Anti-SG游戏定义

1、决策集合为空的操作者胜。
2、其余规则与SG游戏一致。

SJ定理

对于任意一个Anti-SG游戏，如果定义所有子游戏的SG值为0时游戏结束，先手必胜的条件：
1、游戏的SG值为0且所有子游戏SG值均不超过1。
2、游戏的SG值不为0且至少一个子游戏SG值超过1。

证明

先证明第一个条件：
所有都不超过1，那么显然如果有偶数个1则先手必胜偶数个1即游戏的SG值为0。

再证明第二个条件：

如果有至少两个子游戏SG值超过1，然后其余有偶数个1。那么游戏的SG值就为所有SG值超过1的子游戏的SG值的Nim和。设为X。假设X中1的最高位为第k位，那么一定存在至少一个子游戏的SG值第k位有1，设这个子游戏的SG值为Y。那么我们可以把这个子游戏变为$Y xor X$。可以知道$Y xor X<Y$，因为会消去第k位上的1，k位之后不变，那么相当于减少了一个$2^{k-1}$，前k-1位不论如何变，最多增加$2^{k-1}-1$。根据SG函数的转移可以得知一定能转移到一个决策其SG值为$Y xor X$。接下来游戏的SG值便变为0，而此时至少存在一个子游戏的SG值超过1。此条件下先手必胜。

如果有至少两个子游戏的SG值超过1，然后其余有奇数个1。我们设所有SG值超过1的子游戏的SG值的Nim和为X。那么游戏的SG值为$X xor 1$。因为不为0，那么现在如果X=0，我们去掉一个1即可。于是变为游戏的SG值为0，而此时至少存在两个子游戏的SG值超过1。如果X不为0，那么最高位的1一定不在第一位。于是和1没有关系，像上面一样处理即可。

如果只有一个子游戏的SG值超过1，然后其余有偶数个1。显然我们可以拿将那个超过1的子游戏转移到一个决策使SG值为1，就能造成奇数个1。

如果只有一个子游戏的SG值超过1，然后其余有奇数个1。直接将那个超过1的子游戏转移到一个决策使SG值为0，就能造成奇数个1。

这样证明了先手必胜局面有至少一个后继局面为先手必败局面。
接下来需证明每一个先手必败局面都只能转移到先手必胜局面。
先来证明第二个条件：
所有SG值不超过1，那么有奇数个1先手就必败，无论如何都只能转移到有偶数个1的情况。有奇数个1即游戏的SG值不为0。

第一个条件：
如果有至少两个子游戏的SG值超过1，那么无论如何都会转移到一个先手必胜局面（有至少一个SG值超过1，游戏的SG值不为0），因为无法造成游戏的SG值继续为0。

如果只有一个子游戏的SG值超过1，这是不可能发生的，不可能存在一个局面只有一个子游戏SG值超过1但异或和为0的，一定有至少两个子游戏SG值超过1。

证毕。

习题

【JZOJ1007，SHOI2008】小约翰的游戏。

小约翰经常和他的哥哥玩一个非常有趣的游戏：桌子上有n堆石子，小约翰和他的哥哥轮流取石子，每个人取的时候，可以随意选择一堆石子，在这堆石子中取走任意多的石子，但不能一粒石子也不取，我们规定取到最后一粒石子的人算输。
小约翰相当固执，他坚持认为先取的人有很大的优势，所以他总是先取石子，而他的哥哥就聪明多了，他从来没有在游戏中犯过错误。小约翰一怒之前请你来做他的参谋。自然，你应该先写一个程序，预测一下谁将获得游戏的胜利。

每堆石子数不超过5000，一共最多500组数据，n<=50。

设sg[i]表示一堆石子含有i个石头的估价函数。显然
$sg[i]=mex_{j<i}\{sg[j]\}$
我们算出sg函数，然后用SJ定理解决此题。
复杂度$O(5000^{2}+T*N)$
但实际上，可以发现$sg[i]=i$。
可以省去转移的复杂度。

#include<cstdio>
#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
bool czy;
int i,j,k,l,t,n,m,ca;
int main(){scanf("%d",&ca);while (ca--,ca>=0){scanf("%d",&n);czy=0;l=0;fo(i,1,n){scanf("%d",&t);l^=t;if (t>1) czy=1;}if (!czy){if (n%2) printf("Brother\n");else printf("John\n");}else {if (l) printf("John\n");else printf("Brother\n");}}
}