PCA降维原理(主成分分析)小结
PCA降维
- PCA是什么
- 目的和原则
- PCA与数学理论
- 均值和零均值化
- 均值
- 零均值化
- 特征向量和特征值
- 定义
- 性质
- 方差
- 协方差
- 协方差矩阵
- 协方差矩阵对角化
- PCA过程总结
PCA是什么
PCA(Principal Component Analysis)是一种常用的数据分析方法
PCA通过线性变换将原始数据变换为一组各维度线性无关表示,可用于提取数据的主要特征分量及高维数据的降维,而转换后的这组变量便是我们所说的主成分
目的和原则
目的: 在机器学习中,实际处理的数据有成千上万甚至几十万的维度,这种情况下机器学习的资源消耗是不可接受的,并且对算法的复杂度也有很大的影响,因此对数据降维是必要的
原则: 降维就意味着要舍去一些维度数据,那么数据信息自然也会丢失,但是通常实际数据常常存在一定的相关性,我们在降维的同时应尽可能的将信息损失降到最低
我们举个例子,淘宝店铺数据里的浏览量和访客数一般有很强的正相关关系,下单数和成交数也具有很强的正相关关系,那么我们把浏览量和访客数去掉其中一个,下单数和成交数去掉其中一个,对原来的数据信息不会丢失太多信息,这样遍将原来四维数据降到了二维,那么机器学习算法的复杂度也会降低,由此我们也可以看出降维的核心是主要将原来的数据中维度之间相关性比较强的数据重新组合成维度之间相关性很小的数据,在数学中,我们可以用协方差来表示。在PCA降维过程中,一般尽可能使最大方差的方向和新空间的轴对齐,取前面k个包含了绝大部分方差的坐标轴,事实上,这相当于只保留包含绝大部分方差的维度特征,而忽略包含方差几乎为0的特征维度,实现对数据特征的降维处理。
PCA与数学理论
均值和零均值化
均值
在PCA降维过程中,我们所求的均值是每个维度的均值。
零均值化
然后将每个维度的数据进行零均值化,所谓零均值化就是让均值为0,即每个数据都减去均值。
进行去均值的原因是如果不去均值的话会容易拟合。在神经网络中,如果特征值x比较大的时候,会导致W*x+b的结果也会很大,这样进行激活函数(如relu)输出时,会导致对应位置数值变化量相对来说太小,进行反向传播时因为要使用这里的梯度进行计算,所以会导致梯度消散问题,导致参数改变量很小,也就会易于拟合,效果不好。我们举个最简单的例子:
假如:y=x+10,现在有x1=90,x2=100,则两个均值为95
不做零均值化:
零均值化后:
从上述结果我们看以看出零均值化后的变化量要比不做零均值要明显的多,另外在后面做特征相关性处理时,零均值化也是有个很重要的作用
特征向量和特征值
定义
若A为n阶矩阵,若数λ和n维非0列向量X满足AX=λX,那么数λ称为A的特征值,X称为A的对应于特征值λ的特征向量
在PCA降维过程中,本质就是把原有数据投影到新的一个空间,我们也就可以看做是在原有数据基础上求解特征向量和特征值
性质
特征值和特征向量具有以下性质:
1.同一个矩阵的不同特征值对应的特征向量是线性无关的
2.对于同一个特征值对应的特征向量的非零线性组合仍是该特征值对应的特征向量
3.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言,一个特征值具有特征向量不唯一,一个特征向量不能对应不同特征值
从特征向量和特征值的性质我们就可以发现正好符合PCA降维过程中取方差较大和线性不相关的前k维数据作为降维后数据的目的
方差
方差是是用来表示数据的离散程度的,方差越大,离散程度越大,也就是数据波动就越大。
方差的计算:前面已经说了,需要先对每个维度的数据做零均值化,那么方差就是去均值后的平方和的均值
PCA中方差的意义:PCA的本质就是找一些投影方向,使得数据在这些投影方向上的方差最大,而且这些投影方向是相互正交的(即:相关性几乎为0)。这其实就是找新的正交基的过程,计算原始数据在这些正交基上投影的方差,方差越大,就说明在对应正交基上包含了更多的信息量,对数据特征影响更大,我们暂且把这些信息量可以记为特征值。原始数据协方差矩阵的特征值越大,对应的方差越大,在对应的特征向量上投影的信息量就越大。反之,如果特征值较小,则说明数据在这些特征向量上投影的信息量很小,可以将小特征值对应方向的数据删除,从而达到了降维的目的。
协方差
协方差可以计算不同变量之间的相关性:
如果cov(x,y)=-1,变量之间完全负相关
如果cov(x,y)=1,变量之间完全正相关
如果cov(x,y)=0,变量之间完全不相关
而当x和y相等时,协方差的值就等于方差,所以也可以看作方差是协方差的一种特殊情况
在PCA的过程中我们是对原始数据做过零均值化处理的,故,协方差可以变为:
那么每个维度之间的相关性计算方式为:
补充一句这里为什么是m-1而不是m,是为了能用样本的协方差期望更好去逼近总体的协方差,也就是我们常说的”无偏估计“
协方差矩阵
协方差只能表示两个维度变量之间的相互关系,如果有多个维度随机变量,就需要使用协方差矩阵,我们假设现在又三个维度随机变量x,y,z,那么对应的协方差矩阵则为:
我们注意到在协方差矩阵中对角线元素就是各维度数据的方差
而协方差矩阵是一个实对称矩阵,那么他就一定有特征向量和特征值,且不同特征值对应的特征向量必然正交,而对角线元素又是方差,所以这时候问题就转变为只考虑方差(特征值)大小了,但是我们依旧需要得到特征向量用来构造降维后的数据
协方差矩阵对角化
矩阵对角化定义
对角矩阵(diagonal matrix)是一个主对角线之外的元素皆为0的矩阵。对角线上的元素可以为0或其他值
如果存在一个可逆矩阵 P 使得 P-1AP 是对角矩阵,则矩阵A就被称为可对角化矩阵
如果一个矩阵与一个对角矩阵相似,我们就称这个矩阵可经相似变换对角化,简称可对角化;与之对应的线性变换就称为可对角化的线性变换
协方差矩阵对角化
上文我们已经说明了协方差矩阵是一个实对称矩阵,由实对称矩阵和相似矩阵性质我们可以得出协方差矩阵C具有的性质:
和C相似的对角矩阵,其对角元素为各特征向量对应的特征值(可能有重复)即:C的特征值就是相似对角矩阵的对角元素
我们假设C的相似对角矩阵为A,那么如果存在一个矩阵P使得P-1CP=A,根据对角矩阵的特点,我们就可以发现矩阵P的每一行就是我们所要找的协方差矩阵的特征向量,而特征值就是对角矩阵的对角元素,现在我们离整个PCA过程还有一步,先把每一个特征向量变成单位向量,然后再按照特征值的大小进行排序,取前K行特征值对应的单位向量组成的矩阵和标准化后数据相乘,就得到了我们需要的降维后的数据矩阵。
至此,已经完成了整个PCA降维过程涉及到的数学理论
PCA过程总结
通过上面的数学理论阐述,总结一下PCA的过程:
1)将原始数据做转置运算,每一行代表一个维度
2)每一行(代表一个属性字段)进行零均值化,即减去这一行的均值
3)得到原始数据的协方差矩阵
4)求出协方差矩阵的特征值及对应的特征向量的单位向量
5)将特征向量按对应特征值大小从上到下按行排列成矩阵,取前k行组成矩阵P
6)用上面得到矩阵P和标准化后的数据相乘,即可得到降维到k维后的数据
这里再补充说明一下,如果想看一下自己降维后的数据情况,可以将上述步骤逆行操作一遍重构数据,看看和原始数据有什么区别。理论上降维后数据肯定有少量的信息损失,所以重构后数据和原始数据会有微小区别。具体的实践可以参考我这篇文章:python鸢尾花数据集PCA降维
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解析如下:1、长按电脑电源键直至关机,然后再按一次电源健重启电脑,按F8健进入安全模式2、安全模式下进入Windows系统桌面后,按住“winR”打开运行窗口,输入“services.msc”打开服务设置3、在服务界面,选中…...
2022/11/19 21:17:18 - 错误使用 reshape要执行 RESHAPE,请勿更改元素数目。
%读入6幅图像(每一幅图像的大小是564*564) f1 imread(WashingtonDC_Band1_564.tif); subplot(3,2,1),imshow(f1); f2 imread(WashingtonDC_Band2_564.tif); subplot(3,2,2),imshow(f2); f3 imread(WashingtonDC_Band3_564.tif); subplot(3,2,3),imsho…...
2022/11/19 21:17:16 - 配置 已完成 请勿关闭计算机,win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机...
win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机”问题的解决方法在win7系统关机时如果有升级系统的或者其他需要会直接进入一个 等待界面,在等待界面中我们需要等待操作结束才能关机,虽然这比较麻烦,但是对系统进行配置和升级…...
2022/11/19 21:17:15 - 台式电脑显示配置100%请勿关闭计算机,“准备配置windows 请勿关闭计算机”的解决方法...
有不少用户在重装Win7系统或更新系统后会遇到“准备配置windows,请勿关闭计算机”的提示,要过很久才能进入系统,有的用户甚至几个小时也无法进入,下面就教大家这个问题的解决方法。第一种方法:我们首先在左下角的“开始…...
2022/11/19 21:17:14 - win7 正在配置 请勿关闭计算机,怎么办Win7开机显示正在配置Windows Update请勿关机...
置信有很多用户都跟小编一样遇到过这样的问题,电脑时发现开机屏幕显现“正在配置Windows Update,请勿关机”(如下图所示),而且还需求等大约5分钟才干进入系统。这是怎样回事呢?一切都是正常操作的,为什么开时机呈现“正…...
2022/11/19 21:17:13 - 准备配置windows 请勿关闭计算机 蓝屏,Win7开机总是出现提示“配置Windows请勿关机”...
Win7系统开机启动时总是出现“配置Windows请勿关机”的提示,没过几秒后电脑自动重启,每次开机都这样无法进入系统,此时碰到这种现象的用户就可以使用以下5种方法解决问题。方法一:开机按下F8,在出现的Windows高级启动选…...
2022/11/19 21:17:12 - 准备windows请勿关闭计算机要多久,windows10系统提示正在准备windows请勿关闭计算机怎么办...
有不少windows10系统用户反映说碰到这样一个情况,就是电脑提示正在准备windows请勿关闭计算机,碰到这样的问题该怎么解决呢,现在小编就给大家分享一下windows10系统提示正在准备windows请勿关闭计算机的具体第一种方法:1、2、依次…...
2022/11/19 21:17:11 - 配置 已完成 请勿关闭计算机,win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机”的解决方法...
今天和大家分享一下win7系统重装了Win7旗舰版系统后,每次关机的时候桌面上都会显示一个“配置Windows Update的界面,提示请勿关闭计算机”,每次停留好几分钟才能正常关机,导致什么情况引起的呢?出现配置Windows Update…...
2022/11/19 21:17:10 - 电脑桌面一直是清理请关闭计算机,windows7一直卡在清理 请勿关闭计算机-win7清理请勿关机,win7配置更新35%不动...
只能是等着,别无他法。说是卡着如果你看硬盘灯应该在读写。如果从 Win 10 无法正常回滚,只能是考虑备份数据后重装系统了。解决来方案一:管理员运行cmd:net stop WuAuServcd %windir%ren SoftwareDistribution SDoldnet start WuA…...
2022/11/19 21:17:09 - 计算机配置更新不起,电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?
原标题:电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?win7系统中在开机与关闭的时候总是显示“配置windows update请勿关闭计算机”相信有不少朋友都曾遇到过一次两次还能忍但经常遇到就叫人感到心烦了遇到这种问题怎么办呢?一般的方…...
2022/11/19 21:17:08 - 计算机正在配置无法关机,关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机...
关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!关机提示 windows7 正在配…...
2022/11/19 21:17:05 - 钉钉提示请勿通过开发者调试模式_钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用...
钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用 更新时间:2020-04-20 22:24:19 浏览次数:729次 区域: 南阳 > 卧龙 列举网提醒您:为保障您的权益,请不要提前支付任何费用! 虚拟位置外设器!!轨迹模拟&虚拟位置外设神器 专业用于:钉钉,外勤365,红圈通,企业微信和…...
2022/11/19 21:17:05 - 配置失败还原请勿关闭计算机怎么办,win7系统出现“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”,长时间没反应,无法进入系统的解决方案...
前几天班里有位学生电脑(windows 7系统)出问题了,具体表现是开机时一直停留在“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”这个界面,长时间没反应,无法进入系统。这个问题原来帮其他同学也解决过,网上搜了不少资料&#x…...
2022/11/19 21:17:04 - 一个电脑无法关闭计算机你应该怎么办,电脑显示“清理请勿关闭计算机”怎么办?...
本文为你提供了3个有效解决电脑显示“清理请勿关闭计算机”问题的方法,并在最后教给你1种保护系统安全的好方法,一起来看看!电脑出现“清理请勿关闭计算机”在Windows 7(SP1)和Windows Server 2008 R2 SP1中,添加了1个新功能在“磁…...
2022/11/19 21:17:03 - 请勿关闭计算机还原更改要多久,电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机怎么办...
许多用户在长期不使用电脑的时候,开启电脑发现电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机。。.这要怎么办呢?下面小编就带着大家一起看看吧!如果能够正常进入系统,建议您暂时移…...
2022/11/19 21:17:02 - 还原更改请勿关闭计算机 要多久,配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以...
配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机&#x…...
2022/11/19 21:17:01 - 电脑配置中请勿关闭计算机怎么办,准备配置windows请勿关闭计算机一直显示怎么办【图解】...
不知道大家有没有遇到过这样的一个问题,就是我们的win7系统在关机的时候,总是喜欢显示“准备配置windows,请勿关机”这样的一个页面,没有什么大碍,但是如果一直等着的话就要两个小时甚至更久都关不了机,非常…...
2022/11/19 21:17:00 - 正在准备配置请勿关闭计算机,正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了解决教程...
当电脑出现正在准备配置windows请勿关闭计算机时,一般是您正对windows进行升级,但是这个要是长时间没有反应,我们不能再傻等下去了。可能是电脑出了别的问题了,来看看教程的说法。正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了方法一…...
2022/11/19 21:16:59 - 配置失败还原请勿关闭计算机,配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机...
我们使用电脑的过程中有时会遇到这种情况,当我们打开电脑之后,发现一直停留在一个界面:“配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机”,等了许久还是无法进入系统。如果我们遇到此类问题应该如何解决呢࿰…...
2022/11/19 21:16:58 - 如何在iPhone上关闭“请勿打扰”
Apple’s “Do Not Disturb While Driving” is a potentially lifesaving iPhone feature, but it doesn’t always turn on automatically at the appropriate time. For example, you might be a passenger in a moving car, but your iPhone may think you’re the one dri…...
2022/11/19 21:16:57