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0. 引入红黑树

在AVL树下进行查找的效率是非常高的, 但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。
因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。

• AVL树: 严格平衡
• 红黑树: 近似平衡, 效率比差别不大, 应用中红黑树多, 整体而言红黑树更优因为旋转相对较少并且代码更少

1. 红黑树概念

红黑树，是一种二叉搜索树，但在每个结点上增加一个存储位表示结点的颜色，可以是Red或Black。 通过对任何一条从根到叶子的路径上各个结点着色方式的限制，红黑树确保没有一条路径会比其他路径长出俩倍 <这是实现红黑树的目的>，因而是接近平衡的。

1.1 红黑树的性质

1. 每个结点不是红色就是黑色
2. 根节点是黑色的
3. 如果一个节点是红色的，则它的两个孩子结点是黑色的 (树中不会出现连续的红节点)
4. 对于每个结点，从该结点到其所有后代叶结点的简单路径上，均包含相同数目的黑色结点 (每条路径上黑色节点的数量都是相等的)
5. 每个叶子结点都是黑色的(此处的叶子结点指的是空结点)

思考：为什么满足上面的性质，红黑树就能保证：其最长路径中节点个数不会超过最短路径节点个数的两倍
一棵红黑树, 假设每条路径上都有X个黑色节点

• 最短路径: X
• 最长路径: 2X
  

1.3 红黑树的插入

约定:cur为当前节点，p为父节点，g为祖父节点，u为叔叔节点
插入的方式:

1. 按搜索树的规则进行插入
2. 插入节点选择红色, 若选择黑色会破坏第四点并且会影响所有路径. 选择红色只是有可能会破坏第三点并且破坏第三点容易解决
3. 插入后, 如果其父节点为黑, 则无需任何处理

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插入后可能的情况:

• 情况一: cur为红，p为红，g为黑，u存在且为红
  解决方式：将p,u改为黑，g改为红，然后把g当成cur，继续向上调整。
  
• 情况二: cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u为黑, 并且cur在外侧
  p为g的左孩子，cur为p的左孩子，则进行右单旋转；相反(即镜像图)，
  p为g的右孩子，cur为p的右孩子，则进行左单旋转
  事后: p、g变色–p变黑，g变红
  
• 情况三: cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u为黑, 并且cur在内侧
  p为g的左孩子，cur为p的右孩子，则针对p做左单旋转；相反，
  p为g的右孩子，cur为p的左孩子，则针对p做右单旋转
  则转换成了情况2, 也可直接视为双旋, 左右双旋, 右左双旋

• 注: 情况二三在做完旋转后无需再向上继续判断, 因为条件都已满足

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1.4 红黑树与AVL树的比较

红黑树和AVL树都是高效的平衡二叉树，增删改查的时间复杂度都是O( )，红黑树不追求绝对平衡，其只需保证最长路径不超过最短路径的2倍，相对而言，降低了插入和旋转的次数，所以在经常进行增删的结构中性能比AVL树更优，而且红黑树实现比较简单，所以实际运用中红黑树更多

2. 代码及注释

#pragma once
enum Colour
{BLACK,RED,
};template <class T>
struct RBTreeNode
{RBTreeNode<T>* _left;RBTreeNode<T>* _right;RBTreeNode<T>* _parent;T _data;Colour _col;RBTreeNode(const T& data): _left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _data(data), _col(BLACK){ }
};template <class K, class V>
class RBTree
{typedef RBTreeNode<pair<K, V>> Node;
public:RBTree(): _root(nullptr){ }pair<Node*, bool> insert(const pair<K, V>& kv){if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);_root->_col = BLACK;return make_pair(_root, true);}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){// 一. 像搜索树一样先找到应该插入的位置if (cur->_data.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_data.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return make_pair(cur, false);}}cur = new Node(kv);cur->_col = RED;Node* ret = cur; // 用于保存返回值if (parent->_data.first < kv.first){parent->_right = cur;cur->_parent = parent;}else{parent->_left = cur;cur->_parent = parent;}// 二. 找到之后进行调整while (parent && parent->_col == RED){Node* grandfather = parent->_parent;// parent在randfather左时if (parent == grandfather->_left){Node* uncle = grandfather->_right;// 情况1, 只需改变颜色然后向上继续调整if (uncle && uncle->_col == RED){parent->_col = uncle->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;cur = grandfather;parent = cur->_parent;}// 情况2 3, cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u为黑 无需向上继续调整else{// 判断是情况2还是3// 情况2//     g//   p// cif (cur == parent->_left){RotateR(grandfather);parent->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}// 情况3//     g//   p//    celse{RotateLR(grandfather);cur->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}break;}}else // parent在grandfather右时{Node* uncle = grandfather->_left;// 情况1, 只需改变颜色然后向上继续调整if (uncle && uncle->_col == RED){parent->_col = uncle->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;cur = grandfather;parent = cur->_parent;}// 情况2 3, cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u为黑 无需向上继续调整else{// 判断是情况2还是3// 情况2// g//   p//     cif (cur == parent->_right){RotateL(grandfather);parent->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}// 情况3//   g//     p//    celse{RotateRL(grandfather);cur->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}break;}}}_root->_col = BLACK;return make_pair(ret, true);}void RotateR(Node* parent){Node* pSubL = parent->_left;Node* pSubLR = pSubL->_right;pSubL->_right = parent;Node* pParent = parent->_parent;parent->_parent = pSubL;if (pSubLR != nullptr){pSubLR->_parent = parent;}parent->_left = pSubLR;if (parent == _root){_root = pSubL;pSubL->_parent = nullptr;}else{if (pParent->_left == parent){pParent->_left = pSubL;}else{pParent->_right = pSubL;}pSubL->_parent = pParent;}}void RotateL(Node* parent){Node* pSubR = parent->_right;Node* pSubRL = pSubR->_left;pSubR->_left = parent;Node* pParent = parent->_parent;parent->_parent = pSubR;parent->_right = pSubRL;if (pSubRL != nullptr)pSubRL->_parent = parent;if (parent == _root){_root = pSubR;pSubR->_parent = nullptr;}else{if (pParent->_right == parent){pParent->_right = pSubR;}else{pParent->_left = pSubR;}pSubR->_parent = pParent;}}void RotateLR(Node* parent){RotateL(parent->_left);RotateR(parent);}void RotateRL(Node* parent){RotateR(parent->_right);RotateL(parent);}private:Node* _root;
};