希尔排序由来

希尔排序(Shell’s Sort)是插入排序的一种又称“缩小增量排序”（Diminishing IncrementSort），是直接插入排序算法的一种更高效的改进版本。希尔排序是非稳定排序算法。该方法因 D.L.Shell 于 1959年提出而得名。–源自百度百科

• 希尔排序其实就是一种经过优化的直接插入算法，这种优化使得这种插入排序算法的时间复杂度得到了质变，（这点我们会在下文验证），但其在一些特殊情况下也存在缺陷。

希尔排序思想（升序举例）

• 要想更好地理解希尔排序，就必须先理解直接插入排序，相比于希尔排序，直接插入排序的思想就简单地多，我们几乎都完成过直接插入排序，逢年过节和三五朋友常常使用棋牌或者麻将进行娱乐，当我们摸到牌以后会自然地去将牌面进行排序，而整理好牌面后再次摸牌得到一张牌插入到牌堆中，这种排序就是直接插入排序。

给定一个整型升序数组a,向其中插入一数字x，如下：

int a[]={2,3,4,6,8,9}
//向a中插入x=5应该如何做？

显然，遍历数组a,找到比x小的第一个值，然后将其插入至x后，同时不影响数组中其它值，故从数组末尾向头遍历
为了方便理解，我们先实现插入一个数字，就使用上述用例：

int end;//数组尾下标
int x;//要插入的数字
while(end>=0)//数组只剩一个元素或者没有元素
{ //倒序遍历if(a[end]>x) //如果元素大于x则后移{a[end+1]=a[end];end--;}else    {break;   //当元素小于x或者数组走到尽头时直接将end的后一位置赋值为x}
}
a[end+1]=x;

• 插入排序初步思路形成，显然我们的目的不是真的插入一个数进入有序数组，而是在数组中找数进行插入排序，故end和x的值需要确定。
• 观察单趟排序的代码，为了防止数组越界且保证每个值都被读取一次，end选择为数组每个元素的下标，当数组有n个元素，其最大为n-2，x选择为end后一位元素的值。这样做就是相当于将x插入[0,end]的区间中。显然使用for循环就能很好地完成这一切，至此，插入排序就完成了：

void InsertSort(int* a, int n)
{for (int i = 0; i < n - 1; i++){int end=i;int x=a[end+1];while (end >= 0){if (a[end] > x){a[end + 1] = a[end];end--;}else{break;}}a[end + 1] = x;}
}

• 显然，此排序的时间复杂度为O(N^2) ;
• 希尔排序的思想在此基础上建立:是否能过通过一些操作，让序列更接近于有序然后再进行插入排序大幅度缩减其时间复杂度？
• 希尔的思想：希尔排序是把记录按下标的一定增量分组，对每组使用直接插入排序算法排序；随着增量逐渐减少，每组包含的关键词越来越多，当增量减至 1 时，整个文件恰被分成一组，算法便终止。

希尔排序实现

设定步长gap,可以将数组分为gap组，然后每个组内进行插入排序使其组内有序，最后整体使用一次插入排序，这时插入排序对一个接近有序的数组进行排序，效率就能很好地体现出
假设步长gap为5，随机给定一个数组，如图：

数组被分成5组，然后每个组内进行插入排序得到：

然后再此基础上再次使用一次插入排序，插入排序的时间复杂度会大大减小（前提是大量的数据，否则难以直接观察到）：

思想上，我们是组内一组组进行插入排序，实际实现时只需要每遇见一个元素，然后与其关联为gap步的元素进行插入排序，而直接插入排序就可以理解为希尔排序中gap步长为1的特殊情况，代码应运而生：

void ShellSort(int* a, int n)
{int gap = n;while (gap > 1){gap = gap / 2;for (int i = 0; i < n - gap; i++){int end = i;int x = a[end + gap];while (end >= 0){if (a[end] > x){a[end + gap] = a[end];end-=gap;}else{break;}}a[end + gap] = x;}}
}

这里还有最后一个需要确定的元素就是gap的取值，经过大量测试，发现当数组越无序，gap越要取大，越接近有序gap越取小，故gap不是一个不变的值，这里最外层使用while循环控制，每次预排序都进行gap=gap/2;这使得gap等于1时最后对整个数组进行真正的插入排序就结束。

希尔排序的时间复杂度需要用数学知识来计算，这里附上《数据结构-用面相对象方法与C++描述》一书中殷人昆老师的计算和结论：