本文内容来自于学习麻省理工学院公开课：单变量微积分-定积分-网易公开课

一、定积分的概念

几何意义找到曲线下的面积（另 累积和）

​

 

和不定积分的区别在于，不定积分并没有给出上限或下限（a,b）

二、计算面积的步骤

1、切割成多个"矩形"

2、把这些"矩形"的面积累加起来

3、修正前面的结果，（通过让"矩形"变窄来取得极限值，到无穷窄）

​

 

三、例子

1、 ，a = 0, b 任意

面积=

这里要计算 ， 老师给了一个算法，把数列中的每个数看作一个高为1的长方体的下底面（正方形）的一条边，这样组成了一个金字塔，另外这个金字塔有一个内接的4棱锥和一个外接的4棱锥。

体积依次为

import matplotlib as mpl
from matplotlib import cm
from matplotlib import pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d.art3d import Poly3DCollection, Line3DCollection
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
# 创建画布
fig = plt.figure(figsize=(12, 8),facecolor='lightyellow')# 创建 3D 坐标系
ax = fig.gca(fc='whitesmoke',projection='3d' )# 绘制 3D 图形ax.plot3D(xs=[5, 0, 0, 0, 0, ],    # x 轴坐标ys=[0, 0, 5, 0, 0, ],    # y 轴坐标zs=[0, 0, 0, 0, 5, ],    # z 轴坐标zdir='z',    # c='k',    # colormarker='o',    # 标记点符号mfc='r',    # marker facecolormec='g',    # marker edgecolorms=10,    # size)def plot_opaque_cube(x, y, z, dx, dy, dz, ax):xx = np.linspace(x, x+dx, 2)yy = np.linspace(y, y+dy, 2)zz = np.linspace(z, z+dz, 2)xx, yy = np.meshgrid(xx, yy)#ax.plot_surface(xx, yy, z)#ax.plot_surface(xx, yy, z+dz)yy, zz = np.meshgrid(yy, zz)ax.plot_surface(x, yy, zz)ax.plot_surface(x+dx, yy, zz)xx, zz = np.meshgrid(xx, zz)ax.plot_surface(xx, y, zz)ax.plot_surface(xx, y+dy, zz)# ax.set_xlim3d(-dx, dx*2, 20)# ax.set_xlim3d(-dx, dx*2, 20)# ax.set_xlim3d(-dx, dx*2, 20)def drawPyramid(height,steps, ax, printTitle):zFrom = 0V = 0for step in range(steps):width = steps-stepplot_opaque_cube(0 - width/2, 0 - width/2, zFrom, width,width,height, ax)V += width * width * heightzFrom += heightprint(printTitle + ' = ', V)def drawPyramid1(height,steps,ax, edgecolor, printTitle):# vertices of a pyramidwidth = steps - 0v = np.array([[0-width/2, 0-width/2, 0], [width/2, 0-width/2, 0], [width/2, width/2, 0],  [0-width/2, width/2, 0], [0, 0, height* steps]])ax.scatter3D(v[:, 0], v[:, 1], v[:, 2])# generate list of sides' polygons of our pyramidverts = [ [v[0],v[1],v[4]], [v[0],v[3],v[4]],[v[2],v[1],v[4]], [v[2],v[3],v[4]], [v[0],v[1],v[2],v[3]]]# plot sidesax.add_collection3d(Poly3DCollection(verts, facecolors='gray', linewidths=1, edgecolors=edgecolor, alpha=.25))        V = width * width * height* steps / 3print(printTitle + ' = ', V)# 调整视角
ax.view_init(elev=20,    # 仰角azim=40    # 方位角)drawPyramid1(1,10, ax, 'r', 'n*n*n/3')
drawPyramid(1, 10, ax, '1 + 2*2 + ... + n*n')
drawPyramid1(1,11, ax, 'g', '(n+1)*(n+1)*(n+1)')
# 显示图形
plt.show()

​

 

接上面公式：

面积= (这里的重点是考虑一个无限分层的金字塔体积相当于一个4棱锥的体积，因此累加项可化简）

不等式：

所以面积：

=

这里老师引入了求和符号

于是面积 ：

2、 f(x) = x ,a = 0, b 任意

from sympy import *
import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(1, 1, 1)
ax.spines['left'].set_position('zero')
ax.spines['bottom'].set_position('zero')
ax.spines['right'].set_color('none')
ax.spines['top'].set_color('none')
ax.xaxis.set_ticks_position('bottom')
ax.yaxis.set_ticks_position('left')
ax.set_aspect(1 ) def DrawXY(xFrom,xTo,steps,expr,color,label,plt):yarr = []xarr = np.linspace(xFrom ,xTo, steps) for xval in xarr:yval = expr.subs(x,xval)yarr.append(yval)y_nparr = np.array(yarr) plt.plot(xarr, y_nparr, c=color, label=label)    def DrawRects(xFrom,xTo,steps,expr,color,plt):width = (xTo - xFrom)/stepsxarrRect = []yarrRect = []area = 0xprev = xFromfor step in range(steps):yval = expr.subs(x,xprev + width)xarrRect.append(xprev)xarrRect.append(xprev)xarrRect.append(xprev + width)xarrRect.append(xprev + width)xarrRect.append(xprev)yarrRect.append(0)yarrRect.append(yval)yarrRect.append(yval)yarrRect.append(0)yarrRect.append(0)area += width * yvalplt.plot(xarrRect, yarrRect, c=color)    xprev= xprev + widthprint('width =', width)print('area=',area)def TangentLine(exprY,x0Val,xVal):diffExpr = diff(exprY)x1,y1,xo,yo = symbols('x1 y1 xo yo')expr = (y1-yo)/(x1-xo) - diffExpr.subs(x,x0Val)eq = expr.subs(xo,x0Val).subs(x1,xVal).subs(yo,exprY.subs(x,x0Val))eq1 = Eq(eq,0)solveY = solve(eq1)return xVal,solveYdef DrawTangentLine(exprY, x0Val,xVal1, xVal2, clr, txt):x1,y1 = TangentLine(exprY, x0Val, xVal1)x2,y2 = TangentLine(exprY, x0Val, xVal2)plt.plot([x1,x2],[y1,y2], color = clr, label=txt)def Newton(expr, x0):ret = x0 - expr.subs(x, x0)/ expr.diff().subs(x,x0)return retx = symbols('x')
expr = xDrawXY(0,5,100,expr,'blue','',plt)
DrawRects(0,5,10,expr,'green',plt)
#plt.legend(loc='lower right')
plt.show()

 

​

 

可以看到每个长方形的底边为 b/n, 高为 b/n, 2b/n...

所以面积 :

老师的计算是直接给出三角形的计算公式 width * height / 2

所以面积 :

3、f(x) = 1 ,a = 0, b 任意

面积 :

x = symbols('x')
expr = x**0DrawXY(0,5,100,expr,'blue','',plt)
DrawRects(0,5,10,expr,'green',plt)
#plt.legend(loc='lower right')
plt.show()

 

​

 

这里老师总结了定积分的模式

​

 

猜测：

检查：

x = symbols('x')
expr = x**3
b = 1
n = 100
DrawXY(0,b,80,expr,'blue','',plt)
DrawRects(0,b,n,expr,'green',plt)
area1 = b / 4
print ('area1 = b**4/4 = ' , area1 )
#plt.legend(loc='lower right')
plt.show()

 

​

 

我们可以看到当n设为100时结果接近猜测值， 当n越大时，结果应该越接近0.25。

x = symbols('x')
expr = x**3
b = 1
n = 300
DrawXY(0,b,80,expr,'blue','',plt)
DrawRects(0,b,n,expr,'green',plt)
area1 = b / 4
print ('area1 = b**4/4 = ' , area1 )
#plt.legend(loc='lower right')
plt.show()

 

​

 

可以看到当n取300时，结果确实更接近0.25

三、定积分的符号（黎曼和）

1、求解定积分的通常的步骤

 

把所有这些间隔处的函数值累加起来就是面积（定积分的值）

(前者是黎曼和，当趋近于0时就变成了后者的莱布尼茨的极限求值)

积分可以表达为累积和

设时间 t (yr), 有 t 的函数f(t) ($/yr)表达借钱率（每天借多少钱），假设每天都借钱，因此有

在第45天借了钱，借了多少钱呢 ？用这个式子计算  ($)

所有如果要计算整年借到的钱,则用以下公式

（注意这个t的单位是年）

利息采用复利，那年末欠银行多少钱呢？

利率是r(可以是0.05/yr )，P（借到本金）经过时间Ｔ，欠下的钱是

一年欠多少钱？