一文掌握二叉树
轻松掌握二叉树
- 树形结构
- 节点的度
- 树的度
- 叶子结点或终端结点
- 双亲结点或父结点
- 孩子结点或子结点
- 根节点
- 结点的层次
- 树的高度或深度
- 兄弟节点
- 树的表示形式
- 二叉树
- 二叉树的组成情况
- 两种特殊的二叉树
- 二叉树的性质
- 二叉树的存储
- 实现二叉树
- 实现类
- 创建树
- 前序遍历
- 中序遍历
- 后序遍历
- 获取二叉树当中结点的个数
- 遍历方法
- 子问题方法
- 获取叶子结点的个数
- 遍历方法
- 子问题方法
- 求第 k 层结点的个数
- 获取二叉树的高度
- 检测值为 value 的元素是否存在
- 判断一棵树是不是完全二叉树
- 层序遍历
- 查找最近的公共祖先
- 代码测试
树形结构
树是一种非线性的数据结构,它是由 n 个有限节点组成一个具有层次关系的集合。因为看起来像倒过来的树,所以叫做树形结构。
树形结构当作子树不能有交集,否则就不是树形结构。
节点的度
一个结点含有子树的个数称为该节点的度,如下图 A 的度就是 6 :
树的度
一棵树中,所有结点度的最大值称为树的度,如下图当中,A 的度最大,所以树的度就是 6 :
叶子结点或终端结点
度为0的结点称为叶结点; 如下图:B、C、H、I…等节点为叶结点:
双亲结点或父结点
若一个结点含有子结点,则这个结点称为其子结点的父结点; 如下图:A是B的父结点
孩子结点或子结点
一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点; 如下图:B是A的孩子结点
根节点
一棵树中,没有双亲结点的结点:如下图当中的:A
结点的层次
从根开始定义起,根为第1层,根的子结点为第2层,以此类推,就像下图的 P Q 就是在第四层。
树的高度或深度
树中结点的最大层次; 如下图:树的高度为4
兄弟节点
具有相同父结点的结点互称为兄弟结点; 如下图:B、C是兄弟结点
树的表示形式
树形结构的表示方法有很多:双亲表示法、孩子表示法、孩子双亲表示法、孩子兄弟表示法等等,我们常用的是孩子兄弟表示法。
class Node {int value; // 树中存储的数据Node firstChild; // 第一个孩子引用Node nextBrother; // 下一个兄弟引用
}
如下图:
二叉树
二叉树是由一个根节点加上两颗分别称为左子树和右子树的二叉树组成的:
- 二叉树不存在度大于 2 的结点。
- 二叉树的子树有左右之分,次序不能颠倒,所以二叉树是有序树。
二叉树的组成情况
二叉树的组成情况都是由以下几种复合而成的:
两种特殊的二叉树
- 满二叉树:一棵二叉树,如果每层的结点数都达到最大值,则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说,如果一棵二叉树的层数为K,且结点总数是 ,则它就是满二叉树。
- 完全二叉树:完全二叉树是效率很高的数据结构,完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的,有 n 个结点的二叉树,当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
二叉树的性质
- 若规定根结点的层数为1,则一棵非空二叉树的第i层上最多有 (i>0)个结点
- 若规定只有根结点的二叉树的深度为1,则深度为K的二叉树的最大结点数是 (k>=0)
- 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0=n2+1
- 具有n个结点的完全二叉树的深度k为 上取整
- 对于具有 n 个结点的完全二叉树,如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从 0 开始编号,则对于序号为 i 的结点有:
若i>0,双亲序号:(i-1)/2;i=0,i为根结点编号,无双亲结点
若2i+1<n,左孩子序号:2i+1,否则无左孩子
若2i+2<n,右孩子序号:2i+2,否则无右孩子
二叉树的存储
二叉树的存储有顺序存储和链式存储。这里将链式存储:二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的,常见的表示方式有二叉和三叉表示方式,具体如下(孩子表示法):
class Node {int val; // 数据域Node left; // 左孩子的引用,常常代表左孩子为根的整棵左子树Node right; // 右孩子的引用,常常代表右孩子为根的整棵右子树
}
实现二叉树
这里要实现的时候,是用穷举的方式创建,并不是用真正的方式创建二叉树,在之后会讲,这里是为了讲解功能:
实现类
二叉树有值、左孩子、右孩子。定义在类里实现:
class BTNode {public char val;public BTNode left;//左孩子的引用public BTNode right;//右孩子的引用public BTNode(char val) {this.val = val;}
}
创建树
定义一个二叉树的根节点,然后通过穷举的方式创建:
public BTNode root;//二叉树的根节点
public BTNode creatTree() {BTNode A = new BTNode('A');BTNode B = new BTNode('B');BTNode C = new BTNode('C');BTNode D = new BTNode('D');BTNode E = new BTNode('E');BTNode F = new BTNode('F');BTNode G = new BTNode('G');BTNode H = new BTNode('H');A.left = B;A.right = C;B.left = D;B.right = E;C.left = F;C.right = G;E.right = H;return A;
}
这里就是将 A 作为根节点,然后修改左右指向。创建这样的一颗二叉树:
前序遍历
前序遍历(又叫前根遍历)就是在遍历二叉树的时候,先遍历根,然后是左子树,最后是右子树。如下图:
这颗二叉树的前序遍历就是:A B D E H C F G 。所以遍历的时候就按照这种方式去递归遍历。递归遍历的终止条件就是:当前结点为空的时候,就返回。代码如下:
void preOrder(BTNode root) {if (root == null) {return;}System.out.print(root.val+" ");preOrder(root.left);preOrder(root.right);
}
中序遍历
中序遍历(又叫中根遍历)是先左子树,然后是根,最后是右子树。如下图的中序遍历结果就是:D B E H A F C G
代码如下:
void inOrder(BTNode root) {if (root == null) {return;}inOrder(root.left);System.out.print(root.val+" ");inOrder(root.right);
}
后序遍历
后序遍历(又叫后根遍历)则是先左子树,然后是右子树,最后是根,如下图的后序遍历结果就是:D H E B F G C A
代码如下:
void postOrder(BTNode root) {if (root == null) {return;}postOrder(root.left);postOrder(root.right);System.out.print(root.val+" ");
}
获取二叉树当中结点的个数
获取二叉树当中结点的个数有两种方法:1、遍历方法,2、子问题方法(左树的结点的个数+右树的结点的个数。
遍历方法
通过一种遍历方式去遍历即可,然后定义一个计数器,用来计算个数。代码如下:
int count = 0;
int size(BTNode root) {if (root == null) {return 0;}count++;size(root.left);size(root.right);return count;
}
子问题方法
通过判断左子树和右子树的个数即可。代码如下:
int size1(BTNode root) {if (root == null) {return 0;}return size1(root.left) + size1(root.right) + 1;
}
获取叶子结点的个数
这里获取的方法也有两个:1、遍历思路 2、子问题思路
遍历方法
如果遍历到叶子结点,计数器就++,叶子节点就是 left 和 right 都为空。代码如下:
int num = 0;
int getLeafNodeCount(BTNode root) {if (root == null) {return 0;}if (root.left == null && root.right == null) {num++;}getLeafNodeCount(root.left);getLeafNodeCount(root.right);return num;
}
子问题方法
这里的子问题方法就是左树的叶子 + 右树的叶子,如果是叶子的话,就返回 1 代码如下:
int getLeafNodeCount1(BTNode root) {if (root == null) {return 0;}if (root.left == null && root.right == null) {return 1;}return getLeafNodeCount1(root.left) + getLeafNodeCount1(root.right);
}
求第 k 层结点的个数
求第 k 层,那么也就是每往下一层,让 k - 1 当 k == 1 的时候,就到了 k 层了,如图所示:
所以当递归到 k == 1 的时候,返回 1 就可以了。代码如下:
int getKLevelNodeCount(BTNode root, int k) {if (root == null) {return 0;}if (k == 1) {return 1;}return getKLevelNodeCount(root.left, k - 1) + getKLevelNodeCount(root.right, k - 1);
}
获取二叉树的高度
同样是通过递归比较左树的高度和右树的高度取最大值,然后返回的时候 + 1 。如下图:
代码如下:
int getHeight(BTNode root) {if (root == null) {return 0;}if (root.left == null && root.right == null) {return 1;}return Math.max(getHeight(root.left), getHeight(root.right)) + 1;
}
检测值为 value 的元素是否存在
要检测是否有此元素,那么直接遍历结点是否有 value 数据就可以了。如果没有找到就返回空,代码如下:
BTNode find(BTNode root, char val) {if (root == null) {return null;}if (root.val == val) {return root;}BTNode ret = find(root.left, val);if (ret != null) {return ret;}return find(root.right, val);
}
判断一棵树是不是完全二叉树
可以用队列来做,把每一个结点都放入队列,就算是 null 也要放入。放入之后,弹出队头元素,然后把弹出的队头元素的左和右也放入。如果出到 null 的时候,剩下的全是 null ,那么就是完全二叉树。代码如下:
boolean isCompleteTree(BTNode root) {if (root == null) {return true;}Queue<BTNode> queue = new LinkedList<>();queue.offer(root);while (!queue.isEmpty()) {BTNode cur = queue.poll();if (cur != null) {queue.offer(cur.left);queue.offer(cur.right);} else {break;}}while (!queue.isEmpty()) {BTNode top = queue.peek();if (top != null) {return false;}queue.poll();}return true;
}
层序遍历
这里的层序遍历也是用队列来实现,和上面的判断是不是完全二叉树相差无几,只不过是出队的时候,判断结点不为空,然后左右节点也不为空即可入队,直到最后队列为空。代码如下:
public void levelOrder(BTNode root) {Queue<BTNode> queue = new LinkedList<>();if (root == null) {return;}queue.offer(root);while (!queue.isEmpty()) {BTNode cur = queue.poll();System.out.print(cur.val+" ");if (cur != null) {if (cur.left != null) {queue.offer(cur.left);}if (cur.right != null) {queue.offer(cur.right);}}}
}
查找最近的公共祖先
查找两个结点的公共祖先,假设是一颗二叉搜索树。二叉搜索树的中序遍历的大小是有序的。根节点的左数,都比根小。根节点的右树,都比根大。所以就会出现下图的这种情况:
所以,我们只要按照这个模式去做就可以了,如果左边和右边都不为空的话,就说明这两个结点在根节点的两侧,直接返回根节点就可以了。然后就是如果左边不为空,就返回左边。右边不为空,就返回右边。代码如下:
public BTNode lowestCommonAncestor(BTNode root, TreeNode p, TreeNode q) {if(root == null) {return null;}if(root == p || root == q) {return root;}BTNode left = lowestCommonAncestor(root.left, p, q);BTNode right = lowestCommonAncestor(root.right, p, q);if(left != null && right != null) {return root;} else if (left != null) {return left;} else {return right;}
}
代码测试
代码如下:
public static void main(String[] args) {MyBinaryTree myBinaryTree = new MyBinaryTree();BTNode root = myBinaryTree.creatTree();System.out.println("前序遍历");myBinaryTree.preOrder(root);System.out.println();System.out.println("中序遍历");myBinaryTree.inOrder(root);System.out.println();System.out.println("后序遍历");myBinaryTree.postOrder(root);System.out.println();System.out.println("二叉树当中结点的个数");System.out.println(myBinaryTree.size1(root));System.out.println("二叉树当中叶子结点的个数");System.out.println(myBinaryTree.getLeafNodeCount1(root));System.out.println("二叉树当中第 k 层结点的个数");System.out.println(myBinaryTree.getKLevelNodeCount(root, 3));System.out.println("数的高度");System.out.println(myBinaryTree.getHeight(root));System.out.println("是否包含此节点,包含的话,输出此节点");try {System.out.println(myBinaryTree.find(root, 'G').val);} catch (NullPointerException e) {e.printStackTrace();System.out.println("没有这个节点");}System.out.println("是不是完全二叉树");System.out.println(myBinaryTree.isCompleteTree(root));System.out.println("层序遍历");myBinaryTree.levelOrder(root);
}
运行结果如下:
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2024/4/19 11:59:23 - 氧生福地 玩美北湖(下)——奔跑吧骚年!
原标题:氧生福地 玩美北湖(下)——奔跑吧骚年!让我们红尘做伴 活得潇潇洒洒 策马奔腾共享人世繁华 对酒当歌唱出心中喜悦 轰轰烈烈把握青春年华 让我们红尘做伴 活得潇潇洒洒 策马奔腾共享人世繁华 对酒当歌唱出心中喜悦 轰轰烈烈把握青春年华 啊……啊……啊 两…...
2024/4/19 11:59:44 - 扒开伪装医用面膜,翻六倍价格宰客,小姐姐注意了!
原标题:扒开伪装医用面膜,翻六倍价格宰客,小姐姐注意了!扒开伪装医用面膜,翻六倍价格宰客!当行业里的某一品项火爆了,就会有很多商家蹭热度,装逼忽悠,最近火爆朋友圈的医用面膜,被沾上了污点,到底怎么回事呢? “比普通面膜安全、效果好!痘痘、痘印、敏感肌都能用…...
2024/4/25 2:10:52 - 「发现」铁皮石斛仙草之神奇功效用于医用面膜
原标题:「发现」铁皮石斛仙草之神奇功效用于医用面膜丽彦妆铁皮石斛医用面膜|石斛多糖无菌修护补水贴19大优势: 1、铁皮石斛:自唐宋以来,一直被列为皇室贡品,铁皮石斛生于海拔1600米的悬崖峭壁之上,繁殖力差,产量极低,所以古代仅供皇室、贵族享用 2、铁皮石斛自古民间…...
2024/4/24 16:38:05 - 丽彦妆\医用面膜\冷敷贴轻奢医学护肤引导者
原标题:丽彦妆\医用面膜\冷敷贴轻奢医学护肤引导者【公司简介】 广州华彬企业隶属香港华彬集团有限公司,专注美业21年,其旗下品牌: 「圣茵美」私密荷尔蒙抗衰,产后修复 「圣仪轩」私密荷尔蒙抗衰,产后修复 「花茵莳」私密荷尔蒙抗衰,产后修复 「丽彦妆」专注医学护…...
2024/4/23 13:28:14 - 广州械字号面膜生产厂家OEM/ODM4项须知!
原标题:广州械字号面膜生产厂家OEM/ODM4项须知!广州械字号面膜生产厂家OEM/ODM流程及注意事项解读: 械字号医用面膜,其实在我国并没有严格的定义,通常我们说的医美面膜指的应该是一种「医用敷料」,也就是说,医用面膜其实算作「医疗器械」的一种,又称「医用冷敷贴」。 …...
2024/4/23 13:27:51 - 械字号医用眼膜缓解用眼过度到底有无作用?
原标题:械字号医用眼膜缓解用眼过度到底有无作用?医用眼膜/械字号眼膜/医用冷敷眼贴 凝胶层为亲水高分子材料,含70%以上的水分。体表皮肤温度传导到本产品的凝胶层,热量被凝胶内水分子吸收,通过水分的蒸发带走大量的热量,可迅速地降低体表皮肤局部温度,减轻局部皮肤的灼…...
2024/4/23 13:27:19 - 配置失败还原请勿关闭计算机,电脑开机屏幕上面显示,配置失败还原更改 请勿关闭计算机 开不了机 这个问题怎么办...
解析如下:1、长按电脑电源键直至关机,然后再按一次电源健重启电脑,按F8健进入安全模式2、安全模式下进入Windows系统桌面后,按住“winR”打开运行窗口,输入“services.msc”打开服务设置3、在服务界面,选中…...
2022/11/19 21:17:18 - 错误使用 reshape要执行 RESHAPE,请勿更改元素数目。
%读入6幅图像(每一幅图像的大小是564*564) f1 imread(WashingtonDC_Band1_564.tif); subplot(3,2,1),imshow(f1); f2 imread(WashingtonDC_Band2_564.tif); subplot(3,2,2),imshow(f2); f3 imread(WashingtonDC_Band3_564.tif); subplot(3,2,3),imsho…...
2022/11/19 21:17:16 - 配置 已完成 请勿关闭计算机,win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机...
win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机”问题的解决方法在win7系统关机时如果有升级系统的或者其他需要会直接进入一个 等待界面,在等待界面中我们需要等待操作结束才能关机,虽然这比较麻烦,但是对系统进行配置和升级…...
2022/11/19 21:17:15 - 台式电脑显示配置100%请勿关闭计算机,“准备配置windows 请勿关闭计算机”的解决方法...
有不少用户在重装Win7系统或更新系统后会遇到“准备配置windows,请勿关闭计算机”的提示,要过很久才能进入系统,有的用户甚至几个小时也无法进入,下面就教大家这个问题的解决方法。第一种方法:我们首先在左下角的“开始…...
2022/11/19 21:17:14 - win7 正在配置 请勿关闭计算机,怎么办Win7开机显示正在配置Windows Update请勿关机...
置信有很多用户都跟小编一样遇到过这样的问题,电脑时发现开机屏幕显现“正在配置Windows Update,请勿关机”(如下图所示),而且还需求等大约5分钟才干进入系统。这是怎样回事呢?一切都是正常操作的,为什么开时机呈现“正…...
2022/11/19 21:17:13 - 准备配置windows 请勿关闭计算机 蓝屏,Win7开机总是出现提示“配置Windows请勿关机”...
Win7系统开机启动时总是出现“配置Windows请勿关机”的提示,没过几秒后电脑自动重启,每次开机都这样无法进入系统,此时碰到这种现象的用户就可以使用以下5种方法解决问题。方法一:开机按下F8,在出现的Windows高级启动选…...
2022/11/19 21:17:12 - 准备windows请勿关闭计算机要多久,windows10系统提示正在准备windows请勿关闭计算机怎么办...
有不少windows10系统用户反映说碰到这样一个情况,就是电脑提示正在准备windows请勿关闭计算机,碰到这样的问题该怎么解决呢,现在小编就给大家分享一下windows10系统提示正在准备windows请勿关闭计算机的具体第一种方法:1、2、依次…...
2022/11/19 21:17:11 - 配置 已完成 请勿关闭计算机,win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机”的解决方法...
今天和大家分享一下win7系统重装了Win7旗舰版系统后,每次关机的时候桌面上都会显示一个“配置Windows Update的界面,提示请勿关闭计算机”,每次停留好几分钟才能正常关机,导致什么情况引起的呢?出现配置Windows Update…...
2022/11/19 21:17:10 - 电脑桌面一直是清理请关闭计算机,windows7一直卡在清理 请勿关闭计算机-win7清理请勿关机,win7配置更新35%不动...
只能是等着,别无他法。说是卡着如果你看硬盘灯应该在读写。如果从 Win 10 无法正常回滚,只能是考虑备份数据后重装系统了。解决来方案一:管理员运行cmd:net stop WuAuServcd %windir%ren SoftwareDistribution SDoldnet start WuA…...
2022/11/19 21:17:09 - 计算机配置更新不起,电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?
原标题:电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?win7系统中在开机与关闭的时候总是显示“配置windows update请勿关闭计算机”相信有不少朋友都曾遇到过一次两次还能忍但经常遇到就叫人感到心烦了遇到这种问题怎么办呢?一般的方…...
2022/11/19 21:17:08 - 计算机正在配置无法关机,关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机...
关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!关机提示 windows7 正在配…...
2022/11/19 21:17:05 - 钉钉提示请勿通过开发者调试模式_钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用...
钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用 更新时间:2020-04-20 22:24:19 浏览次数:729次 区域: 南阳 > 卧龙 列举网提醒您:为保障您的权益,请不要提前支付任何费用! 虚拟位置外设器!!轨迹模拟&虚拟位置外设神器 专业用于:钉钉,外勤365,红圈通,企业微信和…...
2022/11/19 21:17:05 - 配置失败还原请勿关闭计算机怎么办,win7系统出现“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”,长时间没反应,无法进入系统的解决方案...
前几天班里有位学生电脑(windows 7系统)出问题了,具体表现是开机时一直停留在“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”这个界面,长时间没反应,无法进入系统。这个问题原来帮其他同学也解决过,网上搜了不少资料&#x…...
2022/11/19 21:17:04 - 一个电脑无法关闭计算机你应该怎么办,电脑显示“清理请勿关闭计算机”怎么办?...
本文为你提供了3个有效解决电脑显示“清理请勿关闭计算机”问题的方法,并在最后教给你1种保护系统安全的好方法,一起来看看!电脑出现“清理请勿关闭计算机”在Windows 7(SP1)和Windows Server 2008 R2 SP1中,添加了1个新功能在“磁…...
2022/11/19 21:17:03 - 请勿关闭计算机还原更改要多久,电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机怎么办...
许多用户在长期不使用电脑的时候,开启电脑发现电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机。。.这要怎么办呢?下面小编就带着大家一起看看吧!如果能够正常进入系统,建议您暂时移…...
2022/11/19 21:17:02 - 还原更改请勿关闭计算机 要多久,配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以...
配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机&#x…...
2022/11/19 21:17:01 - 电脑配置中请勿关闭计算机怎么办,准备配置windows请勿关闭计算机一直显示怎么办【图解】...
不知道大家有没有遇到过这样的一个问题,就是我们的win7系统在关机的时候,总是喜欢显示“准备配置windows,请勿关机”这样的一个页面,没有什么大碍,但是如果一直等着的话就要两个小时甚至更久都关不了机,非常…...
2022/11/19 21:17:00 - 正在准备配置请勿关闭计算机,正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了解决教程...
当电脑出现正在准备配置windows请勿关闭计算机时,一般是您正对windows进行升级,但是这个要是长时间没有反应,我们不能再傻等下去了。可能是电脑出了别的问题了,来看看教程的说法。正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了方法一…...
2022/11/19 21:16:59 - 配置失败还原请勿关闭计算机,配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机...
我们使用电脑的过程中有时会遇到这种情况,当我们打开电脑之后,发现一直停留在一个界面:“配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机”,等了许久还是无法进入系统。如果我们遇到此类问题应该如何解决呢࿰…...
2022/11/19 21:16:58 - 如何在iPhone上关闭“请勿打扰”
Apple’s “Do Not Disturb While Driving” is a potentially lifesaving iPhone feature, but it doesn’t always turn on automatically at the appropriate time. For example, you might be a passenger in a moving car, but your iPhone may think you’re the one dri…...
2022/11/19 21:16:57