快速沃尔什变换(FWT)及K进制异或卷积&快速子集变换(FST)讲解
前言:
$FWT$是用来处理位运算(异或、与、或)卷积的一种变换。位运算卷积是什么?形如$f[i]=\sum\limits_{j\oplus k==i}^{ }g[j]*h[k]$的卷积形式(其中$\oplus$为位运算)就是位运算卷积。如果暴力枚举的话,时间复杂度是$O(n^2)$,但运用$FWT$来解决就可达到$O(nlog_{n})$的时间复杂度。$FST$则是借助$FWT$来进行的对子集卷积的优化,相当于$FWT$的一个应用。
FWT
与卷积
对于与运算,有一个结论:$(i\&j)\&k==k<-->(i\&k==k)\&\&(j\&k==k)$。
那么我们就可以构造一个求父集和的函数$F(i)=\sum\limits_{j\&i==i}^{ }f(i)$,由此我们可以推出:
$G(k)*H(k)$
$=\sum\limits_{i\&k==k}^{ }g(i)\sum\limits_{j\&k==k}^{ }h(j)$
$=\sum\limits_{(i\&j)\&k==k}^{ }g(i)*h(j)$
$=\sum\limits_{t\&k==k}^{ }\sum\limits_{i\&j==t}^{ }g(i)*h(j)$
因为$f(t)=\sum\limits_{i\&j==t}^{ }g(i)*h(j)$,
所有上式$=\sum\limits_{t\&k==k}^{ }f(t)=F(k)$
因此我们只需要将$g,h$正变换成$G,H$,然后对应位相乘得到$F$后再将$F$逆变换回去即可得到$f$。
那么如何正变换?
以下面为例:
00 a
01 b
10 c
11 d
我们从最低位开始考虑,每次只考虑只有当前位不同的两个数之间的影响。显然求父集只有$1$会对$0$有贡献,因此我们将$01$的值加到$00$上,将$11$的值加到$10$上,再看下一位,同样将$11$的值加到$01$上,将$10$的值加到$00$上。这样最后$00$的值为$a+b+c+d$,$01$的值为$b+d$,$10$的值为$c+d$,$11$的值为$d$。同样逆变换就是将$1$的值从$0$上减掉即可。
附上代码
void fwt_and(int *a,int opt)
{for(int k=2;k<=n;k<<=1){for(int i=0,t=k>>1;i<n;i+=k){for(int j=i;j<i+t;j++){if(opt==1){a[j]=(a[j]+a[j+t])%mod;}else{a[j]=(a[j]-a[j+t]+mod)%mod;}}}}
}
或卷积
或卷积和与卷积类似,对于或卷积同样有结论:$(i|j)|k==k<-->(i|k==k)\&\&(j|k==k)$
这次我们需要构造一个求子集和的函数$G(i)=\sum\limits_{j|i==i}^{ }g(j)$,推导过程和与卷积类似。
对于正变换,显然只有$0$对$1$有贡献;对于逆变换,只需要将$0$的值从$1$中减掉即可。
附上代码
void fwt_or(int *a,int opt)
{for(int k=2;k<=n;k<<=1){for(int i=0,t=k>>1;i<n;i+=k){for(int j=i;j<i+t;j++){if(opt==1){a[j+t]=(a[j+t]+a[j])%mod;}else{a[j+t]=(a[j+t]-a[j]+mod)%mod;}}}}
}
异或卷积
对于异或卷积,我们设$bit(i)$代表$i$的二进制中$1$的奇偶性,因此有一个结论(这里异或用$\oplus$表示):$bit(i\&k)\oplus bit(j\&k)=bit((i\oplus j)\&k)$
对于原多项式$g$构造$G(i)=\sum\limits_{j=0}^{2^n-1}(-1)^{bit(j\&i)}g(j)$
开始推导:
$G(k)*H(k)$
$=\sum (-1)^{bit(i\&k)}g(i)\sum (-1)^{bit(j\&k)}h(j)$
$=\sum (-1)^{bit((i\oplus j)\& k)}g(i)*h(j)$
$=\sum (-1)^{bit(t\&k)}\sum\limits_{i\oplus j==t}^{ }g(i)*h(j)$
$=\sum (-1)^{bit(t\&k)}f(t)$
$=F(k)$
对于正变换,我们同样从最低位向最高位考虑,每次只考虑只有当前位不同的两个数之间的影响。对于每对$0$和$1$(设值分别为$a$和$b$),$0\&0=0$和$0\&1=0$都不会影响$bit$的值,所以$0$那个位置的值变成$a+b$;$1\&0=0$不会影响$bit$的值,但$1\&1=1$会影响$bit$的值(相当于在前面乘上一个$-1$的系数),因此$1$那个位置的值变成$a-b$。对于逆变换,相当于我们现在知道两个位置$x=a+b$,$y=a-b$,求$a$和$b$,可以得到$a=\frac{x+y}{2},b=\frac{x-y}{2}$。
附上代码
void fwt_xor(int *a,int opt)
{int tmp;for(int k=2;k<=n;k<<=1){for(int i=0,t=k>>1;i<n;i+=k){for(int j=i;j<i+t;j++){tmp=a[j];a[j]=(a[j]+a[j+t])%mod;a[j+t]=(tmp-a[j+t]+mod)%mod;if(opt==-1){a[j]=1ll*a[j]*inv%mod;a[j+t]=1ll*a[j+t]*inv%mod;}}}}
}
K进制异或卷积
可以发现二进制的异或运算相当于不进位加法即每一位对应相加后对$2$取模,而与运算相当于不进位乘法即每一位对应相乘后对$2$取模,$bit$相当于求二进制每一位的和对$2$取模。那么我们将这些在二进制下的运算扩展到$K$进制可以发现同样满足上述的结论,但对于从$g$求$G$的部分每个数前面的系数的底数是$-1$,显然这个系数不能扩展到$K$进制。那么我们现在就需要找一个系数$w$满足$w^0,w^1,w^2……w^{k-1}$都各不相同且$w^i=w^{i\%k}$。从$FFT$中我们知道了复数单位根这个东西,那么我们完全可以将$w$取$K$次单位根,这样就可以满足以上性质了!类比二进制亦或的正变换也可以得出$K$进制的正变换。
FST
$FST$通常用来优化一类子集$DP$,例如$f(S)=\sum g(T)*h(S-T)$,其中$T$是$S$的子集。
对于这个方程我们不能直接用$FWT$卷积,因为如果$g(i)*h(j)$会对$f(k)$有贡献就要求$i|j=k,i\&j=0$。
显然位运算卷积不能同时满足这两个要求,那么我们将方程变成二维表示$f[S][i]=\sum\limits_{j=1}^{i}\sum\limits_{a|b==S}^{ }g[a][j]*h[b][i-j]$
其中的第二维表示集合大小,对于$f[S][i]$只有当$i=|S|$时才有值,这样第一维保证并集为$S$,第二维保证交集为空集,所以其他不合法的状态不会影响答案。
这样我们就能对式子进行卷积:$F[S][i]=\sum\limits_{j=1}^{i}G[S][j]*H[S][i-j]$。求出每个$F$的值再$FWT$逆变换回去即可。
原题中的$f[S]$就是二维状态中的$f[S][|S|]$。
时间复杂度为$O(2^n*n^2)$。
转载于:https://www.cnblogs.com/Khada-Jhin/p/10005488.html
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2024/4/30 9:42:49 - 配置失败还原请勿关闭计算机,电脑开机屏幕上面显示,配置失败还原更改 请勿关闭计算机 开不了机 这个问题怎么办...
解析如下:1、长按电脑电源键直至关机,然后再按一次电源健重启电脑,按F8健进入安全模式2、安全模式下进入Windows系统桌面后,按住“winR”打开运行窗口,输入“services.msc”打开服务设置3、在服务界面,选中…...
2022/11/19 21:17:18 - 错误使用 reshape要执行 RESHAPE,请勿更改元素数目。
%读入6幅图像(每一幅图像的大小是564*564) f1 imread(WashingtonDC_Band1_564.tif); subplot(3,2,1),imshow(f1); f2 imread(WashingtonDC_Band2_564.tif); subplot(3,2,2),imshow(f2); f3 imread(WashingtonDC_Band3_564.tif); subplot(3,2,3),imsho…...
2022/11/19 21:17:16 - 配置 已完成 请勿关闭计算机,win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机...
win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机”问题的解决方法在win7系统关机时如果有升级系统的或者其他需要会直接进入一个 等待界面,在等待界面中我们需要等待操作结束才能关机,虽然这比较麻烦,但是对系统进行配置和升级…...
2022/11/19 21:17:15 - 台式电脑显示配置100%请勿关闭计算机,“准备配置windows 请勿关闭计算机”的解决方法...
有不少用户在重装Win7系统或更新系统后会遇到“准备配置windows,请勿关闭计算机”的提示,要过很久才能进入系统,有的用户甚至几个小时也无法进入,下面就教大家这个问题的解决方法。第一种方法:我们首先在左下角的“开始…...
2022/11/19 21:17:14 - win7 正在配置 请勿关闭计算机,怎么办Win7开机显示正在配置Windows Update请勿关机...
置信有很多用户都跟小编一样遇到过这样的问题,电脑时发现开机屏幕显现“正在配置Windows Update,请勿关机”(如下图所示),而且还需求等大约5分钟才干进入系统。这是怎样回事呢?一切都是正常操作的,为什么开时机呈现“正…...
2022/11/19 21:17:13 - 准备配置windows 请勿关闭计算机 蓝屏,Win7开机总是出现提示“配置Windows请勿关机”...
Win7系统开机启动时总是出现“配置Windows请勿关机”的提示,没过几秒后电脑自动重启,每次开机都这样无法进入系统,此时碰到这种现象的用户就可以使用以下5种方法解决问题。方法一:开机按下F8,在出现的Windows高级启动选…...
2022/11/19 21:17:12 - 准备windows请勿关闭计算机要多久,windows10系统提示正在准备windows请勿关闭计算机怎么办...
有不少windows10系统用户反映说碰到这样一个情况,就是电脑提示正在准备windows请勿关闭计算机,碰到这样的问题该怎么解决呢,现在小编就给大家分享一下windows10系统提示正在准备windows请勿关闭计算机的具体第一种方法:1、2、依次…...
2022/11/19 21:17:11 - 配置 已完成 请勿关闭计算机,win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机”的解决方法...
今天和大家分享一下win7系统重装了Win7旗舰版系统后,每次关机的时候桌面上都会显示一个“配置Windows Update的界面,提示请勿关闭计算机”,每次停留好几分钟才能正常关机,导致什么情况引起的呢?出现配置Windows Update…...
2022/11/19 21:17:10 - 电脑桌面一直是清理请关闭计算机,windows7一直卡在清理 请勿关闭计算机-win7清理请勿关机,win7配置更新35%不动...
只能是等着,别无他法。说是卡着如果你看硬盘灯应该在读写。如果从 Win 10 无法正常回滚,只能是考虑备份数据后重装系统了。解决来方案一:管理员运行cmd:net stop WuAuServcd %windir%ren SoftwareDistribution SDoldnet start WuA…...
2022/11/19 21:17:09 - 计算机配置更新不起,电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?
原标题:电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?win7系统中在开机与关闭的时候总是显示“配置windows update请勿关闭计算机”相信有不少朋友都曾遇到过一次两次还能忍但经常遇到就叫人感到心烦了遇到这种问题怎么办呢?一般的方…...
2022/11/19 21:17:08 - 计算机正在配置无法关机,关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机...
关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!关机提示 windows7 正在配…...
2022/11/19 21:17:05 - 钉钉提示请勿通过开发者调试模式_钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用...
钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用 更新时间:2020-04-20 22:24:19 浏览次数:729次 区域: 南阳 > 卧龙 列举网提醒您:为保障您的权益,请不要提前支付任何费用! 虚拟位置外设器!!轨迹模拟&虚拟位置外设神器 专业用于:钉钉,外勤365,红圈通,企业微信和…...
2022/11/19 21:17:05 - 配置失败还原请勿关闭计算机怎么办,win7系统出现“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”,长时间没反应,无法进入系统的解决方案...
前几天班里有位学生电脑(windows 7系统)出问题了,具体表现是开机时一直停留在“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”这个界面,长时间没反应,无法进入系统。这个问题原来帮其他同学也解决过,网上搜了不少资料&#x…...
2022/11/19 21:17:04 - 一个电脑无法关闭计算机你应该怎么办,电脑显示“清理请勿关闭计算机”怎么办?...
本文为你提供了3个有效解决电脑显示“清理请勿关闭计算机”问题的方法,并在最后教给你1种保护系统安全的好方法,一起来看看!电脑出现“清理请勿关闭计算机”在Windows 7(SP1)和Windows Server 2008 R2 SP1中,添加了1个新功能在“磁…...
2022/11/19 21:17:03 - 请勿关闭计算机还原更改要多久,电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机怎么办...
许多用户在长期不使用电脑的时候,开启电脑发现电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机。。.这要怎么办呢?下面小编就带着大家一起看看吧!如果能够正常进入系统,建议您暂时移…...
2022/11/19 21:17:02 - 还原更改请勿关闭计算机 要多久,配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以...
配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机&#x…...
2022/11/19 21:17:01 - 电脑配置中请勿关闭计算机怎么办,准备配置windows请勿关闭计算机一直显示怎么办【图解】...
不知道大家有没有遇到过这样的一个问题,就是我们的win7系统在关机的时候,总是喜欢显示“准备配置windows,请勿关机”这样的一个页面,没有什么大碍,但是如果一直等着的话就要两个小时甚至更久都关不了机,非常…...
2022/11/19 21:17:00 - 正在准备配置请勿关闭计算机,正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了解决教程...
当电脑出现正在准备配置windows请勿关闭计算机时,一般是您正对windows进行升级,但是这个要是长时间没有反应,我们不能再傻等下去了。可能是电脑出了别的问题了,来看看教程的说法。正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了方法一…...
2022/11/19 21:16:59 - 配置失败还原请勿关闭计算机,配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机...
我们使用电脑的过程中有时会遇到这种情况,当我们打开电脑之后,发现一直停留在一个界面:“配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机”,等了许久还是无法进入系统。如果我们遇到此类问题应该如何解决呢࿰…...
2022/11/19 21:16:58 - 如何在iPhone上关闭“请勿打扰”
Apple’s “Do Not Disturb While Driving” is a potentially lifesaving iPhone feature, but it doesn’t always turn on automatically at the appropriate time. For example, you might be a passenger in a moving car, but your iPhone may think you’re the one dri…...
2022/11/19 21:16:57