微分方程建模

引例 导弹追踪问题

概述

如何建立方程

总结： 专业知识 ⼗ 套⽤现有模型（可以适当改进）

求解析解

解析解 : 给出解的具体表达式 。

matlab函数

注意：

例题

1.

2.

3.

4.

求数值解

matlab函数

含义

注意事项

例题

例1

dy = y - 2*x
自变量为x，范围为[0,2], 初始值y(0)=3 ; 因变量为y

[x,y] = ode45(‘df1’,[0,2],3)
画出图形
figure(1)
plot(x,y,'r-’)*
下面我们直接画出微分方程的解析解的图像进行对比


从图中可以看出，ode45函数得到的数值解的精度很高

设定相对误差和绝对误差，这样可以提高微分方程数值解的精度
options = odeset(‘reltol’,1e-4,‘abstol’,1e-8);
[x,y] = ode45(‘df1’,[0,2],3,options);

如果觉得x的间隔不够小，我们可以指定要求解的位置
[x,y] = ode45(‘df1’,[0:0.001:2],3,options);

例2

例3

例4

[x,y]=ode15s(‘df4’,[0,3000],[2,0]);
plot(x,y(:,1),’*’)

模型

人口预测模型

为了解决这个问题，所以提出了

阻滞增长模型

例题

捕食者猎物模型

物种相互竞争模型

物种相互依存模型

情况一：甲可以独立生存，乙不能独立生存

情况二：甲乙都可以独立生存

情况三：甲乙都不能独立生存

传染病模型

通用符号

SI模型

思考的角度有两种
第一种：


第二种：

SI模型的四种拓展

考虑某些情况使得β降低

举例：禁止大型集会，采取隔离

增加考虑出生率和死亡率（不考虑疾病的死亡）

只考虑疾病的死亡率

考虑出生率和死亡率（考虑疾病的死亡）

SIS

拓展

1.考虑α增大
比如：建立医院 升级医疗设备

2.考虑人口的出生率，死亡率等

3.考虑恢复后能产生抗体

SIR

拓展

1.考虑使得γ增大
比如：研发了疫苗

2.考虑疾病的死亡率

SIRS

SEIR