从线性代数角度看快速变换

考虑我们现在对两个幂级数 $A,B$ 定义运算 $*$ :

假设 $A*B=C$ ，那么要求满足 $C_k=\sum\limits_{i\oplus j=k}A_iB_j$ ，现在给出 $A,B$ ，要求快速求出 $C$ 。

于是我们考虑构造矩阵 $f$ 满足 $(f*A)*(f*B)=(f*C)$ 且 $f$ 可逆，那么现在只需快速求出 $f*A,f*B,f^{-1}(f*C)$即可。

不难发现当 $\oplus$ 为加法时我们的 $f$ 即是系数表示法到点值表示法的转移矩阵。

现在考虑推导 $K$ 进制 $FWT$ 的系数矩阵：

不妨设 $n=K^i-1$ ，那么有
$\begin{aligned}(f*A)[x]*(f*B)[x]=&(f*C)[x]\\(\sum\limits_{i=0}^{n}f_{x,i}a_i)(\sum\limits_{i=0}^nf_{x,i}b_i)=&\sum\limits_{i=0}^nf_{x,i}c_i\\f_{x,k}=&\sum\limits_{i\oplus j=k}f_{x,i}f_{x,j}\end{aligned}$
显然光靠这点是不够的，我们需要给 $f_{i,j}$ 赋予更强的性质：假设当前有 $m+1$ 个 $K$ 进制位，$x=(x_0x_1x_2...x_m)_Kk$ ，我们构造$f_{x,y}=\prod\limits_{i=0}^mf_{x_i,y_i}$

记 $\hat x$ 表示 $x$ 在 $K$ 进制下的最高位， $\check x$ 表示 $x$ 在 $K$ 进制下的其余位，考虑矩阵乘法的式子：
$\begin{aligned}(f*A)[x]=&\sum\limits_{i=0}^mf_{x,i}a_i \\=&\sum\limits_{i=0}^{K-1}f_{\hat x,i}\sum\limits_{\hat j=i}f_{\check x,\check j}a_{j}\\=&\sum\limits_{i=0}^{K-1}f_{\hat x,i}(f*A_i)[\check x]\end{aligned}$

于是现在如果求出了 $f$ ，我们可以利用分治法进行快速变换。

考虑之前推出的 $f$ 元素之间的关系：
$\begin{aligned}f_{x,k}=&\sum\limits_{i\oplus j=k}f_{x,i}f_{x,j}\\=&\sum\limits_{[K|i+j-k]}f_{x,i}f_{x,j}\end{aligned}$

突然神似单位根反演？？？而且还要求有循环的意义，那么这启示我们定义 $f_{i,j}=(\omega_{k}^i)^j=\omega_{k}^{ij}$

于是
$f= \left[ \begin{matrix} 1&1&1&\cdots&1\\ 1&\omega_k^1&\omega_k^2&\cdots&\omega_k^{k-1}\\ 1&\omega_k^2&\omega_k^4&\cdots&\omega_k^{2(k-1)}\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ 1&\omega_k^{k-1}&\omega_k^{2(k-1)}&\cdots&\omega_k^{(k-1)(k-1)} \end{matrix} \right] \\ f^{-1}=\frac1k \left[ \begin{matrix} 1&1&1&\cdots&1\\ 1&\omega_k^{-1}&\omega_k^{-2}&\cdots&\omega_k^{-(k-1)}\\ 1&\omega_k^{-2}&\omega_k^{-4}&\cdots&\omega_k^{-2(k-1)}\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ 1&\omega_k^{-(k-1)}&\omega_k^{-2(k-1)}&\cdots&\omega_k^{-(k-1)(k-1)} \end{matrix} \right]$

例题：[清华集训2016]石家庄的工人阶级队伍比较坚强
代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ri register int
using namespace std;
const int rlen=1<<18|1;
inline char gc(){static char buf[rlen],*ib,*ob;(ib==ob)&&(ob=(ib=buf)+fread(buf,1,rlen,stdin));return ib==ob?-1:*ib++;
}
inline int read(){int ans=0;char ch=gc();while(!isdigit(ch))ch=gc();while(isdigit(ch))ans=((ans<<2)+ans<<1)+(ch^48),ch=gc();return ans;
}
const int N=550000;
int m,t,mod,n,trans[15][15],pw[15];
typedef long long ll;
inline int add(int a,int b){return (a+=b)<mod?a:a-mod;}
inline int dec(int a,int b){return (a-=b)<0?a+mod:a;}
inline int mul(int a,int b){return (ll)a*b%mod;}
inline void Add(int&a,int b){(a+=b)<mod?a:a-=mod;}
inline void Dec(int&a,int b){(a-=b)<0?a+=mod:a;}
inline void Mul(int&a,int b){a=(ll)a*b%mod;}
inline int ksm(int a,int p){int ret=1;for(;p;p>>=1,Mul(a,a))if(p&1)Mul(ret,a);return ret;}
struct cp{int x,y;cp(int x=0,int y=0):x(x),y(y){}friend inline cp operator+(cp a,cp b){return cp(add(a.x,b.x),add(a.y,b.y));}friend inline cp operator-(cp a,cp b){return cp(dec(a.x,b.x),dec(a.y,b.y));}friend inline cp operator*(cp a,cp b){return cp(dec(mul(a.x,b.x),mul(a.y,b.y)),dec(add(mul(a.x,b.y),mul(a.y,b.x)),mul(a.y,b.y)));}friend inline cp operator^(cp a,int p){cp ret=cp(1,0);for(;p;p>>=1,a=a*a)if(p&1)ret=ret*a;return ret;}friend inline bool operator<(cp a,cp b){return a.x^b.x?a.x<b.x:a.y<b.y;}
}w[3],a[N],b[N];
map<cp,cp>S;
inline void exgcd(int a,int b,int&x,int&y){if(!b){x=1,y=0;return;}exgcd(b,a-a/b*b,x,y);int t=x;x=y,y=t-a/b*y;
}
inline int inv(int a){int x,y,b=mod;exgcd(a,b,x,y);return (x%b+b)%b;
}
inline void dft(cp*a,int type){cp a0,a1,a2;for(ri i=1;i<n;i*=3){for(ri j=0,len=i*3;j<n;j+=len){for(ri k=0;k<i;++k){a0=a[j+k],a1=a[j+k+i],a2=a[j+k+i*2];a[j+k]=a0+a1+a2;a[j+k+i]=a0+w[1]*a1+w[2]*a2;a[j+k+i*2]=a0+w[1]*a2+w[2]*a1;if(type==-1)swap(a[j+k+i],a[j+k+i*2]);}}}
}
inline void dfs(int ps,int sta,int ct1,int ct2){if(ps==m){b[sta].x=trans[ct1][ct2];return;}dfs(ps+1,sta+(pw[ps]<<1),ct1,ct2+1);dfs(ps+1,sta+pw[ps],ct1+1,ct2);dfs(ps+1,sta,ct1,ct2);
}
inline cp get(cp a,int t){return S.count(a)?S[a]:S[a]=a^t;}
int main(){#ifdef ldxcaicaifreopen("lx.in","r",stdin);#endifpw[0]=1;m=read(),t=read(),mod=read();w[0]=cp(1,0),w[1]=cp(0,1),w[2]=cp(mod-1,mod-1);for(ri i=1;i<=m;++i)pw[i]=pw[i-1]*3;n=pw[m];for(ri i=0;i<n;++i)a[i].x=read();for(ri i=0;i<=m;++i)for(ri j=0;i+j<=m;++j)trans[i][j]=read();dfs(0,0,0,0);dft(a,1),dft(b,1);for(ri i=0;i<n;++i)a[i]=a[i]*get(b[i],t);dft(a,-1);for(ri iv=inv(n),i=0;i<n;++i)cout<<mul(a[i].x,iv)<<'\n';return 0;
}

UPD:感谢wcr巨佬帮我修锅QwQ