PCA:详细解释主成分分析
1 PCA目的/作用
主成分分析算法(PCA)是最常用的线性降维方法,它的目标是通过某种线性投影,将高维的数据映射到低维的空间中,并期望在所投影的维度上数据的信息量最大(方差最大),以此使用较少的数据维度,同时保留住较多的原数据点的特性。
PCA降维的目的,就是为了在尽量保证“信息量不丢失”的情况下,对原始特征进行降维,也就是尽可能将原始特征往具有最大投影信息量的维度上进行投影。将原特征投影到这些维度上,使降维后信息量损失最小。
2 求解步骤
去除平均值
计算协方差矩阵
计算协方差矩阵的特征值和特征向量
将特征值排序
保留前N个最大的特征值对应的特征向量
将原始特征转换到上面得到的N个特征向量构建的新空间中(最后两步,实现了特征压缩)
假设有个样本,每个样本有维特征 ,每一个特征都有各自的特征值。以下面的数据为例
第一步:对所有特征进行中心化:去均值(这步很重要,之后会解释)
求每一个特征的平均值,然后对于所有的样本,每一个特征都减去自身的均值。
特征的平均值 :
特征的平均值 :
经过去均值处理之后,原始特征的值就变成了新的值,在这个新的norm_data的基础上,进行下面的操作。
第二步:求协方差矩阵C
上述矩阵中,对角线上分别是特征的方差,非对角线上是协方差。协方差大于0表示若有一个增,另一个也增;小于0表示一个增,一个减;协方差为0时,两者独立。协方差绝对值越大,两者对彼此的影响越大,反之越小。其中,的求解公式如下,其他类似
根据上面的协方差计算公式我们就得到了这个样本在这维特征下的协方差矩阵C。ps:之所以除以M-1而不是除以M,是因为这样能使我们以较小的样本集更好的逼近总体的标准差,即统计上所谓的“无偏估计”。具体推导过程可以参见博文:
样本方差的无偏估计与(n-1)的由来
第三步:求协方差矩阵C的特征值和相对应的特征向量
利用矩阵的知识,求协方差矩阵 的特征值 和相对应的特征向量 (每一个特征值对应一个特征向量):
特征值 会有个,每一个 对应一个特征向量 ,将特征值 按照从大到小的顺序排序,选择最大的前k个
,并将其相对应的k个特征向量拿出来,我们会得到一组。本例中原始特征只有2维,我在选取 的时候,令,选择最大的。
第四步:将原始特征投影到选取的特征向量上,得到降维后的新K维特征
这个选取最大的前k个特征值和相对应的特征向量,并进行投影的过程,就是降维的过程
。对于每一个样本$ Xi$,原来的特征是$(xi_1,xi_2,…,xi_n)^T$,投影之后的新特征是 ,新特征的计算公式如下:
对于我们的例子来说,每一个样本$ X^i X^i =(x^i_1, xi_2)T X^i =y^i_1$,达到了降维的目的。
3 原理分析
3.1 为什么样本在(协方差矩阵C的最大K个特征值所对应的特征向量)上的投影就是k维理想特征?
其中一种解释是: 最大方差理论:方差越大,信息量就越大。协方差矩阵的每一个特征向量就是一个投影面,每一个特征向量所对应的特征值就是原始特征投影到这个投影面之后的方差。由于投影过去之后,我们要尽可能保证信息不丢失,所以要选择具有较大方差的投影面对原始特征进行投影,也就是选择具有较大特征值的特征向量。然后将原始特征投影在这些特征向量上,投影后的值就是新的特征值。每一个投影面生成一个新的特征,k个投影面就生成k个新特征。
PCA降维的目的,就是为了在尽量保证“信息量不丢失”的情况下,对原始特征进行降维,也就是尽可能将原始特征往具有最大信息量的维度上进行投影。将原特征投影到这些维度上,使降维后信息量损失最小。
3.2 那为什么协方差矩阵
的特征向量可以看做是投影面,相对应的特征值是原始特征投影到这个投影面之后的方差??
现在,假设有以下几个样本,特征只有2个维度。做完预处理(减去了均值,这步很重要,之后会解释)之后,分布如下:
现在将这些样本往低维空间进行投影,二维特征降维的话就是往一维降,投影直线有很多,比如下面的,选哪一条比较好呢?
根据方差最大理论,选择投影过去之后,样本方差最大的那条投影直线作为投影维度,对原始特征进行降维。经过计算,比较好,因为投影后的样本点之间方差最大。
那么,投影过去之后样本之间的方差怎么计算?
以一个样本为例,蓝色点表示该样本,原始特征有2维,绿色点表示样本在u上的投影,u是该投影直线的单位向量。那么该样本的原二维特征投影到这个投影直线上就变成了一维特征(从二维坐标系变到了一维坐标系上),这个一维特征的值 = 投影点到原点的距离:(根据向量的计算公式得到)。
同理,其他的样本投影到该投影直线上,生成的新的一维特征也这么计算。那么,投影之后的所有样本之间的方差
就等于(根据方差的定义):
由于这些样本原特征的每一维特征在最一开始都进行了去均值操作,所以每一维特征的均值都为0,因此投影到u上的特征的均值仍然是0(=0)。对上式进行变换
那么怎么求这个方差的最大值呢?我们发现,是一个方形矩阵,我们可以从矩阵的角度求解
,令方差,,上式就变成了
由于是单位向量,,上式两边左乘得,
方差就是方阵的特征值,是特征向量。一个矩阵的特征值根据矩阵运算很容易求得。所以求解的关键就是构造出矩阵C,我们把矩阵展开,把带进去,
由于在最一开始,做了去均值处理,所以,所以上述矩阵就是一个协方差矩阵!!
这样,我们就求出了多个(方差)以及与之相对应的投影直线!!!最佳的投影直线是最大的对应的特征向量(拥有最大投影方差),其次是第二大的对应的特征向量(拥有次大投影方差),依次类推。通过选取拥有最大前k个的,对原始特征进行投影,使得原始特征被降维,并且尽可能保证最大的信息量。
至此,我们再返回去看PCA的求解步骤,就能明白我们为什么要,求解原样本特征的协方差矩阵的特征值和特征向量了。
3.3 另外说明一点:为什么在计算协方差矩阵之前,要将样本的原始特征进行去均值操作?
在上面的推导过程中,式1之所以成立,之所以能看成一个协方差矩阵,一个前提就是的均值必须是0!否则上面的推导就不成立。
减去均值(中心化)这一步,并不是独立于 PCA 的预处理步骤,而是由 PCA 的定义所规定的必须的步骤。
4 PCA优缺点
优点:
1、以方差衡量信息的无监督学习,不受样本标签限制。
2、由于协方差矩阵对称,因此k个特征向量之间两两正交,也就是各主成分之间正交,正交就肯定线性不相关,可消除原始数据成分间的相互影响
3. 可减少指标选择的工作量
4.用少数指标代替多数指标,利用PCA降维是最常用的算法
5. 计算方法简单,易于在计算机上实现。
缺点:
1、主成分解释其含义往往具有一定的模糊性,不如原始样本完整
2、贡献率小的主成分往往可能含有对样本差异的重要信息,也就是可能对于区分样本的类别(标签)更有用
3、特征值矩阵的正交向量空间是否唯一有待讨论
4、无监督学习
5 参考文献
【1】一篇深入剖析PCA的好文
【2】机器学习实战之PCA
【3】如何理解“方差越大信息量就越多”?
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置信有很多用户都跟小编一样遇到过这样的问题,电脑时发现开机屏幕显现“正在配置Windows Update,请勿关机”(如下图所示),而且还需求等大约5分钟才干进入系统。这是怎样回事呢?一切都是正常操作的,为什么开时机呈现“正…...
2022/11/19 21:17:13 - 准备配置windows 请勿关闭计算机 蓝屏,Win7开机总是出现提示“配置Windows请勿关机”...
Win7系统开机启动时总是出现“配置Windows请勿关机”的提示,没过几秒后电脑自动重启,每次开机都这样无法进入系统,此时碰到这种现象的用户就可以使用以下5种方法解决问题。方法一:开机按下F8,在出现的Windows高级启动选…...
2022/11/19 21:17:12 - 准备windows请勿关闭计算机要多久,windows10系统提示正在准备windows请勿关闭计算机怎么办...
有不少windows10系统用户反映说碰到这样一个情况,就是电脑提示正在准备windows请勿关闭计算机,碰到这样的问题该怎么解决呢,现在小编就给大家分享一下windows10系统提示正在准备windows请勿关闭计算机的具体第一种方法:1、2、依次…...
2022/11/19 21:17:11 - 配置 已完成 请勿关闭计算机,win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机”的解决方法...
今天和大家分享一下win7系统重装了Win7旗舰版系统后,每次关机的时候桌面上都会显示一个“配置Windows Update的界面,提示请勿关闭计算机”,每次停留好几分钟才能正常关机,导致什么情况引起的呢?出现配置Windows Update…...
2022/11/19 21:17:10 - 电脑桌面一直是清理请关闭计算机,windows7一直卡在清理 请勿关闭计算机-win7清理请勿关机,win7配置更新35%不动...
只能是等着,别无他法。说是卡着如果你看硬盘灯应该在读写。如果从 Win 10 无法正常回滚,只能是考虑备份数据后重装系统了。解决来方案一:管理员运行cmd:net stop WuAuServcd %windir%ren SoftwareDistribution SDoldnet start WuA…...
2022/11/19 21:17:09 - 计算机配置更新不起,电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?
原标题:电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?win7系统中在开机与关闭的时候总是显示“配置windows update请勿关闭计算机”相信有不少朋友都曾遇到过一次两次还能忍但经常遇到就叫人感到心烦了遇到这种问题怎么办呢?一般的方…...
2022/11/19 21:17:08 - 计算机正在配置无法关机,关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机...
关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!关机提示 windows7 正在配…...
2022/11/19 21:17:05 - 钉钉提示请勿通过开发者调试模式_钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用...
钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用 更新时间:2020-04-20 22:24:19 浏览次数:729次 区域: 南阳 > 卧龙 列举网提醒您:为保障您的权益,请不要提前支付任何费用! 虚拟位置外设器!!轨迹模拟&虚拟位置外设神器 专业用于:钉钉,外勤365,红圈通,企业微信和…...
2022/11/19 21:17:05 - 配置失败还原请勿关闭计算机怎么办,win7系统出现“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”,长时间没反应,无法进入系统的解决方案...
前几天班里有位学生电脑(windows 7系统)出问题了,具体表现是开机时一直停留在“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”这个界面,长时间没反应,无法进入系统。这个问题原来帮其他同学也解决过,网上搜了不少资料&#x…...
2022/11/19 21:17:04 - 一个电脑无法关闭计算机你应该怎么办,电脑显示“清理请勿关闭计算机”怎么办?...
本文为你提供了3个有效解决电脑显示“清理请勿关闭计算机”问题的方法,并在最后教给你1种保护系统安全的好方法,一起来看看!电脑出现“清理请勿关闭计算机”在Windows 7(SP1)和Windows Server 2008 R2 SP1中,添加了1个新功能在“磁…...
2022/11/19 21:17:03 - 请勿关闭计算机还原更改要多久,电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机怎么办...
许多用户在长期不使用电脑的时候,开启电脑发现电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机。。.这要怎么办呢?下面小编就带着大家一起看看吧!如果能够正常进入系统,建议您暂时移…...
2022/11/19 21:17:02 - 还原更改请勿关闭计算机 要多久,配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以...
配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机&#x…...
2022/11/19 21:17:01 - 电脑配置中请勿关闭计算机怎么办,准备配置windows请勿关闭计算机一直显示怎么办【图解】...
不知道大家有没有遇到过这样的一个问题,就是我们的win7系统在关机的时候,总是喜欢显示“准备配置windows,请勿关机”这样的一个页面,没有什么大碍,但是如果一直等着的话就要两个小时甚至更久都关不了机,非常…...
2022/11/19 21:17:00 - 正在准备配置请勿关闭计算机,正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了解决教程...
当电脑出现正在准备配置windows请勿关闭计算机时,一般是您正对windows进行升级,但是这个要是长时间没有反应,我们不能再傻等下去了。可能是电脑出了别的问题了,来看看教程的说法。正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了方法一…...
2022/11/19 21:16:59 - 配置失败还原请勿关闭计算机,配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机...
我们使用电脑的过程中有时会遇到这种情况,当我们打开电脑之后,发现一直停留在一个界面:“配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机”,等了许久还是无法进入系统。如果我们遇到此类问题应该如何解决呢࿰…...
2022/11/19 21:16:58 - 如何在iPhone上关闭“请勿打扰”
Apple’s “Do Not Disturb While Driving” is a potentially lifesaving iPhone feature, but it doesn’t always turn on automatically at the appropriate time. For example, you might be a passenger in a moving car, but your iPhone may think you’re the one dri…...
2022/11/19 21:16:57