一、二叉树的概念

二叉树是结点的有限结合,这个集合或者为空或者是由一个跟结点和两棵互不相交的分别称为左子树和右子树的二叉树组成。二叉树中的每个结点至多有两棵子树,且子树有左右之分,次序不能颠倒。
二叉树是一种重要的树型结构,但是二叉树不是树的特例。二叉树的5种形态分别为:空二叉树、只有根结点的二叉树、根结点和左子树、根结点和右子树、根结点和左子树。
二叉树与树的区别:二叉树中每个结点的孩子至多不能超过两个,而树对结点的孩子树无限制;另外,二叉树中结点的子树有左右之分,而树的子树没有次序。思考一颗度为2的树与一棵二叉树有什么区别?

区别有两点:
1)二叉树的一个结点至多有两个子树,树则不然;
2)二叉树的一个结点的子树有左右之分,而树的子树没有次序。
具有3个结点的树和具有3个结点的二叉树的有所不同形态如下所示:
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二、二叉树的性质

几种种特殊形态的二叉树:满二叉树、完全二叉树、扩充二叉树。如图所示:
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深度为k且2k-1个结点的二叉树称为满二叉树。
若一棵二叉树至多只有最下面的两层上结点的度数可以小于2,并且最下一层上的结点都集中在该层最左边的若干位置上,则此二叉树称为完全二叉树。
根据定义:
1)满二叉树是完全二叉树。反之不成立;
2)对于完全二叉树,若其结点无左孩子,则必无右孩子,该结点为叶结点。

性质1:二叉树第i层上的结点数目最多为2i-1(i ≥ 1);
性质2:深度为k的二叉树至多有2k-1个结点(k ≥ 1);
性质3:任意二叉树中,若叶结点的个数为n0,度为2的结点树为n2,则n0=n2+1;
性质4:具有n个结点的完全二叉树的深度为[log2n]+1( [log2n]表示该值的最大整数 );
性质5:如果一棵树有n个结点的完全二叉树的结点按层次编号(即自上而下,自左至右),则对任一结点i(1 ≤ i ≤ n),有:

  • 1)如果i=1,则结点i是二叉树,无双亲;如果i > 1,则其双亲是编号为[i/2]的结点。
  • 2)如果 2i > n ,则结点i无左孩子;否则其左孩子是编号为2i的结点。
  • 3)如果 2i+1 > n,则结点i无右孩子;否则其右孩子是编号为 2i + 1的结点。
  • 4)若 i 为奇数且不为1,则结点i的左兄弟的编号是 i - i;否则,结点i无左兄弟。
  • 5)若i为偶数且小于n,则结点i的右兄弟编号是i+1;否则,结点i无右兄弟。

三、二叉树的存储结构

3.1 二叉树的顺序存储结构

对于完全二叉树可以采用顺序存储结构(即一维数组)进行存储,按照性质5对结点进行编号,编号为 i 的结点存放在数组第 i 个元素所分配的存储单元中,完全二叉树结点之间的逻辑关系通过数组元素的下标体现。图3.1是图的顺序存储结构。

对于非完全二叉树,通过补设一些虚线,使得二叉树的结点的编号与完全二叉树相同,再进行顺序存储。
每个“虚节点”都将占据一个数组元素存储单元。
非完全二叉树采用顺序存储结构会造成存储空间的浪费。
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3.2 二叉树的链式存储结构

二叉树除了可以采用顺序存储结构实现存储外,还可以采用链式存储结构进行存储,与采用顺序存储结构相比,采用链式存储结构实现二叉树的存储显得更自然。二叉树最常用的链式存储结构是二叉链,每个结点包含三个域,分别是数据元素域data、左孩子链域lChild、右孩子链域rChild,结点的存储结构如图3.2.1所示

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与单链表带头结点和不带头结点的两种情况相似,二叉链存储结构的二叉树也有带头结点和不带头结点两种。对于图3.1(a)所示的二叉树,带头结点和不带头结点的二叉链存储结构的二叉树如图3.2(a)图3.2(b)所示。

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四、二叉树的遍历

4.1 二叉树遍历的概念

二叉树的遍历是指沿某条搜索路径访问二叉树,对二叉树中的每个结点访问一次且仅一次。这里的“访问”实际上是指对结点进行某种操作。二叉树的遍历方式有:前序遍历、中序遍历、后序遍历,这些遍历又有先左后右和先右后左之分,如图4.1所示。

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4.2 前序遍历二叉树

在这里插入图片描述

前序遍历算法:若二叉树非空,先访问根结点,再前序遍历左子树,最后遍历右子树。如图4.2所示为二叉树的搜索路线。
遍历图4.2所示的二叉树时,得到先序序列为:A、B、D、C、E、F。

4.3 中序遍历二叉树

中序遍历算法:若二叉树非空,先中序遍历左子树,在访问根结点,最后中序遍历右子树。
遍历图4.2所示的二叉树时,得到的中序序列为:D、B、A、E、C、F。

4.4 后续遍历二叉树

后续遍历算法:若二叉树非空,先后序遍历左子树,再后序遍历右子树,最后访问根结点。
后序遍历图4.2所示的二叉树时,得到的中序序列为:D、B、E、F、C、A。

在遍历的过程中,需要注意:
1)在探索路线中,若访问结点均是第一次经过结点时进行的,则是前序遍历;若访问结点均是在第二次(或第三次)经过结点时进行的,则是中序遍历(后序遍历)。只要将搜索路线上所有在第一次、第二次和第三次经过的结点分别列表,即可分别得到该二叉树的前序序列、中序序列和后序序列。
2)上述3种序列都是线性的序列,有且仅有一个开始结点和一个终端结点,其余结点都有且仅有一个前趋结点和一个后续结点。为了区别于树形结构中前趋(即双亲)结点和后续(即孩子)结点的概念,对上述3种线性序列,要在某结点的前趋和后续之前冠以其遍历次序名称。
图4.2所示的二叉树中的结点C,其前序前趋结点是D,前序后续结点是E;中序前趋结点是E,中序后续结点是F;后序前趋结点是F,后序后续结点是A。但是就该树的逻辑结构而言,C的前趋结点是A,后续结点是E和F。

4.5 二叉树遍历算法的实现

public class BinTree {char data;    // 根结点数据BinTree left; // 左子树BinTree right;// 右子树public BinTree(char data) {this.data = data;this.left = null;this.right = null;}public static void preOrder(BinTree root) { //前序遍历if(root != null) {System.out.print(root.data + "-");preOrder(root.left);preOrder(root.right);}}public static void inOrder(BinTree root) { //中序遍历if(root != null) {inOrder(root.left);System.out.print(root.data + "-");inOrder(root.right);}}public static void postOrder(BinTree root) { //后序遍历if(root != null) {postOrder(root.left);postOrder(root.right);System.out.print(root.data + "-");}}public static void main(String[] args) {// 创建二叉树BinTree root = new BinTree('A');root.left = new BinTree('B');root.right = new BinTree('C');BinTree b = root.left;b.left = new BinTree('D');BinTree c = root.right;c.left = new BinTree('E');c.right = new BinTree('F');System.out.println("先根遍历:");preOrder(root);System.out.println("");System.out.println("中根遍历:");inOrder(root);System.out.println("");System.out.println("后根遍历:");postOrder(root);System.out.println("");}
}
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    原标题:丽彦妆\医用面膜\冷敷贴轻奢医学护肤引导者【公司简介】 广州华彬企业隶属香港华彬集团有限公司,专注美业21年,其旗下品牌: 「圣茵美」私密荷尔蒙抗衰,产后修复 「圣仪轩」私密荷尔蒙抗衰,产后修复 「花茵莳」私密荷尔蒙抗衰,产后修复 「丽彦妆」专注医学护…...

    2024/3/28 18:26:34
  23. 广州械字号面膜生产厂家OEM/ODM4项须知!

    原标题:广州械字号面膜生产厂家OEM/ODM4项须知!广州械字号面膜生产厂家OEM/ODM流程及注意事项解读: 械字号医用面膜,其实在我国并没有严格的定义,通常我们说的医美面膜指的应该是一种「医用敷料」,也就是说,医用面膜其实算作「医疗器械」的一种,又称「医用冷敷贴」。 …...

    2024/3/28 12:42:28
  24. 械字号医用眼膜缓解用眼过度到底有无作用?

    原标题:械字号医用眼膜缓解用眼过度到底有无作用?医用眼膜/械字号眼膜/医用冷敷眼贴 凝胶层为亲水高分子材料,含70%以上的水分。体表皮肤温度传导到本产品的凝胶层,热量被凝胶内水分子吸收,通过水分的蒸发带走大量的热量,可迅速地降低体表皮肤局部温度,减轻局部皮肤的灼…...

    2024/3/28 20:09:10
  25. 配置失败还原请勿关闭计算机,电脑开机屏幕上面显示,配置失败还原更改 请勿关闭计算机 开不了机 这个问题怎么办...

    解析如下&#xff1a;1、长按电脑电源键直至关机&#xff0c;然后再按一次电源健重启电脑&#xff0c;按F8健进入安全模式2、安全模式下进入Windows系统桌面后&#xff0c;按住“winR”打开运行窗口&#xff0c;输入“services.msc”打开服务设置3、在服务界面&#xff0c;选中…...

    2022/11/19 21:17:18
  26. 错误使用 reshape要执行 RESHAPE,请勿更改元素数目。

    %读入6幅图像&#xff08;每一幅图像的大小是564*564&#xff09; f1 imread(WashingtonDC_Band1_564.tif); subplot(3,2,1),imshow(f1); f2 imread(WashingtonDC_Band2_564.tif); subplot(3,2,2),imshow(f2); f3 imread(WashingtonDC_Band3_564.tif); subplot(3,2,3),imsho…...

    2022/11/19 21:17:16
  27. 配置 已完成 请勿关闭计算机,win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机...

    win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机”问题的解决方法在win7系统关机时如果有升级系统的或者其他需要会直接进入一个 等待界面&#xff0c;在等待界面中我们需要等待操作结束才能关机&#xff0c;虽然这比较麻烦&#xff0c;但是对系统进行配置和升级…...

    2022/11/19 21:17:15
  28. 台式电脑显示配置100%请勿关闭计算机,“准备配置windows 请勿关闭计算机”的解决方法...

    有不少用户在重装Win7系统或更新系统后会遇到“准备配置windows&#xff0c;请勿关闭计算机”的提示&#xff0c;要过很久才能进入系统&#xff0c;有的用户甚至几个小时也无法进入&#xff0c;下面就教大家这个问题的解决方法。第一种方法&#xff1a;我们首先在左下角的“开始…...

    2022/11/19 21:17:14
  29. win7 正在配置 请勿关闭计算机,怎么办Win7开机显示正在配置Windows Update请勿关机...

    置信有很多用户都跟小编一样遇到过这样的问题&#xff0c;电脑时发现开机屏幕显现“正在配置Windows Update&#xff0c;请勿关机”(如下图所示)&#xff0c;而且还需求等大约5分钟才干进入系统。这是怎样回事呢&#xff1f;一切都是正常操作的&#xff0c;为什么开时机呈现“正…...

    2022/11/19 21:17:13
  30. 准备配置windows 请勿关闭计算机 蓝屏,Win7开机总是出现提示“配置Windows请勿关机”...

    Win7系统开机启动时总是出现“配置Windows请勿关机”的提示&#xff0c;没过几秒后电脑自动重启&#xff0c;每次开机都这样无法进入系统&#xff0c;此时碰到这种现象的用户就可以使用以下5种方法解决问题。方法一&#xff1a;开机按下F8&#xff0c;在出现的Windows高级启动选…...

    2022/11/19 21:17:12
  31. 准备windows请勿关闭计算机要多久,windows10系统提示正在准备windows请勿关闭计算机怎么办...

    有不少windows10系统用户反映说碰到这样一个情况&#xff0c;就是电脑提示正在准备windows请勿关闭计算机&#xff0c;碰到这样的问题该怎么解决呢&#xff0c;现在小编就给大家分享一下windows10系统提示正在准备windows请勿关闭计算机的具体第一种方法&#xff1a;1、2、依次…...

    2022/11/19 21:17:11
  32. 配置 已完成 请勿关闭计算机,win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机”的解决方法...

    今天和大家分享一下win7系统重装了Win7旗舰版系统后&#xff0c;每次关机的时候桌面上都会显示一个“配置Windows Update的界面&#xff0c;提示请勿关闭计算机”&#xff0c;每次停留好几分钟才能正常关机&#xff0c;导致什么情况引起的呢&#xff1f;出现配置Windows Update…...

    2022/11/19 21:17:10
  33. 电脑桌面一直是清理请关闭计算机,windows7一直卡在清理 请勿关闭计算机-win7清理请勿关机,win7配置更新35%不动...

    只能是等着&#xff0c;别无他法。说是卡着如果你看硬盘灯应该在读写。如果从 Win 10 无法正常回滚&#xff0c;只能是考虑备份数据后重装系统了。解决来方案一&#xff1a;管理员运行cmd&#xff1a;net stop WuAuServcd %windir%ren SoftwareDistribution SDoldnet start WuA…...

    2022/11/19 21:17:09
  34. 计算机配置更新不起,电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?

    原标题&#xff1a;电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办&#xff1f;win7系统中在开机与关闭的时候总是显示“配置windows update请勿关闭计算机”相信有不少朋友都曾遇到过一次两次还能忍但经常遇到就叫人感到心烦了遇到这种问题怎么办呢&#xff1f;一般的方…...

    2022/11/19 21:17:08
  35. 计算机正在配置无法关机,关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机...

    关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 &#xff0c;然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容&#xff0c;让我们赶快一起来看一下吧&#xff01;关机提示 windows7 正在配…...

    2022/11/19 21:17:05
  36. 钉钉提示请勿通过开发者调试模式_钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用...

    钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用 更新时间:2020-04-20 22:24:19 浏览次数:729次 区域: 南阳 > 卧龙 列举网提醒您:为保障您的权益,请不要提前支付任何费用! 虚拟位置外设器!!轨迹模拟&虚拟位置外设神器 专业用于:钉钉,外勤365,红圈通,企业微信和…...

    2022/11/19 21:17:05
  37. 配置失败还原请勿关闭计算机怎么办,win7系统出现“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”,长时间没反应,无法进入系统的解决方案...

    前几天班里有位学生电脑(windows 7系统)出问题了&#xff0c;具体表现是开机时一直停留在“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”这个界面&#xff0c;长时间没反应&#xff0c;无法进入系统。这个问题原来帮其他同学也解决过&#xff0c;网上搜了不少资料&#x…...

    2022/11/19 21:17:04
  38. 一个电脑无法关闭计算机你应该怎么办,电脑显示“清理请勿关闭计算机”怎么办?...

    本文为你提供了3个有效解决电脑显示“清理请勿关闭计算机”问题的方法&#xff0c;并在最后教给你1种保护系统安全的好方法&#xff0c;一起来看看&#xff01;电脑出现“清理请勿关闭计算机”在Windows 7(SP1)和Windows Server 2008 R2 SP1中&#xff0c;添加了1个新功能在“磁…...

    2022/11/19 21:17:03
  39. 请勿关闭计算机还原更改要多久,电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机怎么办...

    许多用户在长期不使用电脑的时候&#xff0c;开启电脑发现电脑显示&#xff1a;配置windows更新失败&#xff0c;正在还原更改&#xff0c;请勿关闭计算机。。.这要怎么办呢&#xff1f;下面小编就带着大家一起看看吧&#xff01;如果能够正常进入系统&#xff0c;建议您暂时移…...

    2022/11/19 21:17:02
  40. 还原更改请勿关闭计算机 要多久,配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以...

    配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机&#xff0c;电脑开机后一直显示以以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容&#xff0c;让我们赶快一起来看一下吧&#xff01;配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机&#x…...

    2022/11/19 21:17:01
  41. 电脑配置中请勿关闭计算机怎么办,准备配置windows请勿关闭计算机一直显示怎么办【图解】...

    不知道大家有没有遇到过这样的一个问题&#xff0c;就是我们的win7系统在关机的时候&#xff0c;总是喜欢显示“准备配置windows&#xff0c;请勿关机”这样的一个页面&#xff0c;没有什么大碍&#xff0c;但是如果一直等着的话就要两个小时甚至更久都关不了机&#xff0c;非常…...

    2022/11/19 21:17:00
  42. 正在准备配置请勿关闭计算机,正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了解决教程...

    当电脑出现正在准备配置windows请勿关闭计算机时&#xff0c;一般是您正对windows进行升级&#xff0c;但是这个要是长时间没有反应&#xff0c;我们不能再傻等下去了。可能是电脑出了别的问题了&#xff0c;来看看教程的说法。正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了方法一…...

    2022/11/19 21:16:59
  43. 配置失败还原请勿关闭计算机,配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机...

    我们使用电脑的过程中有时会遇到这种情况&#xff0c;当我们打开电脑之后&#xff0c;发现一直停留在一个界面&#xff1a;“配置Windows Update失败&#xff0c;还原更改请勿关闭计算机”&#xff0c;等了许久还是无法进入系统。如果我们遇到此类问题应该如何解决呢&#xff0…...

    2022/11/19 21:16:58
  44. 如何在iPhone上关闭“请勿打扰”

    Apple’s “Do Not Disturb While Driving” is a potentially lifesaving iPhone feature, but it doesn’t always turn on automatically at the appropriate time. For example, you might be a passenger in a moving car, but your iPhone may think you’re the one dri…...

    2022/11/19 21:16:57