一切都是上帝的安排

据说由于减法硬件开销太大被“Say goodbye”了。所以减法就由加法但是加数是一个负数代替。

0001+1001=1010 （1+（-1）=-2）懒得算原码、反码、补码在下面详解里有表格

但是显然原码满足不了需要，于是人们发明了反码，我们正数不变把负数各位取反（符号位不变）这样相加必为1111即为-0。

0001+1110=1111（1+（-1）=-0）虽然是-0但也算是过关了
0001+1100=1101（1+（-3）=-2）完全正确

但是

0011+1110=0001（3+（-1）=1）比实际答案2少1
如果1111+0001变成正0岂不是更好

既然涉及到负数的结果少1我们就给负数反码加1，于是补码就诞生了，正数仍然不变把所有负数在反码的基础上+1。

0001+1111=0000（1+（-1）=0）完美，这样1111就可以滚去表示-8了
0001+1101=1110（1+（-3）=-2）完美，这里1110（-2补码）=1101（-2反码）+0001
0011+1111=0010（1+（-3）=2）也被完美解决了

这句话我说完了。
这TM是一句话？
不要打了，我还要给你们解释呢！

看似偶然实则必然

讲解前先看下原码、反码、补码的基础知识，已经知道的可以直接跳到四）模、同余数

（一）原码

原码：是最简单的机器数表示法。用最高位表示符号位，‘1’表示负号，‘0’表示正号。其他位存放该数的二进制的绝对值。

下图给出部份正负数数的二进制原码表示法

（二）反码

反码：正数的反码还是等于原码，负数的反码就是他的原码除符号位外，按位取反。

下图给出部分正负数的二进制数反码表示法

（三）补码

补码：正数的补码等于他的原码，负数的补码等于反码+1。

下图给出带符号位四位二进制的补码表示法

（四）模、同余数

要想明白为什么补码可以完美解决问题需要先了解模和同余数概念，这里我们用常见的例子时钟来解释：

如果说现在时针现在停在10点钟，那么什么时候时针会停在八点钟呢？

很简单，两个小时之前，是八点钟。未来过十个小时的时候也是八点钟
也就是说时钟正拨10小时，或是倒拨2小时都是八点钟。

也就是10-2=8，而且 10+10=8（10+10=10+2+8= 12 +8=8）

所以12在时钟运算中，称之为模，超过了12就会重新从1开始算了。
也就是说， 10-2和10+10从另一个角度来看是等效的，它都使时针指向了八点钟。

既然是等效的，那在时钟运算中，减去一个数，其实就相当于加上另外一个数（这个数与减数相加正好等于12，也称为同余数）

在这里，我们再次强调原码，反码，补码的引入是为了解决做减法的问题。在原码，反码表示法中，我们把减法化为加法的思维是减去一个数，等于加上一个数的相反数，结果发现引入了符号位，却因为符号位造成了各种意向不到的问题。

但是从上面的例子中，我们可以看到其实减去一个数，对于数值有限制，有溢出的运算（模运算）来说，其实也相当于加上这个数的同余数。

在模运算中也就不再存在负数了，因为一个负数加上模就变成了正数然而它的二进制表示方式却不变。

1111（-1）=-1+1*16（四位二进制的模为2*2*2*2=16）=15

所以这里的符号位只是人理解的符号位，实际上对于运算来说它就是数的一部分了，是不是符号位已经不影响运算了，不信可以自己试一试。

（五）重点来了，为什么补码能完美解决问题

通过时钟的例子我们知道了

|负数的绝对值| + 它的同余数 = 模 ——1
一个数 + 负数 = 一个数 + 它的正同余数 ——2

之前反码的地方我们知道了

0001（1）+1110（-1的反码）=1111（-0） ——4
根据模运算，我们把它理解成：
1为负数的绝对值 + （-1+1*16=15）负数的同余数 （反码）= 1111 = 模（10000）-1 ——3

我们把1、2、3三个式子联立

根据2式：一个数 + 负数 = 一个数 + 它的正同余数
根据1式：原式 = 一个数 +（模 - 负数的绝对值）
根据3式：原式 = 一个数 + [模 -（模 - 1 - 负数的同余数（反码））]=一个数+（1+负数的同余数（反码））
根据3、4式我们知道负数的同余数（反码）就是该负数的反码
所以：原式 = 一个数 +（1 + 该负数的反码）

写到这里大家应该都明白了吧，负数的反码 + 1不就是补码吗？
所以一切看似偶然的东西实际却有着必然的道理。

如果还有问题欢迎在评论区告诉我，新人第一篇文章写的不是很好请谅解，如果对您有帮助麻烦您点个赞支持一下。

参考文献：原码，反码，补码杂谈