一、蒙特卡罗方法简介

蒙特卡罗（Monte Carlo）方法：简单来说，蒙特卡洛的基本原理简单描述是先大量模拟，然后计算一个事件发生的次数，再通过这个发生次数除以总模拟次数，得到想要的结果，精髓就是：用统计结果去计算频率，从而得到真实值的近似值。蒙特卡洛方法可以应用在很多场合，但求的是近似解，在模拟样本数越大的情况下，越接近与真实值，但样本数增加会带来计算量的大幅上升。

二、实例

1.求圆周率pi的近似值：
（1）正方形内部有一个相切的圆，它们的面积之比是π/4。现在，在这个正方形内部，随机产生10000个点，计算它们与中心点的距离，从而判断是否落在圆的内部,若这些点均匀分布，则圆周率 $pi=res/n$。
其中res:表示落到圆内投点数 n:表示总的投点数
（2）代码

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.patches import Circle
# 投点次数
n = 10000
# 圆的半径、圆心
r = 1.0
a,b = (0.,0.)
# 正方形区域
x_min, x_max = a-r, a+r
y_min, y_max = b-r, b+r
# 在正方形区域内随机投点
x = np.random.uniform(x_min, x_max, n) #均匀分布
y = np.random.uniform(y_min, y_max, n)
#计算点到圆心的距离
d = np.sqrt((x-a)**2 + (y-b)**2)
#统计落在圆内点的数目
res = sum(np.where(d < r, 1, 0))
#计算pi的近似值（Monte Carlo:用统计值去近似真实值）
pi = 4 * res / n
print('pi: ',pi)
#画个图
fig = plt.figure()
axes = fig.add_subplot(111)
axes.plot(x, y,'ro',markersize = 1)
plt.axis('equal') #防止图像变形
circle = Circle(xy=(a,b), radius=r ,alpha=0.5)
axes.add_patch(circle)
plt.show()

（3）运行结果：

pi的值是：

可以看出存在一定误差，模拟样本越大，误差也会随之减小。
2.求定积分的近似值
（1）在一个1×1的正方形区域里，使用蒙特卡洛方法，随机在这个正方形里面产生大量随机点（数量为n），计算有多少点（数量为res）落在函数下方区域内，res/n就是所要求的积分值，也即红色区域的面积。
（2）代码

n = 30000
#矩形边界区域
x_min, x_max = 0.0, 1.0
y_min, y_max = 0.0, 1.0
#在矩形区域内随机投点x
x = np.random.uniform(x_min, x_max, n)#均匀分布
y = np.random.uniform(y_min, y_max, n)
#统计落在函数y=x^2下方的点
res = sum(np.where(y < f(x), 1 ,0))
#计算定积分的近似值
integral = res / n
print('integeral: ', integral)
# 画个图
fig = plt.figure()
axes = fig.add_subplot(111)
axes.plot(x, y,'ro',markersize = 1)
plt.axis('equal') # 防止图像变形
axes.plot(np.linspace(x_min, x_max, 10), f(np.linspace(x_min, x_max, 10)), 'b-') # 函数图像
#plt.xlim(x_min, x_max)
plt.show()

（3）运行结果

积分值：