关于快速沃尔什变换(FWT)的一点学习和思考
最近在学FWT,抽点时间出来把这个算法总结一下。
快速沃尔什变换(Fast Walsh-Hadamard Transform),简称FWT。是快速完成集合卷积运算的一种算法。
主要功能是求:,其中为集合运算符。
就像FFT一样,FWT是对数组的一种变换,我们称数组X的变换为FWT(X)。
所以FWT的核心思想是:
为了求得C=A★B,我们瞎搞搞出一个变换FWT(X),
使得FWT(C)=FWT(A) FWT(B),然后根据FWT(C)求得C。
(其中★表示卷积运算,表示将数组对应下标的数相乘的运算)
也就是说我们可以通过FWT(X)变换把复杂度O(n^2)的★运算变为O(n)的运算。
跟FFT是完全相同的。所以我们考虑怎么搞出这个FWT(X)。
与运算(&)和或运算(|)最容易理解,我们先讲讲这两个怎么搞。我们以或运算为例。
若 x | y = z,那么x和y一定满足二进制中的1为z的子集。
所以我们可以令FWT(A)=A',其中。(“i | j = i”就是表示“j满足二进制中的1为i的子集”)
(虽然以上两行根本构不成逻辑,但是请相信这个定义就是正确的)
于是我们就有C'=A' B',从这些数组的定义来看,这个式子确实是正确的。
然后我们就要研究一下FWT(A)也就是A'怎么求。当然不能枚举 i 的子集,这样复杂度太高。
既然是二进制的,我们不妨考虑用分治进行计算。(为毛是二进制就要用分治啊喂!)
我们设A0为A的前一半,A1为A的后一半,如果A的长度为2^k,那么A0、A1的长度为2^(k-1)。
如果我们知道了FWT(A0)和FWT(A1),那么FWT(A)是不是就可以求了呢?当然可以。
FWT(A)的前一半相当于二进制位的第k位填了0,那么是它子集的仍然只有FWT(A0) (它本身);
FWT(A)的后一半相当于二进制位的第k位填了1,那么是它子集的不仅仅有FWT(A1) (它本身),还有FWT(A0)。
那么转移就出来了,。
其中merge(X,Y)为X和Y两个数组接在一起, 表示将数组对应下标的数相加的运算。
这样我们就在O(2^k*k)也就是O(nlogn)的时间内求出了FWT(A)。
还有一个问题,我们怎么通过FWT(C)求得C?
这不就是FWT()的逆变换吗?根据转移方程,你难道不会倒着推回来吗?
这其实就相当于你知道了A0'、A1',然后要求得A0、A1。
因为我们已经知道了A0'=A0,A1'=A1+A0,所以我们就有A0=A0',A1=A1'-A0'。
所以:
。
既然知道了或运算,与运算也是一样的,因为与运算和或运算本质是相同的。
读者可以试着自己推一遍,再继续往下看:
然后就是鬼畜的异或,先说结论:
一种比较靠谱的说法是,其中d(x)为x的二进制中1的个数。
先想一想再往下看吧~
然后你可能会想,与和或本质上不是相同的吗?
然后就有,其中d'(x)为x的二进制中0的个数。
然后就有,
。
然后结果是一毛一样的。
(其实就是把整个数组倒过来而已)
所以又回到FWT的核心思想:
为了求得C=A★B,我们瞎搞搞出一个变换FWT(X),
使得FWT(C)=FWT(A) FWT(B),然后根据FWT(C)求得C。
所以我们只要找到运算中,数字x的一个特征FWT(x),满足FWT(x y)=FWT(x)*FWT(y)。这个特征就是FWT啦~
怎么样,是不是给你一种“我上我也行”的感觉?
然后你试图寻求异或FWT的更简单的公式:
然后你开始脑补:。
然后惊喜地发现正好满足 FWT(C)=FWT(A) FWT(B) !
然后你开始写转移公式:
(以上18行都是小C在口胡)
到底有没有靠谱的做法呢?小D说他有一种解方程的做法。
为了不失一般性,假设A、B、C数组的长度为2。C=A★B,为异或卷积运算。
然后显然C[0] = A[0]*B[0] + A[1]*B[1] , C[1] = A[0]*B[1] + A[1]*B[0]。
然后我们开始变形了!由于(我们猜想)FWT(A)一定是a*FWT(A0) + b*FWT(A1)的形式,所以:
设A'[0] = a*A[0] + b*A[1],A'[1] = c*A[0] + d*A[1]。
B和C同理,因为小C知道列一大堆方程出来肯定没人看所以小C就不列出来了。
然后就有C'[0] = A'[0]*B'[0]。解方程,得:
因为a,b不同时等于0,所以a=1,b=±1。同理,c=1,d=±1。
(由于解方程过程中有很多槽点所以小C也不能保证正确性)
然后究竟是+1还是-1呢?小D给的说法是“枚举,check一下”。
check个鬼啊(╯‵□′)╯︵┻━┻!这个做法槽点真的太多了好吗?
不过能够得出正确答案是真的。
转载于:https://www.cnblogs.com/ACMLCZH/p/8022502.html
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只能是等着,别无他法。说是卡着如果你看硬盘灯应该在读写。如果从 Win 10 无法正常回滚,只能是考虑备份数据后重装系统了。解决来方案一:管理员运行cmd:net stop WuAuServcd %windir%ren SoftwareDistribution SDoldnet start WuA…...
2022/11/19 21:17:09 - 计算机配置更新不起,电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?
原标题:电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?win7系统中在开机与关闭的时候总是显示“配置windows update请勿关闭计算机”相信有不少朋友都曾遇到过一次两次还能忍但经常遇到就叫人感到心烦了遇到这种问题怎么办呢?一般的方…...
2022/11/19 21:17:08 - 计算机正在配置无法关机,关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机...
关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!关机提示 windows7 正在配…...
2022/11/19 21:17:05 - 钉钉提示请勿通过开发者调试模式_钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用...
钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用 更新时间:2020-04-20 22:24:19 浏览次数:729次 区域: 南阳 > 卧龙 列举网提醒您:为保障您的权益,请不要提前支付任何费用! 虚拟位置外设器!!轨迹模拟&虚拟位置外设神器 专业用于:钉钉,外勤365,红圈通,企业微信和…...
2022/11/19 21:17:05 - 配置失败还原请勿关闭计算机怎么办,win7系统出现“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”,长时间没反应,无法进入系统的解决方案...
前几天班里有位学生电脑(windows 7系统)出问题了,具体表现是开机时一直停留在“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”这个界面,长时间没反应,无法进入系统。这个问题原来帮其他同学也解决过,网上搜了不少资料&#x…...
2022/11/19 21:17:04 - 一个电脑无法关闭计算机你应该怎么办,电脑显示“清理请勿关闭计算机”怎么办?...
本文为你提供了3个有效解决电脑显示“清理请勿关闭计算机”问题的方法,并在最后教给你1种保护系统安全的好方法,一起来看看!电脑出现“清理请勿关闭计算机”在Windows 7(SP1)和Windows Server 2008 R2 SP1中,添加了1个新功能在“磁…...
2022/11/19 21:17:03 - 请勿关闭计算机还原更改要多久,电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机怎么办...
许多用户在长期不使用电脑的时候,开启电脑发现电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机。。.这要怎么办呢?下面小编就带着大家一起看看吧!如果能够正常进入系统,建议您暂时移…...
2022/11/19 21:17:02 - 还原更改请勿关闭计算机 要多久,配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以...
配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机&#x…...
2022/11/19 21:17:01 - 电脑配置中请勿关闭计算机怎么办,准备配置windows请勿关闭计算机一直显示怎么办【图解】...
不知道大家有没有遇到过这样的一个问题,就是我们的win7系统在关机的时候,总是喜欢显示“准备配置windows,请勿关机”这样的一个页面,没有什么大碍,但是如果一直等着的话就要两个小时甚至更久都关不了机,非常…...
2022/11/19 21:17:00 - 正在准备配置请勿关闭计算机,正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了解决教程...
当电脑出现正在准备配置windows请勿关闭计算机时,一般是您正对windows进行升级,但是这个要是长时间没有反应,我们不能再傻等下去了。可能是电脑出了别的问题了,来看看教程的说法。正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了方法一…...
2022/11/19 21:16:59 - 配置失败还原请勿关闭计算机,配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机...
我们使用电脑的过程中有时会遇到这种情况,当我们打开电脑之后,发现一直停留在一个界面:“配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机”,等了许久还是无法进入系统。如果我们遇到此类问题应该如何解决呢࿰…...
2022/11/19 21:16:58 - 如何在iPhone上关闭“请勿打扰”
Apple’s “Do Not Disturb While Driving” is a potentially lifesaving iPhone feature, but it doesn’t always turn on automatically at the appropriate time. For example, you might be a passenger in a moving car, but your iPhone may think you’re the one dri…...
2022/11/19 21:16:57