dp[i]dp[i]dp[i]
- 一旦完成这个步骤,整个题目就基本解决了
- 如果无法完成这一步骤,就要重新思考DP数组的定义
- 或者可能是DP数组存储的信息不完全,无法推导出下一步的答案,就需要将DP数组扩大成为二维数组甚至三维数组
- 运用数学归纳法的思想,假设 dp[0,...,i−1]dp[0,...,i-1]dp[0,...,i−1] 的值都是已知,根据 dp[0,...,i−1]dp[0,...,i-1]dp[0,...,i−1] 的值求出 dp[i]dp[i]dp[i]
- 最后确定问题的base case
- 使用base case初始化数组,保证算法正确运行
- 首先明确DP数组所存数据的含义
二分查找解法
- 最长递增子序列的二分查找解法的算法时间复杂度为 O(NlogN)O(N\log N)O(NlogN)
- 最长递增子序列和一种叫作patience game的纸牌游戏有关,有一种排序算法就叫做耐心排序patience sorting
- 场景分析: 给定一排纸牌,然后从左到右像遍历数组那样一张一张处置这些纸牌,最终将这些纸牌分成若干堆
- 只能将点数小的牌压到点数大的牌上
- 如果当前牌点数较大没有可以放置的堆,则新建一个堆,将这张牌放置进去
- 如果当前牌有多个堆可供选择,则选择最左边的堆放置
- 选择最左边的堆放置的原因是为了保证堆顶的牌有序
- 按照上述规则,可以算出最长递增子序列,牌堆数就是最长递增子序列的长度
- 二分查找算法求解最长递增子序列:
- 将处理扑克牌的过程使用编程的方式表达出来
- 因为每次处理一张扑克牌要找到一个合适的牌堆顶放置,牌堆顶的牌是有序的.所以可以使用二分查找
- 使用二分查找来搜索当前牌应该放置的位置
public int LengthOfLIS(int[] nums) {int[] top = new Int[nums.length];// 牌的堆数初始化为0int piles = 0;for (int i = 0; i < nums.length; i++) {// 需要处理的牌int poker = nums[i];int left = 0, right = piles;while (left < right) {int mid = left + (right -left) / 2;if (top[mid] > poker) {right = mid;} else if (top[mid] < poker) {left = mid + 1;} else {right = mid;}}// 没有找到合适的牌堆则新建一个牌堆if (left == piles) {piles++;}// 选择最左边的牌堆放置top[left] = piles;}// 牌堆数就是最长递增子串的长度return piles;
}
- 二分查找解法:
- 首先涉及数学证明,要证明出按照这些规则的执行,就能得到最长递增子序列
- 其次是二分查找算法的应用,要理解二分查找方法的细节
- 动态规划设计方法:
- 假设之前的答案为已知
- 利用数学归纳法的思想正确进行状态转移
- 最后得到答案
- 动态规划解法:
def lengthOfLIS(self, nums : List[int]) -> int:n = len(nums)dp = [1 for x in range(0, n)]for i in range(0, n):for j in range(0, i):if nums[i] > num[j]:dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)res = 0for temp in dp:res = max(temp, res)return res
- 二分查找解法:
def lengthOfLIS(self, nums : List[int]) -> int:top = []# 牌堆初始化为0piles = 0# num为需要处理的牌for num in nums:left, right = 0, while left < right:mid = left + (right - left) / 2# 搜索左侧边界if top[mid] > num:right = mid# 搜索右侧边界elif top[mid] < num:left = mid + 1elseright = midif left == piles:# 如果没有找到合适的牌堆,就新建一个牌堆piles += 1# 将该牌放到新建的牌堆顶top[left] = num# 牌堆数就是最长递增子序列的长度return piles
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2022/11/19 21:17:09 - 计算机配置更新不起,电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?
原标题:电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?win7系统中在开机与关闭的时候总是显示“配置windows update请勿关闭计算机”相信有不少朋友都曾遇到过一次两次还能忍但经常遇到就叫人感到心烦了遇到这种问题怎么办呢?一般的方…...
2022/11/19 21:17:08 - 计算机正在配置无法关机,关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机...
关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!关机提示 windows7 正在配…...
2022/11/19 21:17:05 - 钉钉提示请勿通过开发者调试模式_钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用...
钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用 更新时间:2020-04-20 22:24:19 浏览次数:729次 区域: 南阳 > 卧龙 列举网提醒您:为保障您的权益,请不要提前支付任何费用! 虚拟位置外设器!!轨迹模拟&虚拟位置外设神器 专业用于:钉钉,外勤365,红圈通,企业微信和…...
2022/11/19 21:17:05 - 配置失败还原请勿关闭计算机怎么办,win7系统出现“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”,长时间没反应,无法进入系统的解决方案...
前几天班里有位学生电脑(windows 7系统)出问题了,具体表现是开机时一直停留在“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”这个界面,长时间没反应,无法进入系统。这个问题原来帮其他同学也解决过,网上搜了不少资料&#x…...
2022/11/19 21:17:04 - 一个电脑无法关闭计算机你应该怎么办,电脑显示“清理请勿关闭计算机”怎么办?...
本文为你提供了3个有效解决电脑显示“清理请勿关闭计算机”问题的方法,并在最后教给你1种保护系统安全的好方法,一起来看看!电脑出现“清理请勿关闭计算机”在Windows 7(SP1)和Windows Server 2008 R2 SP1中,添加了1个新功能在“磁…...
2022/11/19 21:17:03 - 请勿关闭计算机还原更改要多久,电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机怎么办...
许多用户在长期不使用电脑的时候,开启电脑发现电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机。。.这要怎么办呢?下面小编就带着大家一起看看吧!如果能够正常进入系统,建议您暂时移…...
2022/11/19 21:17:02 - 还原更改请勿关闭计算机 要多久,配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以...
配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机&#x…...
2022/11/19 21:17:01 - 电脑配置中请勿关闭计算机怎么办,准备配置windows请勿关闭计算机一直显示怎么办【图解】...
不知道大家有没有遇到过这样的一个问题,就是我们的win7系统在关机的时候,总是喜欢显示“准备配置windows,请勿关机”这样的一个页面,没有什么大碍,但是如果一直等着的话就要两个小时甚至更久都关不了机,非常…...
2022/11/19 21:17:00 - 正在准备配置请勿关闭计算机,正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了解决教程...
当电脑出现正在准备配置windows请勿关闭计算机时,一般是您正对windows进行升级,但是这个要是长时间没有反应,我们不能再傻等下去了。可能是电脑出了别的问题了,来看看教程的说法。正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了方法一…...
2022/11/19 21:16:59 - 配置失败还原请勿关闭计算机,配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机...
我们使用电脑的过程中有时会遇到这种情况,当我们打开电脑之后,发现一直停留在一个界面:“配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机”,等了许久还是无法进入系统。如果我们遇到此类问题应该如何解决呢࿰…...
2022/11/19 21:16:58 - 如何在iPhone上关闭“请勿打扰”
Apple’s “Do Not Disturb While Driving” is a potentially lifesaving iPhone feature, but it doesn’t always turn on automatically at the appropriate time. For example, you might be a passenger in a moving car, but your iPhone may think you’re the one dri…...
2022/11/19 21:16:57