正题

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题目大意

一个节点的权值定义为它度数的平方，求所有$n$个点的有标号森林的所有节点权值和。

$1\le n,T\le 5\times 10^3$

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解题思路

首先因为所有节点本质相同，所以我们可以只考虑一个节点所有情况下的权值和。

然后考虑这个平方和怎么做，我们可以视为指定一个节点连出两颗子树的方案（可以相同）。

那么考虑这个怎么做，首先我们需要处理出$n$个节点有根树和无根树的数组$r,f$。

然后我们要考虑怎么统计除了指定子树以外的方案，首先我们需要处理出$n$个点的森林个数$s_n$。

我们可以考虑每次枚举新加入的树的大小，但是要指定这个节点编号最小的节点编号必须是$1$（以防相同的子树算重），那么有
$$s_n=\sum _{i=1}^n{s}_{n-i}{f}_i\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{i-1}\right)$$
然后还要算上非指定的子树中和$1$号点联通的其他节点的方案，那么有
$$g_n=\sum _{i=0}^n{s}_i{r}_{i+1}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)$$
至于指定子树的话，我们枚举指定子树的大小转移就好了。

时间复杂度：$O(n^2+T)$

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=5100;
ll T,P,C[N][N],f[N],r[N],g[N],s[N],d[N],ans[N];
ll power(ll x,ll b){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*x%P;x=x*x%P;b>>=1;}return ans;
}
signed main()
{freopen("forest.in","r",stdin);freopen("forest.out","w",stdout);scanf("%lld%lld",&T,&P);C[0][0]=1;for(ll i=1;i<N;i++)for(ll j=0;j<=i;j++)C[i][j]=(C[i-1][j]+(j?C[i-1][j-1]:0))%P;f[0]=f[1]=r[0]=r[1]=g[0]=s[0]=1;for(ll i=2;i<N;i++) f[i]=power(i,i-2),r[i]=f[i]*i%P;for(ll i=1;i<N;i++)for(ll j=0;j<i;j++)(s[i]+=s[j]*f[i-j]%P*C[i-1][j]%P)%=P;for(ll i=1;i<N;i++){for(ll j=0;j<=i;j++)(g[i]+=s[j]*f[i-j+1]%P*C[i][j]%P)%=P;for(ll j=1;j<i;j++)(ans[i]+=r[j]*g[i-j-1]%P*C[i-1][j]%P)%=P;}for(ll i=1;i<N;i++){d[i]=ans[i+1];
//		for(ll j=1;j<=i;j++)
//			(d[i]+=r[j]*g[i-j]%P*C[i][j]%P)%=P;for(ll j=1;j<i-1;j++)(ans[i]+=d[j]*r[i-j-1]%P*C[i-1][j]%P)%=P;}while(T--){ll n;scanf("%lld",&n);printf("%lld\n",ans[n]*n%P);}return 0;
}