PCA的理论知识已经有很多博客都做了清晰的解释，主要概括为找到投影的面使得类间误差最大，转化为找到构建的协方差矩阵的特征值与特征向量，再在新的投影方向上（特征向量）上投影，构建数据库和带检索人脸进行比对，得到相似度最高的视为查询结果。下面针对ORL人脸数据库进行PCA的识别。。。

PCA算法：

设有m条n维数据：

1）将原始数据按列组成n行m列矩阵X

2）将X的每一行（代表一个属性字段）进行零均值化，即减去这一行的均值

3）求出协方差矩阵

4）求出协方差矩阵的特征值及对应的特征向量

5）将特征向量按对应特征值大小从上到下按行排列成矩阵，取前k行组成矩阵P

6）Y=PX即为降维到k维后的数据

方案设计：

     1.将ORL人脸数据库的40位志愿者的10张图片，使用10折交叉验证。每个人依次取出一张作为验证数据，进行10轮验证，最后得到准确率的均值。对于每次运算，训练集大小为360张图片，验证集大小为40张图片。对每张图片，将其展开为一维向量Xi；即训练集X=(X1,  X2,…X360)维度为（10304，360）；

         2.求取X每行的均值向量u，并将其与X相减，进行零均值化，得到C=(X1-u, X2-u,…,X360-u)；

         3.构建协方差矩阵 CCT；

         4.求解协方差矩阵的特征值，选取最大的k个，求出对应的k个特征向量，并将其按列排成变换矩阵P，其维度为(10304*k)；

         5.计算训练集的图片在上述特征向量下的投影，即为Yi = PT(Xi-u)，作为查找集；

         6.将待识别的图片做以上相同投影运算得到Z；

         7.遍历搜索查找集，满足min||Yi-Z||条件的即待识别图片与Yi对应图片属于一类；即找到待识别照片的主人。

         其中构建的协方差矩阵CCT进行特征值与特征向量求解时非常耗时，故构造CTC进行特征值和特征向量的求取，最后通过将求得的特征向量左乘C即可得到CTC的特征向量。

代码实现：

import cv2
import numpy as np
import glob# 预处理 构建数据矩阵
images = glob.glob(r'.\ORL\*.bmp')
X = []
for img in images:img = cv2.imread(img, 0)temp = np.resize(img, (img.shape[0] * img.shape[1], 1))X.append(temp.T)
X = np.array(X).squeeze().T
# 10轮
correct_sum = 0
for epoch in range(10):# 10折交叉验证  数据划分train_data = X[:, [x for x in list(range(X.shape[1])) if x not in list(range(epoch, X.shape[1], 10))]]test_data = X[:, list(range(epoch, X.shape[1], 10))]# trainu = np.sum(train_data, axis=1) / train_data.shape[1]    # 求均值向量'''  平均脸u = np.array(u, dtype='uint8')average_face = np.resize(u, (img.shape[0], img.shape[1]))cv2.imshow('Avarage Face', average_face)cv2.waitKey(0)'''u = u[:, np.newaxis]C = train_data - u  # 中心化后数据矩阵Covariance = np.dot(C.T, C)  # 构建协方差矩阵，一般为C .* C.T，但是构造这种类型可减少运算量eigvalue, eigvector = np.linalg.eig(Covariance)  # 由协方差矩阵求解特征值、特征向量real_eigvector = np.dot(C, eigvector)    # 通过之前的构造来恢复真正协方差矩阵对应的特征向量sort = np.argsort(-eigvalue)             # 将特征值从大到小怕排序，得到排序后对于原索引P = real_eigvector.T[sort[0:100]]        # 对于排序构造特征向量，取前面较大权重值Y = []for i in range(train_data.shape[1]):temp = train_data[:, i, np.newaxis]Y.append(np.dot(P, temp - u))        # 构建每幅图像投影后的值，构造查找表# testcorrect = 0for index in range(test_data.shape[1]):img_test = test_data[:, index, np.newaxis]    # 从测试集提取单张人脸Result = np.dot(P, img_test - u)              # 计算待识别的人脸的投影a = np.sum(abs(Y - Result), axis=1).argmin()  # 遍历搜索匹配if index*9 <= a < (index+1)*9:                # 若索引在宽度为9的区间内则为该人脸，视为匹配正确correct += 1print('Epoch{} correct rate: {}%'.format(epoch, correct/40*100))correct_sum += correctprint('Final  correct rate: {}%'.format(correct_sum/4))

运算结果：

                 图一 识别结果                                                                        图二 平均脸

结果分析：

通过10折交叉验证，最后得到的验证准确度为98.5%，为较好水平。即通过少量的样本可以得到很好的结果，说明PCA在降维上拥有很好的效果，较好的保留了主要特征。