由上节课我们可以得知AA-1 = I = A-1A
那么AB的逆矩阵是什么呢？
显然（AB）（B-1A-1） = I,那么AB的逆矩阵就是B-1A-1。为什么逆矩阵顺序反了过来，你可以这样想，当你穿袜子，再穿鞋，脱得时候顺序是先脱鞋，在脱袜子。

我们再想A的转置矩阵的逆矩阵是什么呢？
先从AA-1= I这个等式来看，让两边一起转置得到，（AA-1）T = I（单位矩阵I的转置矩阵还是单位矩阵I），将括号去掉得到（A-1）TAT = I，那么A转置矩阵的逆就是（A-1）T，如下图所示。

好的这时回到A=LU，我们假设矩阵A是可逆的矩阵，将矩阵A转换为对角矩阵U，需要乘以一个转换矩阵L。


通过对比以上两图我们可以知道E21A=U，A=LU，将第二个式子代入到第一个式子中可以得到，E21LU=U，也就是说E21L=I,那么E21就是L的逆矩阵。注意这里的E21的命名法是通过将矩阵A的第二行第一列的元素化为0。
那么对于（n*n）的矩阵A转换为右上角矩阵（矩阵左下角的元素均是0）不允许行互换，我们要消元操作多少次计算呢？
打个比方n=100，我们要将第一列除了第一个数其他都变成0，用第一行的数去消除其他行的数，我们要先乘，再减这样一共要计算99×100次简化成100 ^ 2，接下来就是第二行99 ^ 2，…直到1 ^ 2 。那么n ^ 2+(n-1) ^ 2+…+1 ^ 2是多少呢？大约是1/3倍的n ^ 3。那么这里的三分之一又是怎么得到的呢？利用微积分的知识如下图所示。

置换矩阵

如上图所示将一个3×3的矩阵的1,2行互换得到右边的矩阵，那么一个3×3矩阵有几种行互换矩阵呢？结果如下图所示