张量基础学习(四 张量代数运算——下)
欢迎大家来到这一期张量分析的相关博客学习,本期继续接着上期博客后面深入理解张量的缩并,内积,双点积等等,先赞后看,养成习惯!
Tensors learning
- 一 . 张量的缩并
- 二 . 张量的内积 双点积
- (1)内积与点积
- (2)双点积
- 三 .特殊张量
- 四. 张量的主轴 主值和主分量
一 . 张量的缩并
这又是张量所特有的一个代数运算,对 阶张量进行缩并,其实就是对其中两两相同的指标按求和约定求和(不知道大家是否还记得爱因斯坦求和指标).
我们先来看一看定义:
二阶张量缩并是标量。注意低于二阶的张量不能进行缩并过程!
三阶三维 的缩并,将第一指标与第三指标缩并。即,如上图所示,三阶变成了一阶!
结合我们之前学的爱因斯坦求和约定,从某种意义上来说,新张量每缩并一次就有两个基矢量参与,而阶数要降两阶的原因是两个自由指标化为一对哑指标!
这里有一张图片希望对大家的理解有帮助:
图片对于初学者来说比那些冗杂的数学公式更友好o(´^`)o~~ ,其实,矩阵的相乘也就是一个缩并的过程,具体到后面再介绍!
还有一点需要注意的就是:若在张量中取不同基矢量的积,那么缩并产生的结果是不同的!
因此 ,我们在这里只是大概的理解一下张量的这些概念,主流认识,真正张量分析的纯数学运算和完整的证明 需要了解协变基矢量,逆变基矢量,对偶空间,指标的升降等等,如果想做纯数学推导的同学给大家一个传送门,这是一个系列,包含各种完整的证明推导!
二 . 张量的内积 双点积
(1)内积与点积
张量的内积:两个张量 先并乘后缩并的运算叫做张量的内积(和下面的点积要分开), 和缩并一样,对于内积运算应说明将张量 的哪一个基矢量与张量 中的哪一个基矢量相点积!
若两个张量点积后得到一个新的张量 ,且 是 阶张量, 是 阶张量 ,那么 的阶数是 .
还记得我们在线代中学过的内积是个确定的值,那是因为当时的矢量是一阶张量,1+1-2=0 , 恰好为标量~~
for example:,则二者内积为:
同样,基于缩并,选择不同的基矢量进行点积得到的张量的点积结果是不同的!
那么什么是点积呢,其实二者也可以算是一种包含关系吧,其定义为前张量 的最后基矢量与后张量 的第一基矢量缩并的结果:
一定要注意这两个“积”的区别,不单基矢缩并的位置不同 ,最后的结果也是不同的(过程决定结果)!
(2)双点积
刚才理解过张量的点积,那么什么是双点积,这个“双”字体现在哪里呢?
其实,张量的双点积就是 并乘后进行两次缩并,它有两种表达形式:
并联式:
串联式:
这个二者的区别我们从公式中的彩色下标也能 清晰的看到。
那么二者是否能相互转化,什么特殊的地方?我们用二阶张量矩阵来帮助大家理解一下:
还有一个性质就是:二阶张量的迹等于该矩阵与单位矩阵 进行双点积之后得到结果:
三 .特殊张量
下面我们介绍几种特殊的张量,说是特殊,其实类比到线代学习中的矩阵是非常好理解的!
(1)零张量:
张量中的每个元素都为0,即 。
(1)单位张量:
可以类比到单位矩阵:
并且 ,所以单位张量和任意张量的点积就是其本身!
(2)转置张量:
对于二阶张量矩阵来说,转置只需要将分量指标交换一下,基矢量顺序保持不变即可:
高阶张量理论上来说也是可以进行 转置 操作的,可能会有点麻烦,但是图是最好的语言:
随着维数的增加,转置的结果肯定也是不止一种,上图是三维张量的转置结果,通常情况下,我们应当是不需要求高阶张量转置结果的,因为分解之后更利于我们详细的分析!
(3)对称与反对称张量:
这个就更简单了,从对称矩阵的角度来看,根据中 为界分为两部分,若这两部分中的元素相等,关于这一界限对称,就称为对称张量,如果对称的两部分元素相反,那么就称其为:反对称张量。
还要注意反对称张量主对角线上元素都为0;
四. 张量的主轴 主值和主分量
有一个二阶张量 与一个矢量 点积之后得到一个新矢量 ,假设它是由原矢量 进行放大(或缩小)并进行旋转得到的,那么问题就来了,对于某个已经给定的 ,是否能找到某个方向上的矢量 ,使得 经过点乘运算后得到的新矢量 与 同向,大小可以变化,即:
到这里,有两个知识点突然在我脑海中蹦了出来,第一个就是旋转矩阵,那是一个遥远的的梦,但我依稀记得那是我们在学量子力学时 遇到的,给大家个传送门,开头就是!除此之外第二个,上面这个式子是不是有那么一丝熟悉,是不是和我们线代中最重要的包含特征值与特征向量的特征方程有那么一点点神似啊!世界上最悲哀的事就是,梦想在眼前,可惜你却不认识她!
线性代数是我见过最美的数学,没有之一,不接受反驳 (︶.̮︶✽) !
那么这个符合要求的矢量 的方向称为张量 的主轴(或主方向), 称为其主值(主分量)!马上就解它!
下面我们来解一下,简单处理后得到:
其实这就是解齐次线性方程组(不赘述了),计算整理之后得到:
其中:
(迹)
(二阶主子式之和)
(行列式本身)
将这三者代回上述式子中得到三个 的值就成为 张量 的主分量!
回过头来,有几点结论需要混个眼熟:
- 本等式的成立不受坐标系的影响。
- 若主分量值 互不相同,则 相互正交!
- 如果 解出来是二重根,例如,则垂直于 的任何方向都可以是 主方向 。
- 如果三个根都重了,那么任何方向都可作为主方向,我们从 三者中随机选一个就行了!
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2022/11/19 21:17:12 - 准备windows请勿关闭计算机要多久,windows10系统提示正在准备windows请勿关闭计算机怎么办...
有不少windows10系统用户反映说碰到这样一个情况,就是电脑提示正在准备windows请勿关闭计算机,碰到这样的问题该怎么解决呢,现在小编就给大家分享一下windows10系统提示正在准备windows请勿关闭计算机的具体第一种方法:1、2、依次…...
2022/11/19 21:17:11 - 配置 已完成 请勿关闭计算机,win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机”的解决方法...
今天和大家分享一下win7系统重装了Win7旗舰版系统后,每次关机的时候桌面上都会显示一个“配置Windows Update的界面,提示请勿关闭计算机”,每次停留好几分钟才能正常关机,导致什么情况引起的呢?出现配置Windows Update…...
2022/11/19 21:17:10 - 电脑桌面一直是清理请关闭计算机,windows7一直卡在清理 请勿关闭计算机-win7清理请勿关机,win7配置更新35%不动...
只能是等着,别无他法。说是卡着如果你看硬盘灯应该在读写。如果从 Win 10 无法正常回滚,只能是考虑备份数据后重装系统了。解决来方案一:管理员运行cmd:net stop WuAuServcd %windir%ren SoftwareDistribution SDoldnet start WuA…...
2022/11/19 21:17:09 - 计算机配置更新不起,电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?
原标题:电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?win7系统中在开机与关闭的时候总是显示“配置windows update请勿关闭计算机”相信有不少朋友都曾遇到过一次两次还能忍但经常遇到就叫人感到心烦了遇到这种问题怎么办呢?一般的方…...
2022/11/19 21:17:08 - 计算机正在配置无法关机,关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机...
关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!关机提示 windows7 正在配…...
2022/11/19 21:17:05 - 钉钉提示请勿通过开发者调试模式_钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用...
钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用 更新时间:2020-04-20 22:24:19 浏览次数:729次 区域: 南阳 > 卧龙 列举网提醒您:为保障您的权益,请不要提前支付任何费用! 虚拟位置外设器!!轨迹模拟&虚拟位置外设神器 专业用于:钉钉,外勤365,红圈通,企业微信和…...
2022/11/19 21:17:05 - 配置失败还原请勿关闭计算机怎么办,win7系统出现“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”,长时间没反应,无法进入系统的解决方案...
前几天班里有位学生电脑(windows 7系统)出问题了,具体表现是开机时一直停留在“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”这个界面,长时间没反应,无法进入系统。这个问题原来帮其他同学也解决过,网上搜了不少资料&#x…...
2022/11/19 21:17:04 - 一个电脑无法关闭计算机你应该怎么办,电脑显示“清理请勿关闭计算机”怎么办?...
本文为你提供了3个有效解决电脑显示“清理请勿关闭计算机”问题的方法,并在最后教给你1种保护系统安全的好方法,一起来看看!电脑出现“清理请勿关闭计算机”在Windows 7(SP1)和Windows Server 2008 R2 SP1中,添加了1个新功能在“磁…...
2022/11/19 21:17:03 - 请勿关闭计算机还原更改要多久,电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机怎么办...
许多用户在长期不使用电脑的时候,开启电脑发现电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机。。.这要怎么办呢?下面小编就带着大家一起看看吧!如果能够正常进入系统,建议您暂时移…...
2022/11/19 21:17:02 - 还原更改请勿关闭计算机 要多久,配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以...
配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机&#x…...
2022/11/19 21:17:01 - 电脑配置中请勿关闭计算机怎么办,准备配置windows请勿关闭计算机一直显示怎么办【图解】...
不知道大家有没有遇到过这样的一个问题,就是我们的win7系统在关机的时候,总是喜欢显示“准备配置windows,请勿关机”这样的一个页面,没有什么大碍,但是如果一直等着的话就要两个小时甚至更久都关不了机,非常…...
2022/11/19 21:17:00 - 正在准备配置请勿关闭计算机,正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了解决教程...
当电脑出现正在准备配置windows请勿关闭计算机时,一般是您正对windows进行升级,但是这个要是长时间没有反应,我们不能再傻等下去了。可能是电脑出了别的问题了,来看看教程的说法。正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了方法一…...
2022/11/19 21:16:59 - 配置失败还原请勿关闭计算机,配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机...
我们使用电脑的过程中有时会遇到这种情况,当我们打开电脑之后,发现一直停留在一个界面:“配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机”,等了许久还是无法进入系统。如果我们遇到此类问题应该如何解决呢࿰…...
2022/11/19 21:16:58 - 如何在iPhone上关闭“请勿打扰”
Apple’s “Do Not Disturb While Driving” is a potentially lifesaving iPhone feature, but it doesn’t always turn on automatically at the appropriate time. For example, you might be a passenger in a moving car, but your iPhone may think you’re the one dri…...
2022/11/19 21:16:57