第一章

群、环、域

  在接下来的四章中，我们将介绍最基本的四种代数结构（群、环、域以及向量空间），其中着重介绍的是向量空间。同时呢，也会对线性代数的基本概念进行介绍，其中包括向量空间、子空间、线性组合、线性无关、基、商空间、线性映射、矩阵、基变换、直和、线性形式、对偶空间、超平面、线性变换等。

  我们首先引入笛卡尔积的概念：假设我们有集合 $A=\{a_1,a_2,a_3\},B=\{b_1,b_2,b_3\}$，那么 $A$ 与 $B$ 的笛卡尔积记作 $A \circ B$，计算结果为有序数对，即 $A \circ B=\{(a,b)|a \in A,b \in B\}$ 。不难发现当 $A,B$ 的元素均为实数时，笛卡尔积表示平面直角坐标系。当然我们也可以定义某一种具体的运算方式，例如 $A+B$ （除此之外，我们还可以定义 “$-$” 以及 “$\times$” 运算），此时 $A+B=\{a+b|a \in A,b \in B\}$。当然，集合的元素不仅仅局限在实数范围内，更一般的，我们可以用字符串作为其元素，例如：$A=\{东，西\}，B=\{南，北\}$ 那么 $A \circ B = \{(东，南)，(东，北)，(西，南)，(西，北)\}$。那么经过笛卡尔积的运结果包含多少个元素呢？不难发现，当被作用的集合均为有限集时，最终计算结果的元素个数就是各个集合元素个数的乘积。

1.1 群、子群、陪集

  实数组成的集合$R$有两种运算操作：加法+：$R + R \rightarrow R$ ，以及乘法 $\times$：$R \times R \rightarrow R$，实数集之间的加法和乘法运算本质上是一个阿贝尔群。接下来我们回忆一下群的定义。
定义1.1： 两个集合$G$通过二元运算符操作 $\cdot$ 便可得到一个群（注：这里的 $\cdot$ 可取 $\times$ 或 +，下同），例如：$G \times G \rightarrow G$ （当且仅当三个 $G$ 都相同的情况下才叫二元运算，且本章仅对二元运算进行讨论），该运算操作可以将集合中的每一组元素$a,b\in G$进行有效的结合，从而得到$a\cdot b\in G$。我们先对一些计算的结果是否为二元运算进行讨论：

1、我们有 $Z \cdot Z \rightarrow Z$，其中 $Z$ 表示整数集

(1)、当 $\cdot$ 表示 + 时，是二元运算；

(2)、当 $\cdot$ 表示 - 时，是二元运算；

(3)、当 $\cdot$ 表示 $\times$ 时，是二元运算；

(4)、当 $\cdot$ 表示 $\div$ 时，不是二元运算，因为分母不能为0。

2、我们有 $Z \cdot Z \rightarrow Z$，其中 $Z=Z-\{0\}$ 表示非零整数集

(1)、当 $\cdot$ 表示 + 时，不是二元运算，因为相反数的和为0；

(2)、当 $\cdot$ 表示 - 时，不是二元运算，因为相同数的差为0；

(3)、当 $\cdot$ 表示 $\times$ 时，是二元运算；

(4)、当 $\cdot$ 表示 $\div$ 时，不是二元运算，因为除法计算结果不一定为整数。

3、我们有 $R^+ \cdot R^+ \rightarrow R^+$，其中 $R^+$ 表示正实数集

(1)、当 $\cdot$ 表示 + 时，是二元运算；

(2)、当 $\cdot$ 表示 - 时，不是二元运算，因为计算结果可能为0或者负数；

(3)、当 $\cdot$ 表示 $\times$ 时，是二元运算；

(4)、当 $\cdot$ 表示 $\div$ 时，是二元运算。

4、我们有 $Q \cdot Q \rightarrow Q$，其中 $Q=Q-\{0\}$ 表示非零有理数集

(1)、当 $\cdot$ 表示 + 时，不是二元运算，因为相反数的和为0；

(2)、当 $\cdot$ 表示 - 时，不是二元运算，因为相同数的差为0；

(3)、当 $\cdot$ 表示 $\times$ 时，是二元运算；

(4)、当 $\cdot$ 表示 $\div$ 时，是二元运算。

5、我们有 $V \cdot V \rightarrow V$，其中 $V$ 表示元素为实数的向量，即 $V=\{a_i|a_i \in R\}$，由于向量加法的运算方式为：$\{a_1,a_2,a_3\}+\{b_1,b_2,b_3\}=\{a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3\}$，即对应位置相加，不难发现其计算结果的元素仍然为实数，所以该运算过程为二元运算。

6、我们有 $M_n \cdot M_n \rightarrow M_n$，其中 $M_n$ 表示实数组成的 $n$ 阶方阵，不难发现 $n$ 阶实数方阵相加的结果仍为 $n$ 阶实数方阵， $n$ 阶实数方阵相减的结果仍为 $n$ 阶实数方阵， $n$ 阶实数方阵相乘的结果仍为 $n$ 阶实数方阵，所以上述运算均为二元运算。

  我们通常将二元运算称为 $\cdot$ 运算在 $A$ 上封闭。那么如果 $A$ 是有限集如何判断封闭性呢？其实只需要判断是否满足下图即可：

图1.1 判断有限集是否封闭

第一行表示集合 $A$，第一列也表示集合 $A$，剩余部分表示二元运算结果，可见运算结果和集合包含的元素是一致的。所以，判断是否封闭，我们只需要判断每一部分元素是否均相同即可。

  群具有四个性质：封闭性、结合律、单位元素、逆元素。我们定义$a,b,c$为数组$G$中的元素，即$a,b,c\in G$，$e$为数组的$G$的单位元素，即$e\in G$，数组$G$中的每一个元素均可逆，那么有下述等式恒成立：

（等式1：结合律）$a \cdot(b \cdot c)=(a \cdot b) \cdot c$
（等式2：单位元）$a \cdot e=e \cdot a=a$
（等式3：逆元素）对于集合$G$中的每一个元素$a$，$a \in G$，都有$a^{-1} \in G$，满足$a \cdot a^{-1}=a^{-1} \cdot a=e$
对于群$G$中任意的两个元素$a,b$，即$a,b \in G$，若$a \cdot b=b \cdot a$，那么我们称群$G$是可交换的。
两个实数集$M$使用二元运算符 $\cdot$ 进行运算：$M \times M \rightarrow M$，若元素$e$仅仅满足结合律和单位元，那么我们将其称作独异点。例如，两个由自然数组成的集合 $N=\{0,1,\cdots,n,\cdots \}$ 进行加法运算，构成可交换独异点，但由于其不满足等式3，所以不能被称为群。我们接下来给出几个群的例子供大家学习。

示例1.1：
1. 将两个数组 $Z=\{\cdots,-n,\cdots,-1,0,1,\cdots,n,\cdots\}$ 进行相加便构成一个单位元为0的阿贝尔群。但是两个 $Z^*$ 进行相乘并不能得到群，其中 $Z^*=Z-\{0\}$ 。分析过程如下：
（1） 相加
a、封闭性：$\forall a,b \in Z$，我们都有 $a+b \in Z$，所以满足封闭性。
b、结合律：$\forall a,b,c \in Z$，我们都有 $(a+b)+c=a+(b+c)$，所以满足结合律。
c、单位元：$\forall a \in Z$，我们都有 $a+0=0+a=a$，所以满足单位元。
d、逆元素：$\forall a \in Z$，我们都有 $a+b=0$，且 $b \in Z$，所以满足逆元素。
e、交换律：$\forall a,b \in Z$，我们都有 $a+b=b+a$，所以满足交换律。
综上，$Z$ 是单位元为0的阿贝尔群。
（2） 相乘
a、封闭性：$\forall a,b \in Z^*$，我们都有 $a \times b \in Z^*$，所以满足封闭性。
b、结合律：$\forall a,b,c \in Z^*$，我们都有 $(a \times b) \times c=a \times (b \times c)$，所以满足结合律。
c、单位元：$\forall a \in Z^*$，我们都有 $a \times 1=1 \times a=a$，所以满足单位元。
d、逆元素：$\forall a \in Z^*$，我们不一定有 $b \times a=1,b \in Z$，所以不满足逆元素。
综上，$Z$ 不是群，仅为独异点。需要注意的是 $Z,Z^*$ 的元素均为无限的。

  2. 通过将两个有理数组成的集合 $Q$（集合中的元素均可写为 $p/q$ 的形式，其中 $p,q\in Z$ 且 $q\neq0$）进行相加，可以得到一个单位元为0的阿贝尔群。将两个集合 $Q^*$ 进行相乘也可得到一个单位元为1的阿贝尔群，其中 $Q^*=Q-\{0\}$。分析过程如下：
（1） 相加
a、封闭性：$\forall a,b \in Q$，我们都有 $a+b \in Q$，所以满足封闭性。
b、结合律：$\forall a,b,c \in Q$，我们都有 $(a+b)+c=a+(b+c)$，所以满足结合律。
c、单位元：$\forall a \in Q$，我们都有 $a+0=0+a=a$，所以满足单位元。
d、逆元素：$\forall a \in Q$，我们都有 $a+b=0,b \in Q$，所以满足逆元素。
e、交换律：$a,b \in Q$，我们都有 $a+b=b+a$，所以满足交换律。
综上，$Q$ 是单位元为0的阿贝尔群。
（2） 相乘
a、封闭性：$\forall a,b \in Q^*$，我们都有 $a \times b \in Q^*$，所以满足封闭性。
b、结合律：$\forall a,b,c \in Q^*$，我们都有 $(a \times b) \times c=a \times (b \times c)$，所以满足结合律。
c、单位元：$\forall a \in Q^*$，我们都有 $a \times 1=1 \times a=a$，所以满足单位元。
d、逆元素：$\forall a \in Q^*$，我们都有 $a \times b=1,b \in Q^*$，所以满足逆元素。
e、交换律：$a,b \in Q^*$，我们都有 $a \times b=b \times a$，所以满足交换律。
综上，$Q^*$ 是单位元为1的阿贝尔群。需要注意的是 $Q,Q^*$ 的元素均为无限的。
我们发现上述的群都满足交换律，那么有没有不满足交换律的群呢？我们在这里给出一个例子加以说明。 $M^+$ 为 $n \times n$ 的可逆方阵（行列式不为0，且元素均为实数），那么 $M^+ \times M^+$ 是不是群呢?分析过程如下：
a、封闭性：我们取 $\forall A,B \in M^+$，都有 $A \times B \in M^+$，所以满足封闭性。
b、结合律：$\forall A,B,C \in M^+$，都有 $(A \times B) \times C=A \times (B \times C)$，所以满足结合律（矩阵乘法满足结合律）。
c、单位元：$\forall A \in M^+$，都有 $A \times I_n = I_n \times A=A$，所以满足单位元，其中 $I_n$ 为 $n$ 阶单位阵。
d、逆元素：$\forall A \in M^+$，都有 $A \times B=I_n$，其中 $B=A^{-1}$，所以满足逆元素。
e、交换律：$\forall A,B \in M^+$，一般而言 $A \times B \neq B \times A$，所以不满足交换律。
综上，$M^+$ 是一个单位元为 $I_n$ 的群。

  3. 给定一个非空集合 $S$，若有作用方式 $f$ 可以使两个相同集合 $S$ 之间满足双射关系（也可称为 $S$ 的排列），即 $f:S\rightarrow S$，此时，通过函数与函数之间的运算便可构成一个群（例如，将函数 $f$ 和函数 $g$ 通过复合运算得到计算结果 $f \circ g$，其中 $f$ 和 $g$ 均可使集合 $S$ 到其自身之间满足一一映射），当集合 $S$ 中的元素个数超过两个时，所构成的群并不是一个阿贝尔群。集合 $S=\{1,\cdots,n\}$ 所构成的置换群通常被记作 $S_n$，也被称为 $n$ 个元素构成的对称群。举例如下：
设 $S=\{1, 2, 3\}$，我们定义 $f$ 的映射关系为：
$f:S\rightarrow S,f=\{(1,2),(2,3),(3,1)\} \\ f^{-1}:S\rightarrow S,f^{-1}=\{(1,3),(2,1),(3,2)\}$
同时定义 $g$ 的映射关系为：
$g:S\rightarrow S,g=\{(1,3),(2,1),(3,2)\} \\ g^{-1}:S\rightarrow S,g^{-1}=\{(1,2),(2,3),(3,1)\}$
则，我们有 $f \circ g$ 的计算结果：
$f \circ g:S\rightarrow S,f \circ g=\{(1,1),(2,2),(3,3)\}$
可知，$f \circ g$ 的复合结果依然为满射，且其逆过程为：
$(f \circ g)^{-1}:S\rightarrow S,(f \circ g)^{-1}=\{(1,1),(2,2),(3,3)\}$
接下来我们利用群的相关定义进行验证：
$结合律：1 \times (2 \times 3) = (1 \times 2) \times 3\\ 单位元：2 \times 1 = 1 \times 2 = 2\\ 逆映射：对于每一个a \in S，均有 f \circ g 以及 (f \circ g)^{-1}的对应法则，使得对应元素b满足 b \in S\\ 故而 f \circ g 的复合结果为群，且为对称群$
4. 对于任意的正整数 $p \in N$，定义在 $Z$ 上的同余关系记作 $m \equiv n \ (mod\ p)$，具体定义如下：
$m \equiv n \ (mod\ p) \ \Leftrightarrow \ m-n=kp \ ,存在k \in Z$
其中，$\equiv$ 表示同余符号，即 $m \ mod \ p \equiv n \ mod \ p$ ，读者很容易证明这是一个恒等关系，此外，将同余号两边同时进行相加或相乘，相等关系不变，即若 $m_1 \equiv n_1 \ (mod\ p)$ 且 $m_2 \equiv n_2 \ (mod\ p)$ ，则 $m_1+m_2 \equiv n_1+n_2 \ (mod\ p)$ ， $m_1m_2 \equiv n_1n_2 \ (mod\ p)$ 。我们在这里给出一个算例：
$5 \equiv 3 \ (mod \ 2)\\ 11 \equiv 7 \ (mod \ 2)\\ \Rightarrow 加运算：16 \equiv 10 \ (mod \ 2)\\\Rightarrow 乘运算：55 \equiv 21 \ (mod \ 2)$
我们将一组等价类对 $p$ 取余的相加和相乘操作用如下记号进行表示：
$[m]+[n]=[m+n]\\ [m] \cdot [n]=[mn]$
读者很容易证明将一组对 $p$ 取余的同余类进行相加可以得到单位元为0的阿贝尔群，我们将这个群记作 $Z/pZ$ 。我们继续利用上例进行分析：
加运算得到的结果为：$\{0,0\}$，该集合同时满足结合律、单位元为0、逆元素
乘运算得到的结果为：$\{1,1\}$，该集合同时满足结合律、单位元为1、逆元素
5. 将一组系数为实数或复数的 $n \times n$ 的可逆矩阵进行相乘可以得到一个单位元为单位矩阵 $I_n$ 的群，这个群被称为一般线性群，对于系数为实数的记作 $GL(n,R)$ 对于系数为复数的记作 $GL(n,C)$ 。假设我们有可逆矩阵 $A,B$ 以及实数 $\lambda,\beta$，则有如下计算过程：
$结合律：(\lambda A \times \beta )B = \lambda (A \times \beta B)\\ 单位元：\lambda A \times \beta B \times I = I \times \lambda A \times \beta B = \lambda A \times \beta B\\ 逆元素：(\lambda A \times \beta B)^{-1} \times (\lambda A \times \beta B) = I$
注：$\because$ 矩阵可逆的充要条件之一是它的行列式不等于0，$\therefore$ 两个可逆矩阵相乘得到矩阵仍然是可逆矩阵。
6. 将一组系数为实数或复数的 $n \times n$ 的可逆矩阵 $A$ 进行相乘，其中矩阵的行列式为1，即 $det(A)=1$ ，可以得到一个单位元为单位矩阵 $I_n$ 的群，这个群被称为特殊线性群，对于系数为实数的记作 $SL(n,R)$ 对于系数为复数的记作 $SL(n,C)$ 。证明方式如5。
7. 将一组系数为实数的 $n \times n$ 的矩阵 $Q$ 进行相乘，可以得到一个单位元为单位矩阵 $I_n$ 的群，其中矩阵 $Q$ 满足 $QQ^T=Q^TQ=I_n$ 。我们有 $Q^{-1}=Q^T$ ，这个群被称为正交群，记作 $O(n)$。
8. 将一组系数为实数的 $n \times n$ 的矩阵 $Q$ 进行相乘，可以得到一个单位元为单位矩阵 $I_n$ 的群，其中矩阵 $Q$ 满足 $QQ^T=Q^TQ=I_n \ 且 \ det(Q)=1$ 。就像示例7中一样，我们有 $Q^{-1}=Q^T$ ，这个群被称为特殊正交群或旋转群，记作 $SO(n)$。
在示例5~8中，除了 $SO(2)$ 为阿贝尔群以外， 当 $n \geq 2$ 时均为非阿贝尔群。我们通常将数组相加后得到的阿贝尔群用 $G$ 进行表示，此时元素 $a \in G$ 的逆元 $a^{-1}$ 可以表示为 $-a$ 。群的单位元（幺元）是独一无二的，我们可以得到一些更一般的结论。
命题1.1： 若有二元运算符 $\cdot$ : 使得 $M + M \rightarrow M$ 的计算结果是一个群，且 $e' \in M$ 是左单位元，$e'' \in M$ 是右单位元，也即：

$G2l:\ \ 对于任意的\ a \in M \ \ 都有 \ \ e' \cdot a = a \\ G2r:\ \ 对于任意的\ a \in M \ \ 都有 \ \ a \cdot e'' = a$
那么我们有 $e'=e''$ 。
证明过程如下：若我们令等式 $G2l$ 中 $a=e''$，那么我们有：
$e' \cdot e'' = e''$
若我们令等式 $G2r$ 中 $a=e'$，我们有：
$e' \cdot e'' = e'$
那么，我们得到如下等式：
$e' = e' \cdot e'' = e''$
综上，我们便得到了 $e'=e''$。
命题1.1说明了独异点的幺元是唯一的，而所有的群都是独异点，所以群的幺元都是唯一的。此外，群中的每一个元素都有其对应的逆元，接下来我们给出一个命题：
命题1.2： 在独异点 $M$ 中有幺元 $e$ ，若某元素 $a \in M$ 有左逆元 $a' \in M$ 和右逆元 $a'' \in M$，也即：
$G3l:\ \ a' \cdot a = e\\ G3r:\ \ a \cdot a'' = e$
则有 $a'=a''$。
证明过程如下：结合公式 $G3l$ 以及 $e$ 为群的幺元，我们可以得到
$(a' \cdot a) \cdot a'' = e \cdot a'' = a''$
同样的，结合公式 $G3r$ 以及 $e$ 为群的幺元，我们可以得到
$a' \cdot (a \cdot a'') = a' \cdot e = a'$
由于 $M$ 是独异点，所以二元运算符 $\cdot$ 符合结合律，故而有
$a' = a' \cdot (a \cdot a'') = (a' \cdot a) \cdot a'' = a''$
得证 $a'=a''$。
注意： 群的单位元（等式2）以及群的逆元素（等式3）的证明可以被弱化为仅要求 $G2r$ （右单位元存在）和 $G3r$ （对于群中每一个元素均存在右逆元）存在（或者是 $G2l$ 和 $G3l$ 存在）。通过证明 $G2l$ 和 $G3l$ 成立来证明等式2（公理2）以及等式3（公理3）成立是一个行之有效的方法。
定义1.2： 若群 $G$ 由有限的 $n$ 个元素组成，我们称群 $G$ 为 $n$ 阶群。若群 $G$ 的元素个数是无穷的，我们称群 $G$ 为无限阶群。若群为有限群，那么其阶数我们使用符号 $|G|$ 进行表示。
对于给定的群 $G$ ，对于任意的两个子集 $R,S \subseteq G$，我们令
$RS=\{r \cdot s\ |\ r \in R,\ s \in S\}$
特殊的，对于任意的 $g \in G$，如果 $R=\{g\}$，我们记作
$gS=\{g \cdot s\ |\ s \in S\}$
同样的，如果 $S=\{g\}$，我们记作
$Rg=\{r \cdot g\ |\ r \in R\}$
从现在开始，我们将乘法运算符进行省略，将 $g_1 \cdot g_2$ 写作 $g_1g_2$。
定义1.3： $G$ 为一个群，对于任意的 $g \in G$，我们令 $L_g$ 表示用 $g$ 左平移，具体计算方式为对于任意的 $a \in G$ 有 $L_g(a)=ga$。同样的，我们令 $R_g$ 表示用 $g$ 右平移，计算方式为对于任意的 $a \in G$ 有 $R_g(a)=ag$。
我们会经常用到下面这些简单的结论。
命题1.3： 给定群 $G$，其左平移 $L_g$ 和右平移 $R_g$ 得到的结果均满足双射。我们在这里仅给出左平移 $L_g$ 的证明过程，右平移 $R_g$ 的证明方式类似，证明方式如下：
若 $L_g(a)=L_g(b)$，那么有 $ga=gb$，我们在等式两边同乘 $g^{-1}$，便可得到 $a=b$，所以 $L_g$ 满足单射。对于任意的 $b \in G$，我们有 $L_g(g^{-1}b)=gg^{-1}b=b$，所以 $L_g$ 满足满射。因此，$L_g$ 满足双射。
我们在这里给出单射、满射以及双射的图解表示：

图1.1 单射、满射、双射的示意图

  特殊的，若映射过程的定义域和值域一样，我们将这个过程称之为变换，即有作用方式 $\varphi$，使得 $A \rightarrow A$。为了方便起见，我们在这里将映射后的结果记为 $\bar{A}$。
若我们定义 $A$ 上的二元运算为 $\cdot$，$\bar{A}$ 上的二元运算为 $\bar{\cdot}$ （此处的 $A$ 和 $\bar{A} 不一定相同$），对于 $A$ 中的元素 $a$ 经过作用方法 $\varphi$ 后得到 $\bar{a}$。那么，若我们定义 $A$ 上有两个元素进行二元运算 $a \cdot b$，经过函数映射后其计算结果为 $\varphi(a \cdot b)= \overline{a \cdot b}$，而对于每一个元素又都有 $\varphi(a)=\bar{a} \in \bar{A}$，$\varphi(b)=\bar{b} \in \bar{A}$，如果满足 $a \cdot b \rightarrow \bar{a} \bar{\cdot} \bar{b}$ （或者写成 $\overline{a \cdot b}=\bar{a} \bar{\cdot} \bar{b}$），称 $\varphi$ 是 $A$ 到 $\bar{A}$ 的同态映射。我们在这里给出一些例子方便大家理解：

图1.3 同态的判断方式 其中“象”指函数对变量的映射结果。

  1、我们令 $A=R$，$\bar{A}=R^+$，其中 $A$ 上的二元运算为 $+$，$\bar{A}$ 上的二元运算为 $\times$，作用方式 $\varphi$ 为 $x \rightarrow e^x$，即求某一个变量的指数函数值。那么，$\forall x,y \in A,\overline{x+y}=e^{x+y}=e^{x}e^{y}=\bar{x}\bar{y}=\bar{x} \times \bar{y}$，故而为同态映射。

  2、我们有 $A=Z$，$A$ 上的二元运算为 $+$，$\bar{A}=\{1,-1\}$，$\bar{A}$ 上的二元运算为 $\times$，作用方式 $\varphi_1: \forall a \in A, a \rightarrow 1$。不难发现，$\forall a,b \in A$ 有 $a \cdot b = a+b \in A$，所以 $\overline{a+b}=\varphi_1(a+b)=1$。而对于 $\bar{a} \bar{\cdot} \bar{b}=\varphi_1(a) \times \varphi_1(b)=1 \times 1=1$，综上，$\overline{a+b}=\bar{a} \bar{\cdot} \bar{b}$，所以为同态映射。

  3、在2中若把映射方式改为 $\varphi_2: \forall a \in A, a \rightarrow -1$，此时不难发现 $\overline{a+b}=\varphi_2(a+b)=-1$，$\bar{a} \bar{\cdot} \bar{b}=\varphi_2(a) \times \varphi_2(b)=(-1) \times (-1)=1$，故而不为同态映射。

定义1.4： 给定一个群 $G$ ，$G$ 的子集 $H$ 是其子群的充要条件是：
（1） $G$ 的幺元 $e$ 也是 $H$ 的元素（$e \in H$）;
（2） 对于所有的 $h_1,h_2 \in H$，都有 $h_1h_2 \in H$;
（3） 对于所有的 $h \in H$，都有 $h^{-1} \in H$。
命题1.4的证明过程我们留作练习。
命题1.4： 给定一个群 $G$，其子集 $H \subseteq G$ 是群 $G$ 的子群 $\Leftrightarrow$ $H$ 非空且对于任意的 $h_1,h_2 \in H$，都有 $h_1h_2^{-1} \in H$。
若群 $G$ 是有限群，那么可以使用下述判断方法。
命题1.5： 给定有限群 $G$，其子集 $H \subseteq G$ 是群 $G$ 的子群 $\Leftrightarrow$ （1） $e \in H$; （2） 两个 $H$ 做乘积运算后得到的结果是封闭的。
证明：我们仅需要证明定义1.4中的条件（3）。对于任意的 $a \in H$，由于左平移 $L_a$ 满足双射，这导致 $H$ 满足单射，并且因为 $H$ 的元素个数是有限的，所以其满足双射。由于 $e \in H$，所以有唯一的 $b \in H$ 使等式 $L_a(b)=ab=e$ 成立。但是，如果 $a^{-1}$ 是 $a \in G$ 的逆元，我们同样能得到 $L_a(a^{-1})=aa^{-1}=e$，通过将此式和其前一个等式进行联立可以得到 $a^{-1}=b \in H$。
示例1.2：
1. 对于任意的整数 $n \in Z$，集合 $nZ=\{nk\ |\ k \in Z\}$ 是群 $Z$ 的子群。
2. 对于 $n \times n$ 的可逆矩阵而言，若其满足 $GL^{+}(n,R)=\{A \in GL(n,R)\ |\ det(A)>0\}$，此时 $GL^{+}(n,R)$ 是群 $GL(n,R)$ 的子群。
3. 群 $SL(n,R)$ 是群 $GL(n,R)$ 的子群。
4. 群 $O(n)$ 是群 $GL(n,R)$ 的子群。
5. 群 $SO(n)$ 是群 $O(n)$ 的子群，同时也是群 $SL(n,R)$ 的子群。
6. 不难发现，每一个 $2 \times 2$ 的旋转矩阵 $R \in SO(2)$ 都可以被写作
$R= \left(\begin{matrix}\cos \theta & -\sin \theta\\\sin \theta & \cos \theta\end{matrix} \right),\ \ \ 其中\ 0 \leq \theta < 2\pi$
在下例中，$SO(2)$ 可以被看作是 $SO(3)$ 的子群

$R= \left(\begin{matrix}\cos \theta & -\sin \theta\\\sin \theta & \cos \theta\end{matrix} \right),\ \ Q= \left(\begin{matrix}\cos \theta & -\sin \theta & 0\\\sin \theta & \cos \theta & 0\\0 & 0 & 1\end{matrix} \right)$
我们在这里给出旋转矩阵的定义，首先观察下图：

图1.2 绕原点二维旋转

  首先我们需要明确的是，二维旋转是围绕坐标原点旋转，如图1.2所示。图中点 $V$ 绕原点逆时针转过 $\theta$ 角到达 $V'$ 点处。假设点 $V$ 的坐标为 $(x,y)$，那么 $V'$ 点的坐标为 $(x',y')$，其中点 $V$ 到原点的距离为 $r$，且射线 $OV$ 与 $x$ 轴的夹角为 $\phi$。那么我们能得到如下等式：
$x = r \cos \phi, \ \ \ \ y = r \sin \phi\\ x' = r \cos (\theta + \phi), \ \ \ \ y' = r \sin (\theta + \phi)$
我们对 $x'$ 和 $y'$ 的等式进行展开可得：
$x' = r \cos \theta \cos \phi - r \sin \theta \sin \phi\\ y' = r \sin \theta \cos \phi + r \cos \theta \sin \phi$
我们将 $x$ 和 $y$ 的表达式代入上式可得：
$x' = x \cos \theta - y \sin \theta, \ \ \ \ y' = x \sin \theta + y \cos \theta$
我们将上述结果用矩阵进行表示可得：
$\left[\begin{matrix}x'\\y'\end{matrix} \right]= \left[\begin{matrix}\cos \theta & -\sin \theta\\\sin \theta & \cos \theta\end{matrix} \right] \left[\begin{matrix}x\\y\end{matrix} \right]$
不难发现此处的系数矩阵便是我们的二阶旋转矩阵。那么我们尝试考虑一下三维空间内绕 $z$ 轴旋转的情况是什么样子的呢，我们先给出一个直观的感受。

图1.3 绕x轴三维旋转

如图1.3所示，我们对 $OY$ 和 $OZ$ 绕 $x$ 轴旋转 $\theta$ 角度，分别到达 $OY'$ 以及 $OZ'$ 的位置，那么 $Y'$ 的坐标为 $(0,r \cos \theta,r \sin \theta)$，$Z'$ 的坐标为 $(0,-r \sin \theta,r \cos \theta)$，为了简单起见，我们取 $r=1$，那么 $Y$ 的坐标为 $(0,1,0)$，$Z$ 的坐标为 $(0,0,1)$，而 $X$ 的坐标始终不变。所以我们有如下等式：
$x' = x\\ y' = y \cos \theta - z \sin \theta \\ z' = y \sin \theta + z \cos \theta$
其中，$y',z'$ 的计算方式参见二维情况，我们将上述等式组利用矩阵进行表示如下：
$\left[\begin{matrix}x'\\y'\\z'\end{matrix} \right]= \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0\\0 & \cos \theta & -\sin \theta\\0 & \sin \theta & \cos \theta\end{matrix} \right] \left[\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix} \right]$

不难发现此形式和三阶旋转矩阵相同，只是示例6中的三阶旋转矩阵是绕 $z$ 轴旋转得到的。那么，旋转矩阵有什么性质呢？我们以二阶为例进行分析。我们将二阶旋转矩阵记为 $R$ ，不难发现其行列式计算结果为1，且矩阵的转置等于矩阵的逆，也即 $R$ 为正交阵。

  7. 形如下式这种 $2 \times 2$ 的上三角矩阵
$\left(\begin{matrix}a & b\\0 & c\end{matrix} \right)\ \ a,b,c \in R\ \ \ \ a,c \neq 0$

   是群 $GL(2,R)$ 的子群。
8. 集合 $V$ 由4个矩阵组成，这些矩阵的具体形式如下
$\left(\begin{matrix}\pm 1 & 0\\0 & \pm 1\end{matrix} \right)$
集合 $V$ 是群 $GL(2,R)$ 的子群，被称为克莱因四元群。
定义1.5： 若 $H$ 为 $G$ 的一个子群，并且对于任意的 $g \in G$，形如 $gH$ 的计算方式称为 $H$ 在 $G$ 中的左陪集，形如 $Hg$ 的计算方式称为 $H$ 在 $G$ 中的右陪集。$H$ 的左陪集（右陪集亦同）中包含一种等价关系 $\sim$ ，定义如下：对于所有的 $g_1,g_2 \in G$ 有
$g_1 \sim g_2 \Leftrightarrow g_1H=g_2H, \ \ 同理\\ g_1 \sim g_2 \Leftrightarrow Hg_1=Hg_2$
显然，$\sim$ 是一种等价关系。我们这里先说明关系的定义：对于 $R：A \times A \rightarrow D$，其中 $D=\{对，错\}$，$R$ 为Relation的首字母，若 $R(a,b)=对$，那么我们说 $(a,b)$ 满足关系 $R$，记为 $aRb$。例如：$A=\{1,2\}$，$R$ 表示 $>$，那么 $>(1,2)=\{错\}，>(2,1)=\{对\}$，所以 $(2,1)$ 满足关系 $>$，记为 $2>1$。那么什么是等价关系呢？等价关系首先应该满足关系，除此之外还要满足：（1）反身性：$\forall a \in A,a \sim a$;（2）对称性：$\forall a,b \in A$，若 $a \sim b$，则 $b \sim a$;（3）传递性：$\forall a,b,c \in A$，若 $a \sim b,b \sim c$，则 $a \sim c$。例如：相等、三角形相似、三角形全等都是等价关系。我们给出一个例子加以说明：
例：我们有 $A=Z$，关系定义如下：当 $a=b \ (mod\ n)$ 时，$R(a,b) \rightarrow 对$，否则，$R(a,b) \rightarrow 错$，其中 $n$ 为正整数。我们来验证 $R$ 满足等价关系：
（1）：$R(a,a) \Rightarrow a\ mod \ n=a\ mod \ n$ 恒成立，所以满足反身性；
（2）：$aRb \Rightarrow a \ mod \ n=b \ mod \ n \Rightarrow b \ mod \ n=a \ mod \ n\Rightarrow bRa$，所以满足对称性；
（3）：$aRb,bRc \Rightarrow a\ mod \ n=b \ mod \ n,\ b \ mod \ n=c \ mod \ n \Rightarrow a \ mod \ n=c\ mod \ n$，所以满足传递性。
我们在这里将满足同余关系的所有元素可以归为一类，将其称为剩余类，例如余数为0的记作 $[0]$，余数为1的记作 $[1]$，依此类推，那么我们可以将整个集合 $A$ 划分为 $n$ 个互不相交的类，我们将该过程称为集合的分类。
现在，我们引入如下结论：

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