机器学习(4): 支持向量机(Support Vector Machine) 算法小结
文章目录
- 1 SVM 简介
- 2 引例
- 3 SVM背后的最优化问题
- 3.1 自然语言描述
- 3.2 数学语言描述
- 参考资料
注:转载请标明原文出处链接:https://xiongyiming.blog.csdn.net/article/details/94553561
1 SVM 简介
支持向量机 (Support Vector Machine, SVM)是一类按监督学习 (supervised learning)方式对数据进行二元分类(binary classification)的广义线性分类器 (generalized linear classifier),其决策边界是对学习样本求解的最大边距超平面(maximum-margin hyperplane)。
SVM被提出于1964年,在二十世纪90年代后得到快速发展并衍生出一系列改进和扩展算法,在人像识别(face recognition)、 文本分类(text categorization)等模式识别(pattern recognition)问题中有得到应用。
SVM是由模式识别中广义肖像算法(generalized portrait algorithm)发展而来的分类器,其早期工作来自前苏联学者Vladimir N. Vapnik和Alexander Y. Lerner在1963年发表的研究 [8] 。1964年,Vapnik和Alexey Y. Chervonenkis对广义肖像算法进行了进一步讨论并建立了硬边距的线性SVM [9] 。此后在二十世纪70-80年代,随着模式识别中最大边距决策边界的理论研究 [10] 、基于松弛变量(slack variable)的规划问题求解技术的出现 [11] ,和VC维(Vapnik-Chervonenkis dimension, VC dimension)的提出 [12] ,SVM被逐步理论化并成为统计学习理论的一部分。1992年,Bernhard E. Boser、Isabelle M. Guyon和Vapnik通过核方法首次得到了非线性SVM。1995年,Corinna Cortes和Vapnik提出了软边距的非线性SVM并将其应用于手写数字识别问题,这份研究在发表后得到了广泛的关注和引用,为其后SVM在各领域的应用奠定了基础。
(以上来源于百度百科)
2 引例
我们通过一个故事来理解SVM。这个故事也主要参考博客:https://cuijiahua.com/blog/2017/11/ml_8_svm_1.html
很久以前一位大侠闭关修炼10年,想在江湖上留下自己的名号,不断地向各个武林门派挑战。其中一个门派的掌门布局迎接这位大侠的挑战。这位掌门对这位大侠说:“你能用一根棍将下面不同颜色的球分开?要求:尽量在放更多球之后,仍然适用。”(布局如下图所示)
这位大侠很快地找到一个合适的位置放了棍,心想这是考我的智商吗?
这位掌门又随机放了很多球。
显然掌门有几个故意是放错了,大侠有赶紧对棍的位置做出调整。
如上图所示,大侠试图把棍放在最佳位置,好让在棍的两边有尽可能大的间隙。这个间隙就是球到棍的距离,这就是SVM。然而,这位掌门发现这位大侠智力还可以,再考一考内功如何,掌门又重新布局,如下图所示:
现在,这位大侠没有棍可以很好帮他分开两种球了,现在怎么办呢?大侠苦思冥想,一会儿想到了一个办法,大侠用自己闭关修炼10年练出来的内功将这球都打入空中,然后,大侠随手拿一张纸,插入两个球的中间,如下图所示:
现在,掌门这个布局被大侠用一条曲线给分开了,如下图所示:
掌门看了这位大侠内功深厚,对这位大侠赞不绝口。
多年以后,大牛们把这些球称为数据(data),把棍子称为分类器 (classifier), 找到最大间隙的trick叫做优化(optimization),用内功将这些球弄到空中称为核(kernel), 那张纸称为超平面 (hyperplane)。
SVM超平面视频链接如下
B站:https://www.bilibili.com/video/av33852263/
YouTube: https://www.youtube.com/watch?v=3liCbRZPrZA
当一个分类问题,数据是线性可分的,也就是用一根棍就可以将两种小球分开的时候,我们只要将棍的位置放在让小球距离棍的距离最大化的位置即可,寻找这个最大间隔的过程,就叫做最优化。但是,现实往往是很残酷的,一般的数据是线性不可分的,也就是找不到一个棍将两种小球很好的分类。这个时候,我们就需要像大侠一样,运用内功将小球拍起,用一张纸代替小棍将小球进行分类。想要让数据飞起,我们需要的东西就是核函数 (kernel),用于切分小球的纸,就是超平面(hyperplane)。
下面就将具体说明SVM背后的最优化问题。
3 SVM背后的最优化问题
3.1 自然语言描述
对于下图的数据进行分类,我们容易地将其进行分类,并且有很多种方法。
如下图所示,给出了三种办法将数据进行分类,直观看上去,应该去找位于两类训练样本的“正中间”画出分界线。因为中间的那条线中规中矩,对训练样本的局部扰动的容忍性最好。
因此,在进行分类时,我们需要找出最佳的分界线(超平面),这样的分类结果的鲁棒性更强。
SVM需要尝试寻找最优的决策边界,距离两个类型的最近的样本最远。上图外边的两条直线上的点(最近的样本点) 称之为支持向量。而外边的两条直线的距离称之为间隔(margin)。SVM的任务就是使得间隔最大化。
对于上述问题可以很容易的进行分类,我们称之为硬间隔 (Hard Margin)。而在实际情况中,大部分数据并不是这么容易进行分类。为了解决上述问题,我们允许SVM出现一些错误并且这些错误在一定范围是可接受的,这被称之为软间隔 (soft margin)。
3.2 数学语言描述
前面说到,SVM的任务就是使得间隔最大化,如下图所示,间隔为2,那么如何使用做数学去描述这个间隔呢?
首先回顾一下高中学习过的点到直线的距离:
给出点,直线为,则点到直线的距离为:
同样地,点 到平面的距离为:
同理也可以拓展维空间点x,在样本空间中,超平面可通过线性方程描述为:
其中,为超平面的法向量,决定超平面的方向;为位移项,决定超平面与维空间中的原点之间的距离。下面将超平面记为,因此维样本空间中任一点x到超平面的距离为:
其中, .
给定样本数据集用于分类,假设超平面能将样本空间的点正确分类,即对于任意的,若,则+1类别样本中的点到超平面的距离要大于等于间隔d,即;若,则-1类别样本中的点到超平面的距离要大于等于间隔,即,将绝对值去掉,化简为.
因此,合并起来:
将上式化简:
而上式中为一个数,所以可以化简为:
其中,,。这样化简的目的是方便后面的计算。
因此,化简后的分类直线如下图所示:
其中,最中间的直线方程同样也可以化简,如下图所示:
这样三条直线方程都统一起来,为了后面表达方便,我们再次化简,将公式(7)重新定义为:
将两边同时乘上
因此,要有正确分类,必须满足公式(9)的表达式。即公式(9)作为约束条件。
我们的任务就是最大化间隔,而间隔的大小为2:
则这个间隔(margin)定义为:
如上图所示,这是被重新定义的直线方程以及间隔。
若想找到最大间隔(maximum margin),即在公式(9)的约束条件下,找到间隔最大值即可,则:
注:这个最优化问题是有约束条件的,我们称之为有条件的最优化问题。
显然,为了最大化间隔,仅需要最大化 ,这个等价于最小化 。则公示最优化问题可转化为:
这就是支持向量机 (Support Vector Machine, SVM) 背后的最优化问题。
注:本博客只说明支持向量机的原理(背后的最优化的问题)。关于最优化问题如何求解比较复杂,后面有时间会更新。
参考资料
[1] https://coding.imooc.com/class/169.html#Anchor
[2] https://cuijiahua.com/blog/2017/11/ml_8_svm_1.html
[3] 机器学习, 北京: 清华大学出版社, 2016年1月
[4] 机器学习(西瓜书). 公式推导解析
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置信有很多用户都跟小编一样遇到过这样的问题,电脑时发现开机屏幕显现“正在配置Windows Update,请勿关机”(如下图所示),而且还需求等大约5分钟才干进入系统。这是怎样回事呢?一切都是正常操作的,为什么开时机呈现“正…...
2022/11/19 21:17:13 - 准备配置windows 请勿关闭计算机 蓝屏,Win7开机总是出现提示“配置Windows请勿关机”...
Win7系统开机启动时总是出现“配置Windows请勿关机”的提示,没过几秒后电脑自动重启,每次开机都这样无法进入系统,此时碰到这种现象的用户就可以使用以下5种方法解决问题。方法一:开机按下F8,在出现的Windows高级启动选…...
2022/11/19 21:17:12 - 准备windows请勿关闭计算机要多久,windows10系统提示正在准备windows请勿关闭计算机怎么办...
有不少windows10系统用户反映说碰到这样一个情况,就是电脑提示正在准备windows请勿关闭计算机,碰到这样的问题该怎么解决呢,现在小编就给大家分享一下windows10系统提示正在准备windows请勿关闭计算机的具体第一种方法:1、2、依次…...
2022/11/19 21:17:11 - 配置 已完成 请勿关闭计算机,win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机”的解决方法...
今天和大家分享一下win7系统重装了Win7旗舰版系统后,每次关机的时候桌面上都会显示一个“配置Windows Update的界面,提示请勿关闭计算机”,每次停留好几分钟才能正常关机,导致什么情况引起的呢?出现配置Windows Update…...
2022/11/19 21:17:10 - 电脑桌面一直是清理请关闭计算机,windows7一直卡在清理 请勿关闭计算机-win7清理请勿关机,win7配置更新35%不动...
只能是等着,别无他法。说是卡着如果你看硬盘灯应该在读写。如果从 Win 10 无法正常回滚,只能是考虑备份数据后重装系统了。解决来方案一:管理员运行cmd:net stop WuAuServcd %windir%ren SoftwareDistribution SDoldnet start WuA…...
2022/11/19 21:17:09 - 计算机配置更新不起,电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?
原标题:电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?win7系统中在开机与关闭的时候总是显示“配置windows update请勿关闭计算机”相信有不少朋友都曾遇到过一次两次还能忍但经常遇到就叫人感到心烦了遇到这种问题怎么办呢?一般的方…...
2022/11/19 21:17:08 - 计算机正在配置无法关机,关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机...
关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!关机提示 windows7 正在配…...
2022/11/19 21:17:05 - 钉钉提示请勿通过开发者调试模式_钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用...
钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用 更新时间:2020-04-20 22:24:19 浏览次数:729次 区域: 南阳 > 卧龙 列举网提醒您:为保障您的权益,请不要提前支付任何费用! 虚拟位置外设器!!轨迹模拟&虚拟位置外设神器 专业用于:钉钉,外勤365,红圈通,企业微信和…...
2022/11/19 21:17:05 - 配置失败还原请勿关闭计算机怎么办,win7系统出现“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”,长时间没反应,无法进入系统的解决方案...
前几天班里有位学生电脑(windows 7系统)出问题了,具体表现是开机时一直停留在“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”这个界面,长时间没反应,无法进入系统。这个问题原来帮其他同学也解决过,网上搜了不少资料&#x…...
2022/11/19 21:17:04 - 一个电脑无法关闭计算机你应该怎么办,电脑显示“清理请勿关闭计算机”怎么办?...
本文为你提供了3个有效解决电脑显示“清理请勿关闭计算机”问题的方法,并在最后教给你1种保护系统安全的好方法,一起来看看!电脑出现“清理请勿关闭计算机”在Windows 7(SP1)和Windows Server 2008 R2 SP1中,添加了1个新功能在“磁…...
2022/11/19 21:17:03 - 请勿关闭计算机还原更改要多久,电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机怎么办...
许多用户在长期不使用电脑的时候,开启电脑发现电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机。。.这要怎么办呢?下面小编就带着大家一起看看吧!如果能够正常进入系统,建议您暂时移…...
2022/11/19 21:17:02 - 还原更改请勿关闭计算机 要多久,配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以...
配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机&#x…...
2022/11/19 21:17:01 - 电脑配置中请勿关闭计算机怎么办,准备配置windows请勿关闭计算机一直显示怎么办【图解】...
不知道大家有没有遇到过这样的一个问题,就是我们的win7系统在关机的时候,总是喜欢显示“准备配置windows,请勿关机”这样的一个页面,没有什么大碍,但是如果一直等着的话就要两个小时甚至更久都关不了机,非常…...
2022/11/19 21:17:00 - 正在准备配置请勿关闭计算机,正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了解决教程...
当电脑出现正在准备配置windows请勿关闭计算机时,一般是您正对windows进行升级,但是这个要是长时间没有反应,我们不能再傻等下去了。可能是电脑出了别的问题了,来看看教程的说法。正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了方法一…...
2022/11/19 21:16:59 - 配置失败还原请勿关闭计算机,配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机...
我们使用电脑的过程中有时会遇到这种情况,当我们打开电脑之后,发现一直停留在一个界面:“配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机”,等了许久还是无法进入系统。如果我们遇到此类问题应该如何解决呢࿰…...
2022/11/19 21:16:58 - 如何在iPhone上关闭“请勿打扰”
Apple’s “Do Not Disturb While Driving” is a potentially lifesaving iPhone feature, but it doesn’t always turn on automatically at the appropriate time. For example, you might be a passenger in a moving car, but your iPhone may think you’re the one dri…...
2022/11/19 21:16:57