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1. 背景

前段时间复习完了高数第三章的内容，我参考《复习全书·基础篇》和老师讲课的内容对这一章的知识点进行了整理，形成了这篇笔记，方便在移动设备上进行访问和后续的补充修改。

2. 微分中值定理

2.1. 费马引理

设函数$f(x)$在点$x_0$处可导，如果函数$f(x)$在点$x_0$处取得极值，那么$f(x_0) = 0$.

2.2. 罗尔定理

如果$f(x)$满足以下条件

1. 在闭区间$[a, b]$上连续
2. 在开区间$(a, b)$内可导
3. $f(a) = f(b)$,

则在$(a, b)$内至少存在一点$\xi$，使得$f(\xi) \equiv 0$.

$\text{图1 罗尔定理}$

2.3. 拉格朗日中值定理

• 定义

如果$f(x)$满足以下条件

1. 在闭区间$[a, b]$上连续
2. 在开区间$(a, b)$内可导，

则在$(a, b)$内至少存在一点$\xi$，使得

$f(b) - f(a) = f'(\xi)(b - a) \tag{3.1}$

$\text{图2 拉格朗日中值定理}$

• 证明

已知函数在闭区间$[a, b]$上连续，在开区间$(a, b)$内可导，构造辅助函数

$y = f(a) + \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$

可得$g(a) = g(b)$，又因为$g(x)$在$[a, b]$上连续，在开区间$(a, b)$内可导，所以根据罗尔定理可得必有一点$\xi \in (a, b)$，使得$g'(\xi) = 0$，由此可得

$g'(\xi) = f'(\xi) - \dfrac{f(b)-f(a)}{(b-a)} = 0$

变形得

$f(b) - f(a) = f'(\xi)(b - a)$

定理证毕。

2.4. 柯西中值定理

• 定义

如果$f(x), F(x)$满足以下条件

1. 在闭区间$[a, b]$上连续
2. 在开区间$(a, b)$内可导，且$F'(x)$在$(a, b)$内每一点均不为零，则在$(a, b)$内至少存在一点$\xi$使得

$\frac{f'(\xi)}{F'(x)} = \frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)} \tag{3.2}$

$\text{图3 柯西中值定理}$

• 证明

要证明

$\frac{f'(\xi)}{F'(x)} = \frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}$

可转换为证明

$[f(b) - f(a)]F'(\xi) - [F(b) - F(a)]f'(\xi) = 0$

构造函数

$\varphi(x) = [f(b) - f(a)][F(x) - F(a)] - [F(b) - F(a)][f(x) - f(a)]$

$\varphi(x)$在$[a, b]$上连续，在开区间$(a, b)$内可导，且$\varphi(a) = \varphi(b) = 0$，由罗尔定理可知，存在$\xi \in (a, b)$，使得$\varphi'(\xi) = 0$，由此可得

$[f(b) - f(a)]F'(\xi) - [F(b) - F(a)]f'(\xi) = 0$

定理证毕。

2.5. 皮亚诺型余项泰勒公式

如果$f(x)$在点$x_0$有至$n$阶的导数，则有

$f{ \left( {x} \right) }=\mathop{ \sum }\limits_{{n=0}}^{{ \infty }}\frac{{1}}{{n!}}\mathop{{f}}\nolimits^{{(n)}}{ \left( {\mathop{{x}}\nolimits_{{0}}} \right) }{\mathop{{ \left( {x-\mathop{{x}}\nolimits_{{0}}} \right) }}\nolimits^{{n}}} + o[(x - x_0)^n],x \in U{ \left( {\mathop{{x}}\nolimits_{{0}}} \right) } \tag{3.3}$

常称$R_0 = o(x - x_0)^n$为皮亚诺余项，若$x_0 = 0$，则得麦克劳林公式

$f{ \left( {x} \right) }=\mathop{ \sum }\limits_{{n=0}}^{{ \infty }}\frac{{1}}{{n!}}\mathop{{f}}\nolimits^{{(n)}}{ \left( {0} \right) }{\mathop{{x}}\nolimits^{{n}}} + o(x^n),x \in U{ \left( {0} \right) } \tag{3.4}$

2.6. 拉格朗日型余项泰勒公式

设$f(x)$在点$x_0$有至$n + 1$阶的导数，则当$x \in (a, b)$时有

$f{ \left( {x} \right) }=\mathop{ \sum }\limits_{{n=0}}^{{ \infty }}\frac{{1}}{{n!}}\mathop{{f}}\nolimits^{{(n)}}{ \left( {\mathop{{x}}\nolimits_{{0}}} \right) }{\mathop{{ \left( {x-\mathop{{x}}\nolimits_{{0}}} \right) }}\nolimits^{{n}}} + R_n(x) \tag{3.5}$

其中$R_n(x) = \dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n + 1)!}(x - x_0)^{n + 1}$，这里$\xi$介于$x_0$与$x$之间，称为拉格朗日余项。

2.7. 几个常用的泰勒公式（拉格朗日余项）

$e^x = 1 + x + {x^2\over{2!}} + \cdots + {x^n\over{n!}} + \frac{e^{\theta x}}{(n + 1)!} x^{n + 1} \tag{3.6}$

$\sin(x) = x - {x^3\over{3!}} + \cdots + (-1)^{n-1}{{x^{2n-1}}\over{(2n)!}} + (-1)^{n} \frac{cos(\theta x)}{(2n + 1)!}x^{2n + 1} \tag{3.7}$

$\cos(x) = 1 - {x^2\over{2!}} + \cdots + (-1)^{n}{{x^{2n}}\over{(2n)!}} + + (-1)^{n} \frac{cos(\theta x)}{(2n + 2)!}x^{2n + 2} \tag{3.8}$

$\ln(1 + x) = x - {x^2\over{2}} + \cdots + (-1)^{n-1}{{x^{n}\over{n}}} + (-1)^{n} \frac{x^{(n + 1)}}{(n + 1)(1 + \theta x)^{n + 1}} \tag{3.9}$

$\begin{aligned} (1 + x) ^ \alpha = 1 + \alpha x + {\alpha (\alpha - 1)\over{2!} }x^2 + \cdots + {[\alpha!/(\alpha - n)!]\over{n!}}x^n + \\ \frac{[\alpha!/(\alpha - n - 1)!]}{(n + 1)!}(1 + \theta x) ^ {\alpha - n - 1}x^{n + 1} \tag{3.10} \end{aligned}$

2.8. 不等式的证明

• 基本不等式

$\sin(x) < x < \tan(x), x\in (0, \frac{\pi}{2}) \tag{3.11}$

$\frac{x}{1 + x} < \ln(1 + x) < x, x\in (0, +\infty) \tag{3.12}$

• 证明方法

1. 单调性

要证明不等式$f(x) \ge g(x)$，在$x \in [a, b]$区间恒成立，可转换为

$F(x) = f(x) - g(x) \ge 0 \tag{3.13}$

即证明在$[a, b]$区间内

$F'(x) > 0, F(a) \le 0 \tag{3.14}$

可总结为通过证明构造出的函数$F(x)$在闭区间内单调，且在端点值满足条件，从而证明不等式。

2. 拉格朗日中值定理

要证明不等式

$\frac{x}{1 + x} < \ln(1 + x) <x, (x > 0)$

步骤如下：

令$f(x) = ln(x)$，$f(x)$满足在$[1, 1+x]$上连续，在$(1, 1+x)$内可导，则在$(1, 1+x)$内至少存在一点$\xi$，使得

$\ln(1 + x) = \ln(1 + x) - \ln(1) = (1 + x - 1)f'(\xi) = \frac{x}{\xi}$

又因为$1 < \xi < (1 + x)$，带入端点值则不等式得证。可总结为通过使用拉格朗日中值定理构造的函数

${(b - a)}f'(a) \le {(b - a)}f'(\xi) = {f(b)- f(a)} \le {(b - a)}f'(b)$

在端点值满足条件，从而证明不等式。

3. 最大最小值

要证明不等式$f(x) \ge g(x)$，在$x \in [a, b]$区间恒成立，可转换为

$F(x) = f(x) - g(x) \ge 0$

即证明在$[a, b]$区间内有一点$x_0$满足

$F'(x_0) = 0, \lim\limits_{x \to -x_0}{f(x)} \cdot \lim\limits_{x \to +x_0}{f(x)} < 0$

即$x_0$点为$[a, b]$区间内的极值点，并证明$x_0$点的值小于其他极小值点和端点值，即$x_0$点为最小值点。同时

$f(x_0) \ge 0$

则不等式得证。可总结为通过证明最值点满足条件，从而证明不等式。

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3. 导数应用

3.1. 函数的单调性

定理 设$f(x)$在$[a, b]$上连续，在$(a, b)$内可导。

1. 若在$(a, b)$内$f'(x)>0$，则$f(x)$在$[a, b]$上单调递增
2. 若在$(a, b)$内$f'(x)<0$，则$f(x)$在$[a, b]$上单调递减

3.2. 函数的极值

3.3. 函数的最大值和最小值

3.4. 曲线的凹凸性

定义 设函数$f(x)$ 在区间 $I$ 上连续，如果对 $I$ 上任意两点 $x_1, x_2$，恒有

$f(\frac{x_1 + x_2}{2}) < \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$

则称$f(x)$ 在$I$ 上的图形是凹的。如果恒有

$f(\frac{x_1 + x_2}{2}) > \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$

则称$f(x)$ 在$I$ 上的图形是凸的。

3.5. 曲线的渐近线

3.5.1. 渐近线的定义

• 渐近线
  • 若点$M$沿曲线$y = f(x)$无限远离原点时，它与某条直线$L$之间的距离将趋近于零，则称直线$L$为曲线$y = f(x)$的一条渐近线。
• 水平渐近线
  • 若直线$L$于$x$轴平行，则称$L$为曲线$y= f(x)$的水平渐近线；
• 垂直渐近线
  • 若直线$L$于$x$轴垂直，则称$L$为曲线$y = f(x)$的垂直渐近线；
• 斜渐近线
  • 若曲线即不平行于$x$轴，也不垂直于$y$轴，则称直线$L$为曲线$y = f(x)$的斜渐近线。

3.5.2. 渐近线的求解

• 水平渐近线
  • 若$\lim\limits_{x \to \infty} f(x) = A$，那么$y = A$是曲线$y = f(x)$的水平渐近线
    • 或$\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = A$.
    • 或$\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = A$.
  • 最多两条
• 垂直渐近线
  • 若$\lim\limits_{x \to x_0s} f(x) = \infty$，那么$x = x_0$是曲线$y = f(x)$的水平渐近线
    • 或$\lim\limits_{x \to - x_0} f(x) = A$.
    • 或$\lim\limits_{x \to + x_0} f(x) = A$.
  • 最多无穷条
• 斜渐近线
  • 若$\lim\limits_{x \to x_0s} \dfrac{f(x)}{x} = a$，且$\lim\limits_{x \to \infty }(f(x) - ax) = b$，那么$x = x_0$是曲线$y = f(x)$的水平渐近线
    • 或$\lim\limits_{x \to - \infty }(f(x) - ax) = b$.
    • 或$\lim\limits_{x \to + \infty }(f(x) - ax) = b$.
  • 最多两条，某方向若有水平渐近线，则无斜渐近线，若有斜渐近线，则无水平渐近线。
  • 若一个曲线方程可以写为$y = ax + b + \alpha(x)$，其中$\alpha(x)$在$x \to \infty$时为无穷小，则有斜渐近线$y = ax + b$.

3.6. 函数的作图

利用函数的单调性、极值、曲线的凹凸性、拐点及渐近线可以作出函数曲线。

• 步骤

1. 求定义域，判断是否有无定义点
2. 求$y'$，判断单调性和极值
3. 求$y''$，判断曲线的凹凸性
4. 求极限，判断渐近线
5. 作图

3.7. 曲线的弧微分与曲率

• 弧微分
  • 定义：设$y = f(x)$在$(a, b)$内有连续导数，则有弧微分

$ds = \sqrt{1 + (y')^2}dx \tag{3.15}$

• 曲率
  • 定义：设$y = f(x)$有二阶导数，则有曲率

$K = \frac{|y''|}{(1 + (y')^2)^{3/2}} \tag{3.16}$

• 曲率半径

  • 定义：称$\rho = \dfrac{1}{K}$为曲率半径

• 曲率圆

  • 定义：若曲线$y = f(x)$在点$M(x, y)$处的曲率为$K(K \ne 0)$，在这点$M$处曲线的法线上，在曲线凹的一侧取一点$D$，使$|DM| = \dfrac{1}{K} = \rho$，以$D$为圆心，$\rho$为半径的圆成为曲线在点$M$的曲率圆。

• 曲率中心

  • 定义：曲率圆的圆心$D$，称为曲线在点$M$处的曲率中心。

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4. 总结

1. 微分中值定理

   • 罗尔定理
   • 拉格朗日中值定理
   • 柯西中值定理
   • 泰勒公式

2. 导数应用

   • 函数的单调性
   • 函数的极值、最值
   • 曲线的凹凸性和渐近线
   • 弧微分与曲率