线性代数拾遗(6)—— 向量空间投影与投影矩阵
- 参考:麻省理工线性代数
- 阅读本文前请先了解矩阵四个基本子空间,参考:线性代数拾遗(5) —— 矩阵的四个基本子空间
文章目录
- 1. 向量投影到二维空间
- 2. 向量投影到多维空间
- 2.1 计算方法
- 2.2 意义
1. 向量投影到二维空间
-
考察二维平面投影,如下将向量 b\pmb{b}bbb 投影到向量 a\pmb{a}aaa 方向,得到 a\pmb{a}aaa 的子空间中的向量 p\pmb{p}ppp,假设是 a\pmb{a}aaa 的 xxx 倍
如图可见 b−p\pmb{b-p}b−pb−pb−p 可以衡量 a,b\pmb{a,b}a,ba,ba,b 间的误差,它与向量 a\pmb{a}aaa 正交,內积为 0,即有
a⊤(b−p)=a⊤(b−xa)=0⇒x=a⊤ba⊤a⇒p=ax=aa⊤ba⊤a=(aa⊤a⊤a)b\begin{aligned} &\space\space\space\space\space\space\pmb{a^\top}(\pmb{b-p}) = \pmb{a^\top}(\pmb{b}-x\pmb{a}) = \pmb{0}\\ &\Rightarrow x = \frac{\pmb{a^\top b}}{\pmb{a^\top a}} \\ &\Rightarrow \pmb{p} = \pmb{a}x = \pmb{a} \frac{\pmb{a^\top b}}{\pmb{a^\top a}} = ( \frac{\pmb{aa^\top }}{\pmb{a^\top a}}) \pmb{b} \end{aligned} a⊤a⊤a⊤(b−pb−pb−p)=a⊤a⊤a⊤(bbb−xaaa)=000⇒x=a⊤aa⊤aa⊤aa⊤ba⊤ba⊤b⇒ppp=aaax=aaaa⊤aa⊤aa⊤aa⊤ba⊤ba⊤b=(a⊤aa⊤aa⊤aaa⊤aa⊤aa⊤)bbb 这时,我们把 aa⊤a⊤a\frac{\mathbf{aa^\top }}{\mathbf{a^\top a}}a⊤aaa⊤ 称为投影矩阵
,记为 P\pmb{P}PPP,用它左乘原始向量 b\pmb{b}bbb 就得到投影向量 p\pmb{p}ppp,即 Pb=p\pmb{Pb} = \pmb{p}PbPbPb=ppp -
两种特殊情况
- 若 b\pmb{b}bbb 和 a\pmb{a}aaa 平行,有 Pb=b\pmb{Pb} = \pmb{b}PbPbPb=bbb
- 若 b\pmb{b}bbb 和 a\pmb{a}aaa 正交,有 Pb=0\pmb{Pb} = \pmb{0}PbPbPb=000
二维空间中,平行和正交于向量 a\pmb{a}aaa 的两个向量构成一组基,可以线性表出任意向量,投影本质就是保留平行部分而消除正交部分
-
研究投影矩阵 P=aa⊤a⊤a\pmb{P}=\frac{\mathbf{aa^\top }}{\mathbf{a^\top a}}PPP=a⊤aaa⊤ 性质
- 分子 a⊤a\mathbf{a^\top a}a⊤a 是向量內积,是个常数,不管它
- 分子 aa⊤\mathbf{aa^\top }aa⊤,这是个矩阵,显然有 rank(A)=1\text{rank}(\pmb{A})=1rank(AAA)=1,其列空间就是 kak\pmb{a}kaaa,因此用投影矩阵左乘向量会把向量变换到其列空间 kak\pmb{a}kaaa 中,实现投影
注:用矩阵左乘一个向量时,相当于对这个矩阵的列向量做线性组合,得到的向量位于矩阵的列空间中
- aa⊤\mathbf{aa^\top }aa⊤ 对称,所以 p\pmb{p}ppp 是对称矩阵,P=P⊤\pmb{P} = \pmb{P^\top}PPP=P⊤P⊤P⊤
- 重复投影两次,结果不变,即有 P2=P\pmb{P}^2 = \pmb{P}PPP2=PPP
这个也可以简单地展开计算验证
2. 向量投影到多维空间
2.1 计算方法
-
完全和第 1 节中二维情况完全类似,现有矩阵 A\pmb{A}AAA,将向量 b\pmb{b}bbb 投影到 A\pmb{A}AAA 列向量 a1,a2,...,an\pmb{a}_1,\pmb{a}_2,...,\pmb{a}_naaa1,aaa2,...,aaan 张成的空间中得到 p\pmb{p}ppp。三维情况示意图如下
可见这时仍有 e=b−p\pmb{e} = \pmb{b-p}eee=b−pb−pb−p 可以衡量 b\pmb{b}bbb 和 A\pmb{A}AAA 列空间间的误差,我们希望希望二者正交(也就是希望误差最小化),这意味着 b\pmb{b}bbb 与 A\pmb{A}AAA 的所有列向量正交,內积均为 0;另一方面,这时 p\pmb{p}ppp 在 A\pmb{A}AAA 列空间中,故能用 A\pmb{A}AAA 的列向量线性表示,设 p=Ax^\pmb{p}=\pmb{A\hat{x}}ppp=Ax^Ax^Ax^,则有
[a1⊤a2⊤⋮am⊤](b−p)=[a1⊤a2⊤⋮am⊤](b−Ax^)=[00⋮0]⇒A⊤(b−Ax^)=0⇒x^=(A⊤A)−1A⊤b⇒p=Ax^=A(A⊤A)−1A⊤b\begin{aligned} &\space\space\space\space\begin{bmatrix} \pmb{a_1}^\top \\ \pmb{a_2}^\top \\ \vdots\\ \pmb{a_m}^\top \end{bmatrix} (\pmb{b-p}) = \begin{bmatrix} \pmb{a_1}^\top \\ \pmb{a_2}^\top \\ \vdots\\ \pmb{a_m}^\top \end{bmatrix} (\pmb{b-\pmb{A\hat{x}}}) = \begin{bmatrix} \pmb{0}\\ \pmb{0} \\ \vdots\\ \pmb{0} \end{bmatrix} \\ &\Rightarrow \pmb{A^\top}(\pmb{b-\pmb{A}\hat{x}}) = \pmb{0}\\ &\Rightarrow \pmb{\hat{x}} = (\pmb{A^\top A})^{-1}\pmb{A^\top b} \\ &\Rightarrow \pmb{p} = \pmb{A\hat{x}} = \pmb{A}(\pmb{A^\top A})^{-1}\pmb{A^\top b} \end{aligned} ⎣⎢⎢⎢⎡a1a1a1⊤a2a2a2⊤⋮amamam⊤⎦⎥⎥⎥⎤(b−pb−pb−p)=⎣⎢⎢⎢⎡a1a1a1⊤a2a2a2⊤⋮amamam⊤⎦⎥⎥⎥⎤(b−Ax^Ax^Ax^b−Ax^Ax^Ax^b−Ax^Ax^Ax^)=⎣⎢⎢⎢⎡000000⋮000⎦⎥⎥⎥⎤⇒A⊤A⊤A⊤(b−AAAx^b−AAAx^b−AAAx^)=000⇒x^x^x^=(A⊤AA⊤AA⊤A)−1A⊤bA⊤bA⊤b⇒ppp=Ax^Ax^Ax^=AAA(A⊤AA⊤AA⊤A)−1A⊤bA⊤bA⊤b 这时,我们把 A(A⊤A)−1A⊤\pmb{A}(\pmb{A^\top A})^{-1}\pmb{A^\top}AAA(A⊤AA⊤AA⊤A)−1A⊤A⊤A⊤ 称为投影矩阵
,记为 P\pmb{P}PPP,用它左乘原始向量 b\pmb{b}bbb 就得到投影向量 p\pmb{p}ppp,即 Pb=p\pmb{Pb} = \pmb{p}PbPbPb=ppp。 -
两种特殊情况
- 若 b∈C(A)\pmb{b} \in C(\pmb{A})bbb∈C(AAA),有 Pb=b\pmb{Pb} = \pmb{b}PbPbPb=bbb
这时 b=Ax\pmb{b} = \pmb{Ax}bbb=AxAxAx 是 A\pmb{A}AAA 的线性组合,有 Pb=A(A⊤A)−1A⊤Ax=Ax=b\pmb{Pb} = \pmb{A}(\pmb{A^\top A})^{-1}\pmb{A^\top Ax }= \pmb{Ax}=\pmb{b}PbPbPb=AAA(A⊤AA⊤AA⊤A)−1A⊤AxA⊤AxA⊤Ax=AxAxAx=bbb
- 若 b⊥C(A)\pmb{b} \perp C(\pmb{A})bbb⊥C(AAA),即 b∈N(A⊤)\pmb{b} \in N(\pmb{A^\top})bbb∈N(A⊤A⊤A⊤),有 Pb=0\pmb{Pb} = \pmb{0}PbPbPb=000
这时 A⊤b=0\pmb{A^\top b} = \pmb{0}A⊤bA⊤bA⊤b=000,有 Pb=A(A⊤A)−1A⊤x=0\pmb{Pb} = \pmb{A}(\pmb{A^\top A})^{-1}\pmb{A^\top x }= \pmb{0}PbPbPb=AAA(A⊤AA⊤AA⊤A)−1A⊤xA⊤xA⊤x=000
mmm 维(A\pmb{A}AAA 列向量尺寸)空间可以分解为 C(A)C(\pmb{A})C(AAA) 和 N(A⊤)N(\pmb{A^\top})N(A⊤A⊤A⊤) 的正交直和,因此这两个空间的基放在一起就构成 mmm 维空间的一组基,可以线性表出任意向量,投影本质就是保留 C(A)C(\pmb{A})C(AAA) 中部分而消除 N(A⊤)N(\pmb{A^\top})N(A⊤A⊤A⊤) 中部分,可以用子空间关系图如下表示
如图可见,除了上述投影 Pb=p\pmb{Pb=p}Pb=pPb=pPb=p 把 b\pmb{b}bbb 投影到 C(A)C(\pmb{A})C(AAA) 中以外,还有另一个投影 (I−P)b=e(\pmb{I-P})\pmb{b} = \pmb{e}(I−PI−PI−P)bbb=eee 将 b\pmb{b}bbb 投影到 N(A⊤)N(\pmb{A^\top})N(A⊤A⊤A⊤) 中,可见当 P\pmb{P}PPP 是投影矩阵时,I−P\pmb{I-P}I−PI−PI−P 也是一个投影矩阵 - 若 b∈C(A)\pmb{b} \in C(\pmb{A})bbb∈C(AAA),有 Pb=b\pmb{Pb} = \pmb{b}PbPbPb=bbb
-
研究投影矩阵 P=A(A⊤A)−1A⊤\pmb{P}=\pmb{A}(\pmb{A^\top A})^{-1}\pmb{A^\top}PPP=AAA(A⊤AA⊤AA⊤A)−1A⊤A⊤A⊤ 性质
- 当 A\pmb{A}AAA 非方阵时,A\pmb{A}AAA 列满秩 ⇔A⊤A\Leftrightarrow \pmb{A^\top A}⇔A⊤AA⊤AA⊤A 可逆,
- 当 A\pmb{A}AAA 是可逆方阵时,其中的括号可以打开,这时有 P=I\pmb{P}=\pmb{I}PPP=III,即投影矩阵做的是恒等映射。确实如此,因为 A\pmb{A}AAA 可逆,意味着列满秩,其列空间是整个 nnn 维空间,投影前后都在同一个空间中,那么恒等映射显然是误差最小的
- 简单计算即可得到 P\pmb{P}PPP 是对称矩阵,即有 P=P⊤\pmb{P} = \pmb{P^\top}PPP=P⊤P⊤P⊤
- 重复投影两次,结果不变,即有 P2=P\pmb{P}^2 = \pmb{P}PPP2=PPP,也可从代数角度简单计算验证
- P\pmb{P}PPP 是投影矩阵时,I−P\pmb{I-P}I−PI−PI−P 也是一个投影矩阵
2.2 意义
- 现实生活中常有这样的应用:根据一些测量值求解另一些值,比如根据卫星与几个基站的通讯延时测量其位置。这其实就是在解方程,通常一组观测值解出一个结果,为了提高准确性,通常会收集很多数据,这样就联立到得到方程组 Ax=b\pmb{Ax} = \pmb{b}AxAxAx=bbb一般情况下样本量远大于未知数个数,即 Am×n\pmb{A}_{m\times n}AAAm×n 中 m>>nm>>nm>>n,这样的超定方程很难有解析解,除非其中含有多达 m−nm-nm−n 个无效约束,因为我们没法对非方阵的 A\pmb{A}AAA 求逆来得到 x=A−1b\pmb{x} = \pmb{A}^{-1}\pmb{b}xxx=AAA−1bbb
- 这时我们可以不断地去除方程,直到剩下的方程组有解为止,但这会造成数据浪费。另一种更好的方法是找一个和已知数据 “误差最小” 的解,设这个近似解为 x^\pmb{\hat{x}}x^x^x^,我们有
Ax^=p\pmb{A\hat{x}} = \pmb{p} Ax^Ax^Ax^=ppp 第 1 节中已分析过,我们这时是通过矩阵 A\pmb{A}AAA 左乘,把向量 x^\pmb{\hat{x}}x^x^x^ 变换到了 A\pmb{A}AAA 的列空间中得到 p\pmb{p}ppp,为了保证 “误差最小” ,这时 p\pmb{p}ppp 应当是 b\pmb{b}bbb 在 A\pmb{A}AAA 列空间中的投影 - 一句话说,可以利用空间投影估计无解线性方程组的最小误差解,基于这个原理可以得到最小二乘法
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2024/4/25 18:39:14 - 氧生福地 玩美北湖(下)——奔跑吧骚年!
原标题:氧生福地 玩美北湖(下)——奔跑吧骚年!让我们红尘做伴 活得潇潇洒洒 策马奔腾共享人世繁华 对酒当歌唱出心中喜悦 轰轰烈烈把握青春年华 让我们红尘做伴 活得潇潇洒洒 策马奔腾共享人世繁华 对酒当歌唱出心中喜悦 轰轰烈烈把握青春年华 啊……啊……啊 两…...
2024/4/26 23:04:58 - 扒开伪装医用面膜,翻六倍价格宰客,小姐姐注意了!
原标题:扒开伪装医用面膜,翻六倍价格宰客,小姐姐注意了!扒开伪装医用面膜,翻六倍价格宰客!当行业里的某一品项火爆了,就会有很多商家蹭热度,装逼忽悠,最近火爆朋友圈的医用面膜,被沾上了污点,到底怎么回事呢? “比普通面膜安全、效果好!痘痘、痘印、敏感肌都能用…...
2024/4/27 23:24:42 - 「发现」铁皮石斛仙草之神奇功效用于医用面膜
原标题:「发现」铁皮石斛仙草之神奇功效用于医用面膜丽彦妆铁皮石斛医用面膜|石斛多糖无菌修护补水贴19大优势: 1、铁皮石斛:自唐宋以来,一直被列为皇室贡品,铁皮石斛生于海拔1600米的悬崖峭壁之上,繁殖力差,产量极低,所以古代仅供皇室、贵族享用 2、铁皮石斛自古民间…...
2024/4/28 5:48:52 - 丽彦妆\医用面膜\冷敷贴轻奢医学护肤引导者
原标题:丽彦妆\医用面膜\冷敷贴轻奢医学护肤引导者【公司简介】 广州华彬企业隶属香港华彬集团有限公司,专注美业21年,其旗下品牌: 「圣茵美」私密荷尔蒙抗衰,产后修复 「圣仪轩」私密荷尔蒙抗衰,产后修复 「花茵莳」私密荷尔蒙抗衰,产后修复 「丽彦妆」专注医学护…...
2024/4/30 9:42:22 - 广州械字号面膜生产厂家OEM/ODM4项须知!
原标题:广州械字号面膜生产厂家OEM/ODM4项须知!广州械字号面膜生产厂家OEM/ODM流程及注意事项解读: 械字号医用面膜,其实在我国并没有严格的定义,通常我们说的医美面膜指的应该是一种「医用敷料」,也就是说,医用面膜其实算作「医疗器械」的一种,又称「医用冷敷贴」。 …...
2024/4/30 9:43:22 - 械字号医用眼膜缓解用眼过度到底有无作用?
原标题:械字号医用眼膜缓解用眼过度到底有无作用?医用眼膜/械字号眼膜/医用冷敷眼贴 凝胶层为亲水高分子材料,含70%以上的水分。体表皮肤温度传导到本产品的凝胶层,热量被凝胶内水分子吸收,通过水分的蒸发带走大量的热量,可迅速地降低体表皮肤局部温度,减轻局部皮肤的灼…...
2024/4/30 9:42:49 - 配置失败还原请勿关闭计算机,电脑开机屏幕上面显示,配置失败还原更改 请勿关闭计算机 开不了机 这个问题怎么办...
解析如下:1、长按电脑电源键直至关机,然后再按一次电源健重启电脑,按F8健进入安全模式2、安全模式下进入Windows系统桌面后,按住“winR”打开运行窗口,输入“services.msc”打开服务设置3、在服务界面,选中…...
2022/11/19 21:17:18 - 错误使用 reshape要执行 RESHAPE,请勿更改元素数目。
%读入6幅图像(每一幅图像的大小是564*564) f1 imread(WashingtonDC_Band1_564.tif); subplot(3,2,1),imshow(f1); f2 imread(WashingtonDC_Band2_564.tif); subplot(3,2,2),imshow(f2); f3 imread(WashingtonDC_Band3_564.tif); subplot(3,2,3),imsho…...
2022/11/19 21:17:16 - 配置 已完成 请勿关闭计算机,win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机...
win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机”问题的解决方法在win7系统关机时如果有升级系统的或者其他需要会直接进入一个 等待界面,在等待界面中我们需要等待操作结束才能关机,虽然这比较麻烦,但是对系统进行配置和升级…...
2022/11/19 21:17:15 - 台式电脑显示配置100%请勿关闭计算机,“准备配置windows 请勿关闭计算机”的解决方法...
有不少用户在重装Win7系统或更新系统后会遇到“准备配置windows,请勿关闭计算机”的提示,要过很久才能进入系统,有的用户甚至几个小时也无法进入,下面就教大家这个问题的解决方法。第一种方法:我们首先在左下角的“开始…...
2022/11/19 21:17:14 - win7 正在配置 请勿关闭计算机,怎么办Win7开机显示正在配置Windows Update请勿关机...
置信有很多用户都跟小编一样遇到过这样的问题,电脑时发现开机屏幕显现“正在配置Windows Update,请勿关机”(如下图所示),而且还需求等大约5分钟才干进入系统。这是怎样回事呢?一切都是正常操作的,为什么开时机呈现“正…...
2022/11/19 21:17:13 - 准备配置windows 请勿关闭计算机 蓝屏,Win7开机总是出现提示“配置Windows请勿关机”...
Win7系统开机启动时总是出现“配置Windows请勿关机”的提示,没过几秒后电脑自动重启,每次开机都这样无法进入系统,此时碰到这种现象的用户就可以使用以下5种方法解决问题。方法一:开机按下F8,在出现的Windows高级启动选…...
2022/11/19 21:17:12 - 准备windows请勿关闭计算机要多久,windows10系统提示正在准备windows请勿关闭计算机怎么办...
有不少windows10系统用户反映说碰到这样一个情况,就是电脑提示正在准备windows请勿关闭计算机,碰到这样的问题该怎么解决呢,现在小编就给大家分享一下windows10系统提示正在准备windows请勿关闭计算机的具体第一种方法:1、2、依次…...
2022/11/19 21:17:11 - 配置 已完成 请勿关闭计算机,win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机”的解决方法...
今天和大家分享一下win7系统重装了Win7旗舰版系统后,每次关机的时候桌面上都会显示一个“配置Windows Update的界面,提示请勿关闭计算机”,每次停留好几分钟才能正常关机,导致什么情况引起的呢?出现配置Windows Update…...
2022/11/19 21:17:10 - 电脑桌面一直是清理请关闭计算机,windows7一直卡在清理 请勿关闭计算机-win7清理请勿关机,win7配置更新35%不动...
只能是等着,别无他法。说是卡着如果你看硬盘灯应该在读写。如果从 Win 10 无法正常回滚,只能是考虑备份数据后重装系统了。解决来方案一:管理员运行cmd:net stop WuAuServcd %windir%ren SoftwareDistribution SDoldnet start WuA…...
2022/11/19 21:17:09 - 计算机配置更新不起,电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?
原标题:电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?win7系统中在开机与关闭的时候总是显示“配置windows update请勿关闭计算机”相信有不少朋友都曾遇到过一次两次还能忍但经常遇到就叫人感到心烦了遇到这种问题怎么办呢?一般的方…...
2022/11/19 21:17:08 - 计算机正在配置无法关机,关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机...
关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!关机提示 windows7 正在配…...
2022/11/19 21:17:05 - 钉钉提示请勿通过开发者调试模式_钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用...
钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用 更新时间:2020-04-20 22:24:19 浏览次数:729次 区域: 南阳 > 卧龙 列举网提醒您:为保障您的权益,请不要提前支付任何费用! 虚拟位置外设器!!轨迹模拟&虚拟位置外设神器 专业用于:钉钉,外勤365,红圈通,企业微信和…...
2022/11/19 21:17:05 - 配置失败还原请勿关闭计算机怎么办,win7系统出现“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”,长时间没反应,无法进入系统的解决方案...
前几天班里有位学生电脑(windows 7系统)出问题了,具体表现是开机时一直停留在“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”这个界面,长时间没反应,无法进入系统。这个问题原来帮其他同学也解决过,网上搜了不少资料&#x…...
2022/11/19 21:17:04 - 一个电脑无法关闭计算机你应该怎么办,电脑显示“清理请勿关闭计算机”怎么办?...
本文为你提供了3个有效解决电脑显示“清理请勿关闭计算机”问题的方法,并在最后教给你1种保护系统安全的好方法,一起来看看!电脑出现“清理请勿关闭计算机”在Windows 7(SP1)和Windows Server 2008 R2 SP1中,添加了1个新功能在“磁…...
2022/11/19 21:17:03 - 请勿关闭计算机还原更改要多久,电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机怎么办...
许多用户在长期不使用电脑的时候,开启电脑发现电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机。。.这要怎么办呢?下面小编就带着大家一起看看吧!如果能够正常进入系统,建议您暂时移…...
2022/11/19 21:17:02 - 还原更改请勿关闭计算机 要多久,配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以...
配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机&#x…...
2022/11/19 21:17:01 - 电脑配置中请勿关闭计算机怎么办,准备配置windows请勿关闭计算机一直显示怎么办【图解】...
不知道大家有没有遇到过这样的一个问题,就是我们的win7系统在关机的时候,总是喜欢显示“准备配置windows,请勿关机”这样的一个页面,没有什么大碍,但是如果一直等着的话就要两个小时甚至更久都关不了机,非常…...
2022/11/19 21:17:00 - 正在准备配置请勿关闭计算机,正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了解决教程...
当电脑出现正在准备配置windows请勿关闭计算机时,一般是您正对windows进行升级,但是这个要是长时间没有反应,我们不能再傻等下去了。可能是电脑出了别的问题了,来看看教程的说法。正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了方法一…...
2022/11/19 21:16:59 - 配置失败还原请勿关闭计算机,配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机...
我们使用电脑的过程中有时会遇到这种情况,当我们打开电脑之后,发现一直停留在一个界面:“配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机”,等了许久还是无法进入系统。如果我们遇到此类问题应该如何解决呢࿰…...
2022/11/19 21:16:58 - 如何在iPhone上关闭“请勿打扰”
Apple’s “Do Not Disturb While Driving” is a potentially lifesaving iPhone feature, but it doesn’t always turn on automatically at the appropriate time. For example, you might be a passenger in a moving car, but your iPhone may think you’re the one dri…...
2022/11/19 21:16:57