Markov Chain Monte Carlo 和 Gibbs Sampling算法
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一.蒙特卡洛模拟
蒙特卡洛模拟(Monte Carlo Simulation)是随机模拟的别名,关于随机模拟的一个重要的问题就是:给定一个概率分布p(x),如何生成它的样本?
一般而言,均匀分布Uniform(0,1)的样本容易生成,而常见的概率分布(连续或离散)都可以基于均匀分布的样本生成,例如正态分布可以通过Box-Muller变换得到.
但是像p(x,y,z)这样甚至更高维度分布的样本很难生成,而MCMC(Markov Chain Monte Carlo)和Gibbs Sampling算法就是解决这个问题的.让我们从马尔科夫链(Markov Chain)说起
二.马尔科夫链
马尔科夫链(Markov Chain),简称马氏链,
定义:
含义:当前所处状态只和前一个状态有直接联系
非周期马氏链的引出
- 对于一个有限状态马氏链,如果状态i是经过有限步转移后迟早要返回的状态,则称状态i是常返态.(即若i→j,则j→i;换句话说,从i能到j,一定可以从j到i,i是常返态,j也是常返态;常返态’链’上的状态是常返态),不是常返态的状态称为过渡态(如果k是过渡态,则从k出发后无法再回到k)
- 如果马氏链中任何两个状态互通(互通的两个状态是常返态),则称马氏链为不可约的
- 一个有限马氏链按照互通关系所分成的子集中的状态要么是常返的,称为常返类;要么是过渡的,称为过度类.
- 一个有限马氏链至少有一个常返类和若干个过渡类(对于每一个状态都有入边和出边,所以至少有一个常返类)
对于非周期马氏链来说,对于它的任意状态i,从状态i出发,可以有非负条路径返回i,在每条路径走过的步数为 (path1,path2,…), 这些path之间的最大公约数是1. eg:(path1=5,path2=9,path3=10)
马氏链的收敛定理
对于2.和3.两条:
这个定理非常重要,所有的MCMC方法都是建立在这个定理基础上的(定理的证明非常麻烦,书上也没有给出)
马氏链的任何两个状态相通的含义是:存在一个n,使得P^n的任意元素大于零
由马氏链的收敛定理,我们可以这样做,从马氏链的某个状态出发,按照转移概率矩阵转移,假设第n步后马氏链收敛,则在第n+1步,n+2步…n+j步…所处的状态就是马氏链平稳分布π的样本
三.Metropolis-Hastings算法
虽然马氏链能收敛,但是收敛后的分布不一定是我们想要的,如果让收敛后的分布就是我们希望的分布呢?
马尔科夫链蒙特卡洛方法(MCMC:Markov Chain Monte Carlo)方法就是解决这一问题的
马尔科夫链蒙特卡洛方法被评为二十世纪的十大算法之一
下面介绍原版算法的改进算法:Metropolis-Hastings算法:
Metropolis-Hastings算法是一种马尔科夫蒙特卡洛(MCMC)方法,用于在难以直接采样时从某一概率分布中抽取随机样本序列。得到的序列可用于估计该概率分布或计算积分(如期望值)等。Metropolis-Hastings算法一般用于从多变量(尤其是高维)分布中采样
主要使用如下定理:
细致平稳条件的直观理解:开始位于状态i,从状态i跳转到状态j的概率等于开始位于状态j,从状态j跳转到状态i的概率
细致平稳条件只是马尔科夫链收敛的充分条件,不是必要条件
一般而言,马氏链对应的概率转移矩阵P不满足细致平稳条件,可以构造出细致平稳条件的等式:
α(i,j)称为接受率,表示接受从状态i转移到状态j的概率
但是,α(i,j)或者α(j,i)往往很小,接受转移的概率小会使采样的次数过多,遍历马氏链所有的状态需要非常长的时间,进而导致样本收敛到平稳分布需要非常长的时间
可以把构造出的细致平稳等式两边同时放大一下,将α(i,j),α(j,i)中较大的那个扩成1,也即:
这个式子是说,当α(i,j)是较大的那一个则取1,当α(i,j)是较小的那一个则取另一个
Metropolis-Hastings算法采样流程
(from Wikipedia)
其中:
A(x’|x)即上面说的接受率α(i,j)=α(x_t+1=j|x_t=i)
g(x’|x_t)即上面说的P_ij=P((x_t+1=j|x_t=i))
每次从分布g(x’|x_t)中随机产生一个状态x’,再从Uniform(0,1)中随机产生一个数u,如果u大于接受率A(x’|x),认为t+1时刻的状态为x’,即x_(t+1)=x’
采样流程中并没有给出具体的g(x’|x_t)分布也没有给出迭代次数,这些都是自己调整的,比如可以使用高斯分布或者其他方便产生样本的分布
四.Gibbs Sampling
吉布斯采样(Gibbs Sampling)
吉布斯采样是MCMC的一种,用于获得样本序列,这个样本序列构成了马尔科夫链,每个样本之间是相关的,不是独立的!当样本构成的马氏链收敛后,马氏链的平稳分布便能拟合含有多个多变量的分布,比如近似一个很难直接采样的联合概率分布,前提是得知道每个变量的条件概率
吉布斯采样是一种随机算法(使用随机数),常用于贝叶斯推理(因为贝叶斯网络含有条件概率的集合),作为随机算法,它是用于统计推理的确定性算法(如EM算法:expectation-maximization algorithm)的一种替代方法
再回到之前Metropolis-Hastings算法,由于有接受率的存在,并不能保证每次的采样结果都被接收,所以会导致收敛前采样次数的增加,而吉布斯采样就能保证每次采样的结果可以使用.
吉布斯采样流程
注意事项:
1. 初始化的值可以随机给定,或者根据EM算法给定
2. 实际上没有必要着重处理初始值,因为一般都是直接忽略前面的样本的(叫作:burn-in period),毕竟需要跳转足够多的次数后马氏链才收敛,
3. 联合分布的参数通过将k个样本的参数平均后近似
4. 举个例子:直接忽略前1000个样本,之后每100个样本拿出一个,比如取出第1100,1200,1300,….2000个样本做平均,因为连续采出的样本不独立
5. 在采样的早期,常用模拟退火来减少随机游走行为 (i.e. the tendency to move slowly around the sample space, with a high amount of autocorrelation between samples, rather than moving around quickly, as is desired).
参考:
靳志辉,LDA数学八卦
田宝玉,信息论基础
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2022/11/19 21:17:13 - 准备配置windows 请勿关闭计算机 蓝屏,Win7开机总是出现提示“配置Windows请勿关机”...
Win7系统开机启动时总是出现“配置Windows请勿关机”的提示,没过几秒后电脑自动重启,每次开机都这样无法进入系统,此时碰到这种现象的用户就可以使用以下5种方法解决问题。方法一:开机按下F8,在出现的Windows高级启动选…...
2022/11/19 21:17:12 - 准备windows请勿关闭计算机要多久,windows10系统提示正在准备windows请勿关闭计算机怎么办...
有不少windows10系统用户反映说碰到这样一个情况,就是电脑提示正在准备windows请勿关闭计算机,碰到这样的问题该怎么解决呢,现在小编就给大家分享一下windows10系统提示正在准备windows请勿关闭计算机的具体第一种方法:1、2、依次…...
2022/11/19 21:17:11 - 配置 已完成 请勿关闭计算机,win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机”的解决方法...
今天和大家分享一下win7系统重装了Win7旗舰版系统后,每次关机的时候桌面上都会显示一个“配置Windows Update的界面,提示请勿关闭计算机”,每次停留好几分钟才能正常关机,导致什么情况引起的呢?出现配置Windows Update…...
2022/11/19 21:17:10 - 电脑桌面一直是清理请关闭计算机,windows7一直卡在清理 请勿关闭计算机-win7清理请勿关机,win7配置更新35%不动...
只能是等着,别无他法。说是卡着如果你看硬盘灯应该在读写。如果从 Win 10 无法正常回滚,只能是考虑备份数据后重装系统了。解决来方案一:管理员运行cmd:net stop WuAuServcd %windir%ren SoftwareDistribution SDoldnet start WuA…...
2022/11/19 21:17:09 - 计算机配置更新不起,电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?
原标题:电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?win7系统中在开机与关闭的时候总是显示“配置windows update请勿关闭计算机”相信有不少朋友都曾遇到过一次两次还能忍但经常遇到就叫人感到心烦了遇到这种问题怎么办呢?一般的方…...
2022/11/19 21:17:08 - 计算机正在配置无法关机,关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机...
关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!关机提示 windows7 正在配…...
2022/11/19 21:17:05 - 钉钉提示请勿通过开发者调试模式_钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用...
钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用 更新时间:2020-04-20 22:24:19 浏览次数:729次 区域: 南阳 > 卧龙 列举网提醒您:为保障您的权益,请不要提前支付任何费用! 虚拟位置外设器!!轨迹模拟&虚拟位置外设神器 专业用于:钉钉,外勤365,红圈通,企业微信和…...
2022/11/19 21:17:05 - 配置失败还原请勿关闭计算机怎么办,win7系统出现“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”,长时间没反应,无法进入系统的解决方案...
前几天班里有位学生电脑(windows 7系统)出问题了,具体表现是开机时一直停留在“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”这个界面,长时间没反应,无法进入系统。这个问题原来帮其他同学也解决过,网上搜了不少资料&#x…...
2022/11/19 21:17:04 - 一个电脑无法关闭计算机你应该怎么办,电脑显示“清理请勿关闭计算机”怎么办?...
本文为你提供了3个有效解决电脑显示“清理请勿关闭计算机”问题的方法,并在最后教给你1种保护系统安全的好方法,一起来看看!电脑出现“清理请勿关闭计算机”在Windows 7(SP1)和Windows Server 2008 R2 SP1中,添加了1个新功能在“磁…...
2022/11/19 21:17:03 - 请勿关闭计算机还原更改要多久,电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机怎么办...
许多用户在长期不使用电脑的时候,开启电脑发现电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机。。.这要怎么办呢?下面小编就带着大家一起看看吧!如果能够正常进入系统,建议您暂时移…...
2022/11/19 21:17:02 - 还原更改请勿关闭计算机 要多久,配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以...
配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机&#x…...
2022/11/19 21:17:01 - 电脑配置中请勿关闭计算机怎么办,准备配置windows请勿关闭计算机一直显示怎么办【图解】...
不知道大家有没有遇到过这样的一个问题,就是我们的win7系统在关机的时候,总是喜欢显示“准备配置windows,请勿关机”这样的一个页面,没有什么大碍,但是如果一直等着的话就要两个小时甚至更久都关不了机,非常…...
2022/11/19 21:17:00 - 正在准备配置请勿关闭计算机,正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了解决教程...
当电脑出现正在准备配置windows请勿关闭计算机时,一般是您正对windows进行升级,但是这个要是长时间没有反应,我们不能再傻等下去了。可能是电脑出了别的问题了,来看看教程的说法。正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了方法一…...
2022/11/19 21:16:59 - 配置失败还原请勿关闭计算机,配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机...
我们使用电脑的过程中有时会遇到这种情况,当我们打开电脑之后,发现一直停留在一个界面:“配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机”,等了许久还是无法进入系统。如果我们遇到此类问题应该如何解决呢࿰…...
2022/11/19 21:16:58 - 如何在iPhone上关闭“请勿打扰”
Apple’s “Do Not Disturb While Driving” is a potentially lifesaving iPhone feature, but it doesn’t always turn on automatically at the appropriate time. For example, you might be a passenger in a moving car, but your iPhone may think you’re the one dri…...
2022/11/19 21:16:57