方阵行列式

• 行列式是数学的一个函数，可以看做是几何空间中，一个线性变换对"面积"或"体积"的影响
• 方阵行列式，n阶方阵A的行列式表示为$|A|$ 或者 det(A)
  • 1×1的方阵，其行列式等于该元素本身. $A = (a_{11}) \ \ \ |A|= a_{11}$
  • 2×2的方阵, 其行列式用主对角线元素成绩减去次对角线元素的乘积
    $A = \left ( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right )$

$|A| = a_{11} * a_{22} - a_{12} * a_{21}$

• n阶方阵A的行列式计算规则为：主对角线元素乘积和减去次对角线元素乘积和。设$r_i$为第i个主对角线的积，$I_i$为第i个次对角线的积。$0 \leq i \leq n$
  • $A = \left \{\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{array} \right \}$
  • $r_i = \Pi_{k=1}^i a_{k(n+k-i)} * \Pi_{k=i+1}^n a_{k(k-i)}$
  • $l_i = \Pi_{k=1}^i a_{k(i-k+1)} * \Pi_{k=i+1}^n a_{k(n-k+i+1)}$
  • $|A| = \sum_{i=1}^n r_i - \sum_{i=1}^n l_i$
• 根据方阵行列式的计算贵哦可以得到三阶方阵A的行列式为
  • $A =\left \{\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array} \right \}$
  • $r_i = \Pi_{k=1}^i a_{k(3-i+k)} * \Pi_{k=i+1}^3 a_{k(k-i)}$
  • $l_i = \Pi_{k=1}^i a_{k(i-k+1)} * \Pi_{k=i+1}^3 a_{k(4-k+i)}$
  • $|A| = \sum_{i=1}^3 r_i - \sum_{i=1}^3 l_i = a_{13}a_{21}a_{32} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{11}a_{22}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{13}a_{22}a_{31}$

代数余子式

• 在一个n阶的行列式A中，把元素a_{ij}(i,j=1,2,3,…,n)所在的行和列划去后, 剩下的$(n-1)^2$个元素按照原来的次序组成的一个n-1阶行列式$M_{ij}R, 称为元素a_{ij}的余子式。
• $M_{ij}$带上符号$(-1)^{i+j}$称为$a_{ij}$的代数余子式，记为：$A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}$
• $A = \left \{\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array} \right \}$
• $\forall 1 \leq j \leq n, |A| = \sum_{i=1}^n a_{ij} · (-1)^{i+j} M_{ij}$
• $\forall 1 \leq i \leq n, |A| = \sum_{j=1}^n a_{ij} · (-1)^{i+j} M_{ij}$
• $|A| = a_{13}a_{21}a_{32} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{11}a_{22}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{13}a_{22}a_{31}$
• 行列式计算例子
  • $A = \left \{\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array} \right \}$
  • $|A| = a_{13}a_{21}a_{32} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{11}a_{22}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{13}a_{22}a_{31}$
• 例：计算: $A =\left |\begin{array}{cccc}3 & 1 & 4 \\-1 & 2 & -5 \\1 & 3 & 0\end{array} \right |$
  • 按第3行展开
  • $1 × \left | \begin{array}{cccc} 1 & 4 \\ 2 & -5 \end{array} \right | + 3 × ( - \left | \begin{array}{cccc} 3 & 4 \\ -1 & -5 \end{array} \right |) = -13 + 3 × 11 = 20$

伴随矩阵

• 对于n阶方阵的任意元素$a_{ij}$都有各自的代数余子式$A_{ij}=(-1)^{i+j} M_{ij}$, 将所有的代数余子式按次序进行排列，可以得到一个n阶的方阵$A^*$
• 那么$A^*$称为矩阵A的伴随矩阵
  • 注意：$A_{ij}$位于$A^*$的第j行第i列
  • $A · A^* = |A| · E$
  • $A^* =\left \{\begin{array}{cccc}A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn}\end{array} \right \}$

方阵的逆

• 设A是数域上的一个n阶方阵，若在相同的数域上存在另一个n阶方阵B, 使得$AB=BA=E$, 那么称B为A的逆矩阵，而A被称为可逆矩阵或非奇异矩阵
• 如果A不存在逆矩阵，那么A称为奇异矩阵。A的逆矩阵记为：$A^{-1}$

性质

• 如果矩阵A是可逆的，那么矩阵A的逆矩阵是唯一的
• A的逆矩阵的逆矩阵还是A, 记为$(A^{-1})^{-1} = A$
• 可逆矩阵A的转置矩阵$A^T$也可逆，并且$(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$
• 若矩阵A可逆，则矩阵A满足消去律，即：AB=AC => B=C
• 矩阵A可逆的充要条件是行列式$|A| \neq 0$

运算规律

$A · A^{*} = |A| · E \Rightarrow A · \frac{A^*}{|A|} = ·E \Rightarrow A^{-1} = \frac{A^*}{|A|}$

• A可逆 $\Rightarrow A^{-1}$ 可逆，且 $(A^{-1})^{-1} = A$
• A可逆，$k \neq 0 \Rightarrow kA$ 可逆，且 $(kA)^{-1} = \frac{1}{k} A^{-1}$
• A,B 同阶可逆 $\Rightarrow$ AB 可逆，且 $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$
• A可逆 $\Rightarrow A^T$ 可逆，且 $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$
• A可逆 $\Rightarrow |A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$

方阵的逆

• $\forall 1 \leq i \leq n, \ \ \ |A| = \sum_{j=1}^n a_{ij} · (-1)^{i+j} M_{ij}$
• $A =\left \{\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{array} \right \}$
• $A^* =\left \{\begin{array}{cccc}A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn}\end{array} \right \}$
• $A · A^* =\left \{\begin{array}{cccc}|A| & 0 & \cdots & 0 \\0 & |A| & \cdots & 0 \\\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\0 & 0 & \cdots & |A|\end{array} \right \} =|A|E \Rightarrow A^{-1} = \frac{1}{|A|} A^*$

例子

• 求方阵$A =\left (\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 \\2 & 2 & 1 \\3 & 4 & 3 \end{array} \right )$的逆矩阵
• 分析
  • 因为$|A| =\left |\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 \\2 & 2 & 1 \\3 & 4 & 3\end{array} \right | = 2 \neq 0$
  • 所以$A^{-1}$ 存在
  • $A_{11} =\left |\begin{array}{cccc}2 & 1 \\4 & 3\end{array} \right | = 2$
  • $A_{12} = \left | \begin{array}{cccc} 2 & 1 \\ 3 & 3 \end{array} \right | = -3$
  • 同理可得：$A_{13} = 2, A_{21} = 6, A_{22} = -6, A_{23} = 2, A_{31} = -4, A_{32} = 5, A_{33} = -2$
  • 得：$A^* =\left (\begin{array}{cccc}2 & 6 & -4 \\-3 & -6 & 5 \\2 & 2 & -2\end{array} \right )$

$A^{-1} = \frac{1}{|A|} A^* = \frac{1}{2} \left ( \begin{array}{cccc} 2 & 6 & -4 \\ -3 & -6 & 5 \\ 2 & 2 & -2 \end{array} \right ) = \left ( \begin{array}{cccc} 1 & 3 & -2 \\ -\frac{3}{2} & -3 & \frac{5}{2} \\ 1 & 1 & -1 \end{array} \right )$