原文链接:https://blog.csdn.net/yhl_leo/article/details/49357087

绝对圆锥曲线

在进一步了解相机标定前,有必要了解绝对圆锥曲线(Absolute Conic)这一概念。

我们定义一个假象的平面\Pi _{_{\infty }},这个平面在三维空间中处于无穷远处,对于一个3D空间的点X,其齐次坐标为:X=[x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}]^{T}。如果这个点在平面\Pi _{_{\infty }}内,则应当满足x_{4}=0

再做一条假设,在三维空间中任意平面中的圆,它在平面\Pi _{_{\infty }}上的投影都必经过两个点c_{1}=(1,\vec{i},0), c_{2}=(1,-\vec{i},0),这两个点叫circle points,这也是为什么在一平面内确定一个圆只需要3个点,而确定其他二次曲线需要5个点。那么,三维空间中任一个圆在平面\Pi _{_{\infty }}处的circle points组成了绝对圆锥曲线Absolute Conic,记作\Omega

由平面\Pi _{_{\infty }}和绝对圆锥曲线\Omega的性质可得, \Omega上的点X=[x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}]^{T}满足

                                                   \left\{\begin{matrix} x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2} = 0 & \\ x_{4} = 0 & \end{matrix}\right.
X^{T}X=0。读至此处,我们发现不管是\Pi _{_{\infty }}\Omega,都是存粹想象出来的,很难在实际生活里找到实例,但是科学就是这么迷人,给定一个起始点,想象和求知探索的渴求却不受其限制,直至永无止境。

此时,或许我们会困惑,为什么要费尽心机想象出绝对圆锥曲线呢?原因在于绝对圆锥曲线所具有的一条重要特性:对于刚体变换具有不变性,这么说是不是有点不明觉厉,那就继续往下看。

首先简单讲一下刚体变换:只有物体的位置(平移变换)和朝向(旋转变换)发生改变,而形状不变,得到的变换称为刚体变换。以三维刚体变换为例:

                                                             x=[R , t]X
或者表述为: 
x=RX + t   或者 x=R(x+C)

H=\begin{bmatrix} R & t \\ 0& 1\end{bmatrix},对于位于绝对圆锥曲线\Omega上的点x_{\Omega }=\begin{bmatrix} x_{\infty}\\ 0 \end{bmatrix},刚体变换后的点x_{\Omega }^{'}可表示为:

                                                      x_{\Omega }^{'}=Hx_{\Omega }=\begin{bmatrix} Rx_{\infty }\\ 0 \end{bmatrix}
x_{\Omega }^{'}很明显也是位于无穷远平面\Pi _{_{\infty }}上的点,而且是位于同一绝对圆锥曲线\Omega上点:

                                           x_{\Omega }^{'T}x_{\Omega }^{'}=(Rx_{\infty })^{T}(Rx_{\infty })=x_{\infty }^{T}R^{T}Rx_{\infty }=0
令绝对圆锥曲线\Omega在成像平面对应的图像称为w,也被简记为IAC(Image of the absolute conic),当然这也是想象出来的~于是对于\Omega上的任一点x_{\infty },其成像点m_{\infty }满足:

                                                     m_{\infty }=sK[R|t]\begin{bmatrix} x_{\infty }\\ 0 \end{bmatrix}=sKRx_{\infty }
m_{\infty }^{T}K^{-T}K^{-1}m_{\infty }=s^{2}x_{\infty}^{T}R^{T}Rx_{\infty}=0
因此,绝对圆锥曲线的成像构成一个虚构曲线,这个虚拟曲线由K^{-T}K^{-1}决定,这与相机的外参完全无关,而仅仅由相机内参决定。可以设想,如果我们找到了绝对圆锥曲线通过相机所成的图像,那就可以求解出相机内参。至此,我想大家也就明白为什么会提出Absolute Conic这一概念了吧。事实上,这一理论在相机自检校标定法(Self-calibration)中作为基础理论,十分重要。

后续文章将会为大家介绍几种确定绝对圆锥曲线\Omega对应的图像w的方法。

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    置信有很多用户都跟小编一样遇到过这样的问题&#xff0c;电脑时发现开机屏幕显现“正在配置Windows Update&#xff0c;请勿关机”(如下图所示)&#xff0c;而且还需求等大约5分钟才干进入系统。这是怎样回事呢&#xff1f;一切都是正常操作的&#xff0c;为什么开时机呈现“正…...

    2022/11/19 21:17:13
  30. 准备配置windows 请勿关闭计算机 蓝屏,Win7开机总是出现提示“配置Windows请勿关机”...

    Win7系统开机启动时总是出现“配置Windows请勿关机”的提示&#xff0c;没过几秒后电脑自动重启&#xff0c;每次开机都这样无法进入系统&#xff0c;此时碰到这种现象的用户就可以使用以下5种方法解决问题。方法一&#xff1a;开机按下F8&#xff0c;在出现的Windows高级启动选…...

    2022/11/19 21:17:12
  31. 准备windows请勿关闭计算机要多久,windows10系统提示正在准备windows请勿关闭计算机怎么办...

    有不少windows10系统用户反映说碰到这样一个情况&#xff0c;就是电脑提示正在准备windows请勿关闭计算机&#xff0c;碰到这样的问题该怎么解决呢&#xff0c;现在小编就给大家分享一下windows10系统提示正在准备windows请勿关闭计算机的具体第一种方法&#xff1a;1、2、依次…...

    2022/11/19 21:17:11
  32. 配置 已完成 请勿关闭计算机,win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机”的解决方法...

    今天和大家分享一下win7系统重装了Win7旗舰版系统后&#xff0c;每次关机的时候桌面上都会显示一个“配置Windows Update的界面&#xff0c;提示请勿关闭计算机”&#xff0c;每次停留好几分钟才能正常关机&#xff0c;导致什么情况引起的呢&#xff1f;出现配置Windows Update…...

    2022/11/19 21:17:10
  33. 电脑桌面一直是清理请关闭计算机,windows7一直卡在清理 请勿关闭计算机-win7清理请勿关机,win7配置更新35%不动...

    只能是等着&#xff0c;别无他法。说是卡着如果你看硬盘灯应该在读写。如果从 Win 10 无法正常回滚&#xff0c;只能是考虑备份数据后重装系统了。解决来方案一&#xff1a;管理员运行cmd&#xff1a;net stop WuAuServcd %windir%ren SoftwareDistribution SDoldnet start WuA…...

    2022/11/19 21:17:09
  34. 计算机配置更新不起,电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?

    原标题&#xff1a;电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办&#xff1f;win7系统中在开机与关闭的时候总是显示“配置windows update请勿关闭计算机”相信有不少朋友都曾遇到过一次两次还能忍但经常遇到就叫人感到心烦了遇到这种问题怎么办呢&#xff1f;一般的方…...

    2022/11/19 21:17:08
  35. 计算机正在配置无法关机,关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机...

    关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 &#xff0c;然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容&#xff0c;让我们赶快一起来看一下吧&#xff01;关机提示 windows7 正在配…...

    2022/11/19 21:17:05
  36. 钉钉提示请勿通过开发者调试模式_钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用...

    钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用 更新时间:2020-04-20 22:24:19 浏览次数:729次 区域: 南阳 > 卧龙 列举网提醒您:为保障您的权益,请不要提前支付任何费用! 虚拟位置外设器!!轨迹模拟&虚拟位置外设神器 专业用于:钉钉,外勤365,红圈通,企业微信和…...

    2022/11/19 21:17:05
  37. 配置失败还原请勿关闭计算机怎么办,win7系统出现“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”,长时间没反应,无法进入系统的解决方案...

    前几天班里有位学生电脑(windows 7系统)出问题了&#xff0c;具体表现是开机时一直停留在“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”这个界面&#xff0c;长时间没反应&#xff0c;无法进入系统。这个问题原来帮其他同学也解决过&#xff0c;网上搜了不少资料&#x…...

    2022/11/19 21:17:04
  38. 一个电脑无法关闭计算机你应该怎么办,电脑显示“清理请勿关闭计算机”怎么办?...

    本文为你提供了3个有效解决电脑显示“清理请勿关闭计算机”问题的方法&#xff0c;并在最后教给你1种保护系统安全的好方法&#xff0c;一起来看看&#xff01;电脑出现“清理请勿关闭计算机”在Windows 7(SP1)和Windows Server 2008 R2 SP1中&#xff0c;添加了1个新功能在“磁…...

    2022/11/19 21:17:03
  39. 请勿关闭计算机还原更改要多久,电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机怎么办...

    许多用户在长期不使用电脑的时候&#xff0c;开启电脑发现电脑显示&#xff1a;配置windows更新失败&#xff0c;正在还原更改&#xff0c;请勿关闭计算机。。.这要怎么办呢&#xff1f;下面小编就带着大家一起看看吧&#xff01;如果能够正常进入系统&#xff0c;建议您暂时移…...

    2022/11/19 21:17:02
  40. 还原更改请勿关闭计算机 要多久,配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以...

    配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机&#xff0c;电脑开机后一直显示以以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容&#xff0c;让我们赶快一起来看一下吧&#xff01;配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机&#x…...

    2022/11/19 21:17:01
  41. 电脑配置中请勿关闭计算机怎么办,准备配置windows请勿关闭计算机一直显示怎么办【图解】...

    不知道大家有没有遇到过这样的一个问题&#xff0c;就是我们的win7系统在关机的时候&#xff0c;总是喜欢显示“准备配置windows&#xff0c;请勿关机”这样的一个页面&#xff0c;没有什么大碍&#xff0c;但是如果一直等着的话就要两个小时甚至更久都关不了机&#xff0c;非常…...

    2022/11/19 21:17:00
  42. 正在准备配置请勿关闭计算机,正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了解决教程...

    当电脑出现正在准备配置windows请勿关闭计算机时&#xff0c;一般是您正对windows进行升级&#xff0c;但是这个要是长时间没有反应&#xff0c;我们不能再傻等下去了。可能是电脑出了别的问题了&#xff0c;来看看教程的说法。正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了方法一…...

    2022/11/19 21:16:59
  43. 配置失败还原请勿关闭计算机,配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机...

    我们使用电脑的过程中有时会遇到这种情况&#xff0c;当我们打开电脑之后&#xff0c;发现一直停留在一个界面&#xff1a;“配置Windows Update失败&#xff0c;还原更改请勿关闭计算机”&#xff0c;等了许久还是无法进入系统。如果我们遇到此类问题应该如何解决呢&#xff0…...

    2022/11/19 21:16:58
  44. 如何在iPhone上关闭“请勿打扰”

    Apple’s “Do Not Disturb While Driving” is a potentially lifesaving iPhone feature, but it doesn’t always turn on automatically at the appropriate time. For example, you might be a passenger in a moving car, but your iPhone may think you’re the one dri…...

    2022/11/19 21:16:57