本次推文介绍用线性模型处理回归问题。 从简单问题开始，先处理一个响应变量和一个解释变量的一元问题。 然后，介绍多元线性回归问题（multiple linear regression），线性约束由多个解释变量构成。 紧接着，介绍多项式回归分析（polynomial regression 问题），一种具有非线性关系的多元线性回归问题。 最后，介绍如果训练模型获取目标函数最小化的参数值。 在研究一个大数据集问题之前，先从一个小问题开始学习建立模型和学习算法

一元线性回归

假设你想计算匹萨的价格。 虽然看看菜单就知道了，不过也可以用机器学习方法建一个线性回归模型，通过分析匹萨的直径与价格的数据的线性关系，来预测任意直径匹萨的价格。 先用 scikitlearn 写出回归模型，然后介绍模型的用法，以及将模型应用到具体问题中。 假设我们查到了部分匹萨的直径与价格的数据，这就构成了训练数据，如下表所示：

可以用 matplotlib 画出图形：

上图中，'x'轴表示匹萨直径，'y'轴表示匹萨价格。 能够看出，匹萨价格与其直径正相关，这与我们的日常经验也比较吻合，自然是越大越贵。 下面就用 scikit-learn 来构建模

预测一张 12 英寸匹萨价格：$13.68

一元线性回归假设解释变量和响应变量之间存在线性关系、、这个线性模型所构成的空间是一个超平面（hyperplane）。 超平面是 n 维欧氏空间中余维度、于一的线性子空间，如平面中的直线、空间中的平面、，总比包含它的空间少一维。 在一元线性回归中，一个维度是响应变量，另一个维度是解释变量，总共两维。 因此，其超平面只有一维，就是一条线

上述代码中 sklearn.linear_model.LinearRegression 类是一个估计器（estimator）。 估计 器依据观测值来预测结果。 在 scikit-learn 里面，所有的估计器都带有 fit() 和 predict() 方法。 fit() 用来分析模型参数，predict() 是通过 fit() 算出的模型参数构成的模型，对解释变量进行预测获得的值。 因为所有的估计器都有这两种方法，所有 scikit-learn 很容易实验不同的模型。 LinearRegression类的 fit() 方法学习下面的一元线性回归模型：

y 表示响应变量的预测值，本例指匹萨价格预测值， 是解释变量，本例指匹萨直径。 截距和相关系数 是线性回归模型最关心的事情. 下图中的直线就是匹萨直径与价格的线性关系。 用这个模型，可以计算不同直径的价格，8 英寸 $7.33，20 英寸 $18.75

一元线性回归拟合模型的参数估计常用方法是普通最小二乘法（ordinary least squares ）或线性最小二乘法（linear least squares）。 首先，我们定义出拟合成本函数，然后对参数进行数理统计

带成本函数的模型拟合评估

** 下图是由若干参数生成的回归直线。 如何判断哪一条直线才是最佳拟合呢？

成本函数（cost function）也叫损失函数（loss function），用来定义模型与观测值的误差。 模型预测的价格与训练集数据的差异称为残差（residuals）或训练误差（training errors）。 后面会用模型计算测试集，那时模型预测的价格与测试集数据的差异称为预测误差（prediction errors）或训练误差（test errors）

模型的残差是训练样本点与线性回归模型的纵向距离，如下图所示：

我们可以通过残差之和最小化实现最佳拟合，也就是说模型预测的值与训练集的数据最接近就是最佳拟合。 对模型的拟合度进行评估的函数称为残差平方和（residual sum of squares）成本函数。 就是让所有训练数据与模型的残差的平方之和最小化，如下所示：

其中， 是观测值， 是预测值。 残差平方和计算如下：

解一元线性回归的最小二乘法

通过成本函数最小化获得参数，先求相关系数贝塔。 按照频率论的观点，首先需要计算 x 的方差和 x 与 y 的协方差

方差是用来衡量样本分散程度的。 如果样本全部相、、，那么方差为 0。 方差越小，表示样本越集中，反正则样本越分散。 方差计算公式如下：

Numpy 里面有 var 方法可以直接计算方差，ddof 参数是贝塞尔 (无偏估计) 校正系数（Bessel'scorrection），设置为 1，可得样本方差无偏估计量

协方差表示两个变量的总体的变化趋势。 如果两个变量的变化趋势一致，也就是说如果其中一个大于自身的期望值，另外一个也大于自身的期望值，那么两个变量之间的协方差就是正值。 如果两个变量的变化趋势相反，即其中一个大于自身的期望值，另外一个却小于自身的期望值，那么两个变量之间的协方差就是负值。 如果两个变量不相关，则协方差为 0，变量线性无关不表示一定没有其他相关
性。 协方差公式如下：

现在有了方差和协方差，就可以计算相关系统贝塔了

算出贝塔后，就可以计算阿尔法了：

将前面的数据带入公式就可以求出阿尔法了：
α = 12.9 − 0.9762931034482758 × 11.2 = 1.9655172413793114
这样就通过最小化成本函数求出模型参数了。 把匹萨直径带入方程就可以求出对应的价格了，如 11 英寸直径价格 $12.70，18 英寸直径价格 $19.54

模型评估

前面用学习算法对训练集进行估计，得出了模型的参数。 如何评价模型在现实中的表现呢？现在假设有另一组数据，作为测试集进行评估

有些度量方法可以用来评估预测效果，我们用 R 方（r-squared）评估匹萨价格预测的效果。 R 方也叫确定系数（coefficient of determination），表示模型对现实数据拟合的程度。 计算 R 方的方法有几种。 一元线性回归中 R 方、、于皮尔逊积矩相关系数（Pearson product moment correlation coefficient 或 Pearson's r）的平方
这种方法计算的 R 方一定介于 0～1 之间的正数。 其他计算方法，包括 scikit-learn 中的方法，不是用皮尔逊积矩相关系数的平方计算的，因此当模型拟合效果很差的时候 R 方会是负值。 下面用 scikitlearn 方法来计算 R 方

=56.8
然后，计算残差平方和，和前面的一样：

最后用下面的公式计算 R 方：

R 方是 0.6620 说明测试集里面过半数的价格都可以通过模型解释。 现在，用 scikit-learn 来验证一下。 LinearRegression 的 score 方法可以计算 R 方：

多元线性回归

可以看出匹萨价格预测的模型 R 方值并不显著。 如何改进呢？
匹萨的价格其实还会受到其他因素的影响。 比如，匹萨的价格还与上面的辅料有关。 让我们再为模型增加一个解释变量。 用一元线性回归已经无法解决了，我们可以用更具一般性的模型来表示，即多元线性回归

写成矩阵形式如下：

一元线性回归可以写成如下形式：

其中，Y 是训练集的响应变量列向量，贝塔是模型参数列向量。 X 称为设计矩阵，是 m*n 维训练集的解释变量矩阵。 m 是训练集样本数量，n 是解释变量个数。 增加辅料的匹萨价格预测模型训练集如下表所示：

同时要升级测试集数据：

学习算法评估三个参数的值：两个相关因子和一个截距。 的求解方法可以通过矩阵运算来实现

矩阵没有除法运算，所以用矩阵的转置运算和逆运算来实现：

通过 Numpy 的矩阵操作就可以完成：

[[1.1875][1.01041667][0.39583333]]

有了参数，就来更新价格预测模型：

Predicted: [10.06250019], Target: [11]Predicted: [10.28125019], Target: [8.5]Predicted: [13.09375019], Target: [15]Predicted: [18.14583353], Target: [18]Predicted: [13.31250019], Target: [11]R-squared: 0.77

增加解释变量让模型拟合效果更好了。 为什么只用一个测试集评估一个模型的效果是不准确的，如何通过将测试集数据分块的方法来测试，让模型的测试效果更可靠。 不过现在至少可以认为，匹萨价格预测问题，多元回归确实比一元回归效果更好。 假如解释变量和响应变量的关系不是线性的呢？下面来研究一个特别的多元线性回归的情况，可以用来构建非线性关系模型

多项式回归**

下面用多项式回归，一种特殊的多元线性回归方法，增加了指数项（ 的次数大于 1）。 现实世界中的曲线关系全都是通过增加多项式实现的，其实现方式和多元线性回归类似。 本例还用一个解释变量，匹萨直径。 用下面的数据对两种模型做个比较：

二次回归（Quadratic Regression），即回归方程有个二次项，公式如下：

只用一个解释变量，但是模型有三项，通过第三项（二次项）来实现曲线关系。 PolynomialFeatures 转换器可以用来解决这个问题。 代码如下：

[[6], [8], [10], [14], [18]][[1 6 36][1 8 64][1 10 100][1 14 196][1 18 324]][[6], [8], [11], [16]][[1 6 36][1 8 64][1 11 121][1 16 256]]一元线性回归 r-squared 0.809726832467
二次回归 r-squared 0.867544458591

效果如上图所示，直线为一元线性回归（R 方 0.81），曲线为二次回归（R 方 0.87），其拟合效果更佳。 还有三次回归，就是再增加一个立方项（β3x3 ）。 同样方法拟合，效果如下图所示：

[[1 6 36 216][1 8 64 512][1 10 100 1000][1 14 196 2744][1 18 324 5832]][[1 6 36 216][1 8 64 512][1 11 121 1331][1 16 256 4096]]二次回归 r-squared 0.867544458591三次回归 r-squared 0.835692454062

七次回归，效果如下图所示：

二次回归 r-squared 0.867544458591
七次回归 r-squared 0.487942421984

可以看出，七次拟合的 R 方值更低，虽然其图形基本经过了所有的点。 可以认为这是拟合过度（overfitting）的情况。 这种模型并没有从输入和输出中推导出一般的规律，而是记忆训练集的结果，这样在测试集的测试效果就不好了

正则化

正则化（Regularization）是用来防止拟合过度的一堆方法。 正则化向模型中增加信息，经常是一种对抗复杂性的手段。 与奥卡姆剃刀原理（Occam's razor）所说的具有最少假设的论点是最好的观点类似。 正则化就是用最简单的模型解释数据

scikit-learn 提供了一些方法来使线性回归模型正则化。 其中之一是岭回归 (Ridge Regression，RR，也叫 Tikhonov regularization)，通过放弃最小二乘法的无偏性，以损失部分信息、降低精度为代价获得回归系数更为符合实际、更可靠的回归方法。 岭回归增加 L2 范数项（相关系数向量平方和的平方根）来调整成本函数（残差平方和）：

scikit-learn 也提供了最小收缩和选择算子 (Least absolute shrinkage and selection operator,LASSO)，增加 L1 范数项（相关系数向量平方和的平方根）来调整成本函数（残差平方和）：

LASSO 方法会产生稀疏参数，大多数相关系数会变成 0，模型只会保留一小部分特征。 而岭回归还是会保留大多数尽可能小的相关系数。 当两个变量相关时，LASSO 方法会让其中一个变量的相关系数会变成 0，而岭回归是将两个系数同时缩小
scikit-learn 还提供了弹性网（elastic net）正则化方法，通过线性组合 L1 和 L2 兼具 LASSO 和岭回归的内容。 可以认为这两种方法是弹性网正则化的特例

梯度下降法拟合模型

前面的内容全都是通过最小化成本函数来计算参数的：

这里 X 是解释变量矩阵，当变量很多（上万个）的时候， 右边第一项计算量会非常大。 另外，如果右边第一项行列式为 0，即奇异矩阵，那么就无法求逆矩阵了。 这里我们介绍另一种参数估计的方法，梯度下降法（gradient descent）。 拟合的目标并没有变，我们还是用成本函数最小化来进行参数估计

梯度下降法被比喻成一种方法，一个人蒙着眼睛去找从山坡到溪谷最深处的路。 他看不到地形图，所以只能沿着最陡峭的方向一步一步往前走。 每一步的大小与地势陡峭的程度成正比。 如果地势很陡 峭，他就走一大步，因为他相信他仍在高出，还没有错过溪谷的最低点。 如果地势比较平坦，他就走一小步。 这时如果再走大步，可能会与最低点失之交臂。 如果真那样，他就需要改变方向，重新朝着溪谷的最低点前进。 他就这样一步一步的走啊走，直到有一个点走不动了，因为路是平的了，于是他卸下眼罩，已经到了谷底深处，小龙女在、、他

通常，梯度下降算法是用来评估函数的局部最小值的。 我们前面用的成本函数如下：

可以用梯度下降法来找出成本函数最小的模型参数值。 梯度下降法会在每一步走完后，计算对应位置的导数，然后沿着梯度（变化最快的方向）相反的方向前进。 总是垂直于、、高线

需要注意的是，梯度下降法来找出成本函数的局部最小值。 一个三维凸（convex）函数所有点构成的图行像一个碗。 碗底就是唯一局部最小值。 非凸函数可能有若干个局部最小值，也就是说整个图形看着像是有多个波峰和波谷。 梯度下降法只能保证找到的是局部最小值，并非全局最小值。 残差平方和构成的成本函数是凸函数，所以梯度下降法可以找到全局最小值

梯度下降法的一个重要超参数是步长（learning rate），用来控制蒙眼人步子的大小，就是下降幅度。 如果步长足够小，那么成本函数每次迭代都会缩小，直到梯度下降法找到了最优参数为止。 但是，步长缩小的过程中，计算的时间就会不断增加。 如果步长太大，这个人可能会重复越过谷底，也就是梯度下降法可能在最优值附近摇摆不定

如果按照每次迭代后用于更新模型参数的训练样本数量划分，有两种梯度下降法。 批量梯度下降（Batch gradient descent）每次迭代都用所有训练样本。 随机梯度下降（Stochastic gradientdescent，SGD）每次迭代都用一个训练样本，这个训练样本是随机选择的。 当训练样本较多的时候，随机梯度下降法比批量梯度下降法更快找到最优参数。 批量梯度下降法一个训练集只能产生一个结果。 而 SGD 每次运行都会产生不同的结果。 SGD 也可能找不到最小值，因为升级权重的时候只用一个训练样本。它的近似值通常足够接近最小值，尤其是处理残差平方和这类凸函数的时候

下面用 scikit-learn 的 SGDRegressor 类来计算模型参数。 它可以通过优化不同的成本函数来拟合线性模型，默认成本函数为残差平方和。 本例中，我们用波士顿住房数据的 13 个解释变量来预测房屋价格：

交叉验证 R 方值: [0.64102297 0.65659839 0.80237287 0.67294193 0.57322387]交叉验证 R 方均值: 0.669232006274测试集 R 方值: 0.787333341357

总结

本次推文介绍了三类线性回归模型。 首先，通过匹萨价格预测的例子介绍了一元线性回归，一个解释变量和一个响应变量的线性拟合。 然后，讨论了多元线性回归，具有更一般形式的若干解释变量和一个响应变量的问题。 最后，讨论了多项式回归，一种特殊的多元线性模型，体系了解释变量和响应变量的非线性特征