线性代数笔记整理
线性代数的重要概念备忘:
矩阵的计算公式:
一般情况下
============================三种理解矩阵的方法======================
有三种理解矩阵的方法:作为线性方程组,向量方程和矩阵方程。
作为线性方程组:
线性方程组
可写成
定义该方程的增广矩阵[Ab],
阶梯形矩阵和简化行阶梯形:
阶梯形矩阵:
1、每一非零行在每一零行之上
2、某一行的先导元素所在的列位于前一行先导元素的右面
3、某一先导元素所在列下方元素都是零
简化行阶梯形:
1、阶梯形矩阵的要求
2、每一非零行的先导元素是1
3、每一先导元素1是该元素所在列的唯一非零元素
主元位置和主元列:
对于阶梯形矩阵,主元位置对应于先导元素的位置,主元列是含有主元位置的列
作为向量方程:
定义span{v}是所有v的线性集合,则解
作为矩阵方程:
定义
矩阵方程可以理解为矩阵对向量的操作。
基的变换:
设
P的列是基B中向量的C坐标向量,即
例如:
矩阵
定义的基的变换是:
也可以这么写:
假如定义基B,
必须明确,若我们知道了两个基,则可以确定变换矩阵。若我们知道了变换矩阵,则我们只能知道基的变换规则,而不能确定基。也就是说,与矩阵对应的变换基对有无限多组。
还有一点,画非正交坐标系的图时,点在某一轴的坐标,是过点做其他轴的平行线与该轴的交点,而不是过点做该轴的垂线。
以上是矩阵如何操作向量。
齐次线性方程组
齐次方程是指
当且仅当矩阵方程
若一个向量组的个数超过向量元素个数,则这个向量组线性相关。
若向量组包含零向量,则它线性相关。
注意,以上内容都在说明同一种形式的方程组
==========================关于矩阵的逆=============================
注意:以上内容是在讨论方程,而这一小节,矩阵的逆仅仅讨论矩阵本身,因此,对矩阵进行初等行变换操作时,会导致矩阵改变
若A是可逆n*n矩阵,则对每一
关于矩阵的逆,下列条件是等价的:
A是一个n*n的可逆矩阵
A等价于单位矩阵
A有n个主元位置
方程Ax=0仅有平凡解
A的各列线性无关
A的各行线性无关
线性变换x-Ax是一对一的
Ax=b至少有1个解
A的各列生成
A的列向量构成
dim Col A = n
rank A = n
Nul A = {0}
矩阵A的列空间是A的各列的线性组合的集合,记作
矩阵A的零空间是齐次方程Ax=0的所有解的集合,记作
矩阵A的主元列构成列空间的一组基
非零子空间H的维数
矩阵A的秩
如果一个矩阵A有n列,则rank A+dim Nul A = n
对矩阵的逆的理解:
矩阵的逆把对矩阵的三种理解(线性方程组,向量方程和矩阵方程)联系起来。
若A是n*n可逆矩阵,A的各列和各行都是线性无关的,A的信息量是充分的,A能完成向量一对一的映射,A的主元列数量是n,A是满秩的,方程Ax=0仅有平凡解,A的各列生成
若A是n*n的不可逆矩阵,则A的行是线性相关的(若将A看成线性方程组),列也是线性相关的(若将A看成向量方程),不能完成向量的一对一映射,信息量是缺损的。
特征值和特征向量
通常x->Ax有可能是向量x往各方向移动,但通常也会有特殊的向量,A对这些向量的作用是很简单的,
回忆前面说的,n*n的矩阵A对向量x的操作可以理解为两组基的变换,那么如果将A的特征向量作为一组基,那么变换是怎样的?
答案是变换的另一组基依然是特征向量,也就是说变换前后基是不变的,详细一点的描述是这样的:矩阵A对向量x的操作,如果将矩阵A的特征向量作为第一组基B来表示向量x,那么向量x经过A变换后,依然用特征向量作为基B来表示,大小变为原来的
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2022/11/19 21:17:08 - 计算机正在配置无法关机,关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机...
关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!关机提示 windows7 正在配…...
2022/11/19 21:17:05 - 钉钉提示请勿通过开发者调试模式_钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用...
钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用 更新时间:2020-04-20 22:24:19 浏览次数:729次 区域: 南阳 > 卧龙 列举网提醒您:为保障您的权益,请不要提前支付任何费用! 虚拟位置外设器!!轨迹模拟&虚拟位置外设神器 专业用于:钉钉,外勤365,红圈通,企业微信和…...
2022/11/19 21:17:05 - 配置失败还原请勿关闭计算机怎么办,win7系统出现“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”,长时间没反应,无法进入系统的解决方案...
前几天班里有位学生电脑(windows 7系统)出问题了,具体表现是开机时一直停留在“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”这个界面,长时间没反应,无法进入系统。这个问题原来帮其他同学也解决过,网上搜了不少资料&#x…...
2022/11/19 21:17:04 - 一个电脑无法关闭计算机你应该怎么办,电脑显示“清理请勿关闭计算机”怎么办?...
本文为你提供了3个有效解决电脑显示“清理请勿关闭计算机”问题的方法,并在最后教给你1种保护系统安全的好方法,一起来看看!电脑出现“清理请勿关闭计算机”在Windows 7(SP1)和Windows Server 2008 R2 SP1中,添加了1个新功能在“磁…...
2022/11/19 21:17:03 - 请勿关闭计算机还原更改要多久,电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机怎么办...
许多用户在长期不使用电脑的时候,开启电脑发现电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机。。.这要怎么办呢?下面小编就带着大家一起看看吧!如果能够正常进入系统,建议您暂时移…...
2022/11/19 21:17:02 - 还原更改请勿关闭计算机 要多久,配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以...
配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机&#x…...
2022/11/19 21:17:01 - 电脑配置中请勿关闭计算机怎么办,准备配置windows请勿关闭计算机一直显示怎么办【图解】...
不知道大家有没有遇到过这样的一个问题,就是我们的win7系统在关机的时候,总是喜欢显示“准备配置windows,请勿关机”这样的一个页面,没有什么大碍,但是如果一直等着的话就要两个小时甚至更久都关不了机,非常…...
2022/11/19 21:17:00 - 正在准备配置请勿关闭计算机,正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了解决教程...
当电脑出现正在准备配置windows请勿关闭计算机时,一般是您正对windows进行升级,但是这个要是长时间没有反应,我们不能再傻等下去了。可能是电脑出了别的问题了,来看看教程的说法。正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了方法一…...
2022/11/19 21:16:59 - 配置失败还原请勿关闭计算机,配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机...
我们使用电脑的过程中有时会遇到这种情况,当我们打开电脑之后,发现一直停留在一个界面:“配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机”,等了许久还是无法进入系统。如果我们遇到此类问题应该如何解决呢࿰…...
2022/11/19 21:16:58 - 如何在iPhone上关闭“请勿打扰”
Apple’s “Do Not Disturb While Driving” is a potentially lifesaving iPhone feature, but it doesn’t always turn on automatically at the appropriate time. For example, you might be a passenger in a moving car, but your iPhone may think you’re the one dri…...
2022/11/19 21:16:57