本笔记针对图1的跨阻电路提供了一种计算输出电压噪声的准确模型。

图1 跨阻放大电路

图1中的跨阻放大电路中，噪声源包括：

1. 反馈电阻Rf的热噪声（假设Ri>>Rf）
2. 运放输入电流噪声in
3. 运放输入电压噪声en

in表示电流噪声谱密度，单位pA/√Hz或者fA/√Hz，具有FET输入级的运放电流噪声谱的典型值约为5fA/√Hz。

en表示电压噪声谱密度，单位nV/√Hz，低噪声运放电压噪声谱的典型值约为4nV/√Hz。

不考虑1/F噪声，上述噪声均为白噪声。

为简化输出噪声的计算，假定各噪声源具备相同的噪声电压NBW。对于一阶噪声滤波器，NBW=NBWsp=π/2xf3db=1.571xf3db，对于一阶RC滤波器，f3db=1/(2πRC)。跨阻放大电路的简化输出均方根噪声电压为：

 

对于普通放大器应用，上述简化的噪声计算模型是足够的，但是对于跨阻放大电路此简化模型不够精确，原因如下：1.跨阻放大电路响应不能使用一阶滤波器响应函数进行描述，而需要使用二阶系统函数进行描述（跨阻响应函数具有尖峰，并且响应滚降较一阶系统更大），2. 运放输入电压噪声en的增益随频率发生变化，具有增益尖峰，导致输出噪声较简化模型更大。增益尖峰源于反馈电阻Rf和总输入电容Ci构成的反馈网络极点。

为了精确计算输出电压噪声，在计算中需要考虑跨阻传递函数Tz(f)、噪声增益函数NG(f)和运放有限的增益带宽滚降。影响跨阻传递函数Tz(f)的因素有Rf、Cf和Ci构成的负反馈网络和运算放大器的开环增益Ao(f)。本笔记中假定运算放大器的开环增益Ao(f)为一阶系统响应函数。因此Tz(f)为二阶传递函数，其特性与LCR电路电容C的端压特性相同：

 

对噪声谱密度在频率上进行积分可获得总的输出噪声电压：

 

噪声增益为：

 

噪声增益函数NGf的极点/零点对应反馈函数βf的零点/极点。

电阻热噪声和运放电流噪声具有相同的跨阻放大函数Tz(f)。运放电压噪声的放大函数与同相电压放大器的增益相同，为1/β(f)。

输出噪声功率谱密度为：

 

使用例子中的参数，输出噪声电压谱密度见图2。在低频区域，Rf（50kohm）的热噪声电压密度为28.3nV/√Hz，运放的电压噪声为6nV/√Hz，反馈电阻噪声起主导作用。但是，当频率接近3db带宽频率点Fp时，运算放大器电压噪声逐渐起主导作用，因为反馈电阻的噪声增益受到跨阻传函极点的影响而变小。当频率超过Fp继续增大时，运放电压噪声en对输出噪声的贡献受到运放有限增益带宽积（开环增益）的影响逐渐降低。需要注意，Rf和in在输出端的噪声谱形状也可能呈现出尖峰。反馈电阻热噪声和运放电流噪声的增益为跨阻传递函数，对于Q值超过最大平坦值0.7071的情况，跨阻传递函数Tz(f)会出现尖峰，因此Rf和in贡献的输出噪声谱会出现尖峰。

图2 输出噪声谱密度

总的输出电压噪声的解析计算公式为：

GBW为运放的增益带宽积，F0为跨阻放大电路的固有谐振频率，Q为品质因子

Fz为噪声增益的零点，Fp为噪声增益的极点：

通过求解如下方程：

可获得跨阻传递函数的3db带宽：

 

Q的取值影响跨阻传递函数的3db带宽的大小。Q的取值可以通过改变反馈电容Cf进行调节。当且仅当Q=1/√2 时，f3db=F0。调节噪声增益的极点Fp，可控制系统的稳定性。对于二阶跨阻传函，Fp与f3db一般并不相同，但是对于过阻尼电阻，Q<<1，跨阻传递函数的3db带宽主要取决于反馈网络的极点Fp，对于过阻尼和欠阻尼情况，分别有：

 

输出噪声公式中包含如下两个积分：

事实上，这两项积分的结果是相同的：

 

故，输出噪声计算公式可化简为：

引入有效噪声带宽：

有：

计算噪声

利用上述公式，可以准确地计算跨阻放大电路的输出电压噪声。步骤如下：

1. 根据实际电路，确定GBW、en、in、Rf、Cf和Ci
2. 利用公式，计算零点Fz和固有谐振频率F0
3. 利用公式，计算电路的品质因子Q
4. 计算噪声带宽，然后计算总的输出噪声电压

计算实例

给定电路参数：

GBW=19MHz，en=6nV/√Hz， in=2fA/√Hz，Rf=50kohm，Cf=2.6pF，Ci=20pF

依次利用公式计算

Fz=141kHz

Fp=1.22MHz

F0=1.64MHz

Q=0.703

F3db=1.63MHz

NBWen=246MHz

NBWin_th=1.81MHz

Ven=94uV

Vth=38uV

Vin=0.13uV

Vtotal=101uV

常用术语定义

图3给出了跨阻放大电路分析中常用的术语定义。固有谐振频率F0和噪声增益与开环响应的交点频率Fc并不相同。在焦点频率Fc处，有ABS(Ao(f)/NG(f))=1，相位角PHA(Ao(f)/NG(f))为相位裕量，决定了电路的稳定性。在图中的过阻尼情况下，相位裕量为76°，较充足。虚线是不考虑极点Fp时的噪声增益曲线。固有谐振频率F0为虚线和运放开环增益曲线的交点，F0等于Fz和GBW的几何平均值。

图3 跨阻放大电路术语图示