我们在上一篇文章说了单层感知机实现简单逻辑电路，多层感知机实现异或门电路。引入了阈值θ，偏置b。现在，我们根据上一篇的表达式，现实激活函数。

我们之前感知机的表达式如下：

y = {
x1w1+x2w2+b >0 return 1
x1w1+x2w2+b <=0 return 0
}

现在，我们将x1w1+x2w2+b这个整体令它等于α，现在有一种特殊的映射关系，当α＞0时，使得h(α)=1。当α<=0时，使得h(α)=0。这里的h(α)函数就称为激活函数。激活函数就是将输入总和转换成输出数值的函数。所以，表达式可以又写成y = h(α)。

感知机的优势，在于能够表达复杂的函数，或者是逻辑运算。不过，它存在一定缺陷，例如：权重w需要人为设定，还有偏置b同样也是，不能通过一定/一套具体的规则，来进行权重和偏置的自动优化。因此，神经网络的出现可以处理这个问题，因为神经网络的权重是可以进行自动调整的。神经网络与感知机类似，因为它也是存在输入层，中间层（隐藏层），输出层。神经网络使用的激活函数不属于阶跃函数（阶跃函数：设定一个阈值，当输入超出阈值就输出），常用的激活函数：sigmoid函数：h(α）= 1 / (1+e^(-x))。

阶跃函数的实现：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt"""#encoding="utf-8"
@Author:Mr.Pan_学狂
@finish_time:2022/2/10
感知机的阶跃函数与神经网络的激活函数对比
"""def JY(inx):if inx > 0:return 1else:return 0def JY2(inx):shape_tup = inx.shapeprint(shape_tup[0])if len(shape_tup) > 1:#矩阵for vector in inx:for num in range(shape_tup[1]):if vector[num] > 0:vector[num] = 1else:vector[num] = 0else:#向量for n in range(shape_tup[0]):if inx[n] > 0:inx[n] = 1else:inx[n] = 0return inxdef JY3(inx):return np.array(inx > 0,dtype=np.int)def sigmoid():passif __name__ == '__main__':print(JY(0.5))print(JY2(np.array([-0.2,0.3,-1])))print(JY2(np.array([[-0.5,0.5,1],[1,2,0],[0.2,-3,0.01],[-6,2,-0.9],[1,-2,6],[-0.3,0,1]])))x = np.arange(-5.0, 5.0, 0.1)y = JY3(inx=x)plt.plot(x,y)plt.ylim(-0.1,1.1)plt.show()

运行结果：


sigmoid函数的实现：

def sigmoid(inx):return 1 / (1 + np.exp(-inx))

不过，我们注意到一点，激活函数可以允许输入的数值是向量或矩阵类型的数据。而不像阶跃函数，只能指定一种数据类型的输入。
测试sigmoid函数：

X = np.array([-1,0,1,2])
X2 = np.array([[-0.5,-1,0],[1,2,-2]])
X3 = 1
print(sigmoid(X))
print(sigmoid(X2))
print(sigmoid(X3))

运行结果：

绘图代码：

x = np.arange(-5.0, 5.0, 0.1)
y = sigmoid(inx=x)
plt.plot(x,y)
plt.ylim(-0.1,1.1)
plt.show()

sigmoid函数图像：

对比阶跃函数和激活函数图像，我们可以看出sigmoid函数图像变化更加平缓，阶跃函数的变化更加剧烈。且sigmoid是随着输入的变化，输出不断发生连续性变化的。在观察数值微小变化方面，sigmoid函数显然更加合适。

sigmoid函数与阶跃函数的相同之处，在于输入小的时候，输出接近于0。输入大的时候，输出接近于1。无论输入数据多大或者多小，输出结果总在(0,1)内。阶跃函数和sigmoid都是非线性函数。

神经网络的激活必须使用非线性函数。原因在于使用线性函数，会导致叠加层没有意义。例如：g(x)=Cx(C为常数)，g(x)就是一个线性函数。那么经过3次叠加 g(g(g(x)))=CCCx。其实等同于h(x)=C^3*x(线性函数)，并没有什么区别。因此，我们需要使用非线性函数作为神经网络的激活函数。

最后，感谢大家前来观看鄙人的文章，文中或有诸多不妥之处，还望指出和海涵。