每日一题 - 剑指 Offer 62. 圆圈中最后剩下的数字

题目信息

• 时间： 2019-07-06

• 题目链接：Leetcode

• tag： 动态规划 迭代 约瑟夫环

• 难易程度：中等

• 题目描述：

  0,1,n-1这n个数字排成一个圆圈，从数字0开始，每次从这个圆圈里删除第m个数字。求出这个圆圈里剩下的最后一个数字。

  例如，0、1、2、3、4这5个数字组成一个圆圈，从数字0开始每次删除第3个数字，则删除的前4个数字依次是2、0、4、1，因此最后剩下的数字是3。

示例1:

输入: n = 5, m = 3
输出: 3

示例2:

输入: n = 10, m = 17
输出: 2

注意

1. 1 <= n <= 10^5
2. 1 <= m <= 10^6

解题思路

本题难点

约瑟夫环

N个人围成一圈，第一个人从1开始报数，报M的将被杀掉，下一个人接着从1开始报。如此反复，最后剩下一个，求最后的胜利者。

具体思路

约塞夫问题就是用人来举例的，那我们也给每个人一个编号（索引值），每个人用字母代替

下面这个例子是N=8 m=3的例子

我们定义F(n,m)表示最后剩下那个人的索引号，因此我们只关系最后剩下来这个人的索引号的变化情况即可

从8个人开始，每次杀掉一个人，去掉被杀的人，然后把杀掉那个人之后的第一个人作为开头重新编号

• 第一次C被杀掉，人数变成7，D作为开头，（最终活下来的G的编号从6变成3）
• 第二次F被杀掉，人数变成6，G作为开头，（最终活下来的G的编号从3变成0）
• 第三次A被杀掉，人数变成5，B作为开头，（最终活下来的G的编号从0变成3）
• 以此类推，当只剩一个人时，他的编号必定为0！（重点！）

现在我们知道了G的索引号的变化过程，那么我们反推一下
从N = 7 到N = 8 的过程

如何才能将N = 7 的排列变回到N = 8 呢？

我们先把被杀掉的C补充回来，然后右移m个人，发现溢出了，再把溢出的补充在最前面

因此我们可以推出递推公式f(8,3)=[f(7,3)+3]%8

进行推广泛化，即f(n,m)=[f(n−1,m)+m]%n

• 递推公式

提示 : 最终剩下的数字的数组下标为0；

代码

class Solution {public int lastRemaining(int n, int m) {int res = 0 ;for(int i = 2 ; i <= n; i++){res = (res + m) % i;}return res;}
}

复杂度分析：

• 时间复杂度 O(N) ：其中 N为 迭代n次的长度。
• 空间复杂度 O(1) ： 变量 res 使用常数大小的额外空间。

其他优秀解答

解题思路

模拟链表。纯暴力的做法，每次找到删除的那个数字，需要 O(m) 的时间复杂度，然后删除了 n−1 次。但实际上我们可以直接找到下一个要删除的位置的。假设当前删除的位置是 idx，下一个删除的数字的位置是 idx+m 。但是，由于把当前位置的数字删除了，后面的数字会前移一位，所以实际的下一个位置是 idx+m−1。由于数到末尾会从头继续数，所以最后取模一下，就是 (idx+m−1)(modn)。

代码

class Solution {public int lastRemaining(int n, int m) {ArrayList<Integer> list = new ArrayList<>(n);for (int i = 0; i < n; i++) {list.add(i);}int idx = 0;while (n > 1) {idx = (idx + m - 1) % n;list.remove(idx);n--;}return list.get(0);}
}