1 简介
PCA（Principal Component Analysis）是一种常用的数据分析方法。PCA 通过线性变换将原始数据变换为一组各维度线性无关的表示，可用于提取数据的主要特征分量，常用于高维数据的降维。

2 算法思路
简述一下 PCA 的算法步骤：

设有n条d 维数据。

1将原始数据按列组成 d 行 n 列矩阵 X
2将 X 每一列（代表一个属性）进行零均值化，即减去这一列的均值
3求出协方差矩阵
4求出协方差矩阵的特征值及对应的特征向量
5将特征向量按对应特征值大小从上到下按行排列成矩阵，取前 k行组成矩阵P
6Y=PX即为降维到k 维后的数据
3 实现代码
以下是基于 python 的 numpy 库实现的 PCA 算法代码，实现数据降维的功能。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import pandas as pddef loadDataSet(filename):df = pd.read_table(filename, sep='\t')return np.array(df)def showData(dataMat, reconMat):fig = plt.figure()ax = fig.add_subplot(111)ax.scatter(dataMat[:, 0], dataMat[:, 1], c='green')ax.scatter(np.array(reconMat[:, 0]), reconMat[:, 1], c='red')plt.show()def pca(dataMat, topNfeat=999999):# 1.对所有样本进行中心化（所有样本属性减去属性的平均值）meanVals = np.mean(dataMat, axis=0)meanRemoved = dataMat - meanVals# 2.计算样本的协方差矩阵 XXTcovmat = np.cov(meanRemoved, rowvar=0)print(covmat)# 3.对协方差矩阵做特征值分解，求得其特征值和特征向量，并将特征值从大到小排序，筛选出前topNfeat个eigVals, eigVects = np.linalg.eig(np.mat(covmat))eigValInd = np.argsort(eigVals)eigValInd = eigValInd[:-(topNfeat+1):-1]    # 取前topNfeat大的特征值的索引redEigVects = eigVects[:, eigValInd]        # 取前topNfeat大的特征值所对应的特征向量# 4.将数据转换到新的低维空间中lowDDataMat = meanRemoved * redEigVects     # 降维之后的数据reconMat = (lowDDataMat * redEigVects.T) + meanVals # 重构数据，可在原数据维度下进行对比查看return np.array(lowDDataMat), np.array(reconMat)dataMat = loadDataSet('./data/testSet.txt')
lowDDataMat, reconMat = pca(dataMat, 1)
#showData(dataMat, lowDDataMat)
showData(dataMat, reconMat)
print(lowDDataMat)

4 一些对 PCA 的认知
PCA 本质上是将方差最大的方向作为主要特征，并且在各个正交方向上将数据“离相关”，也就是让它们在不同正交方向上没有相关性。

因此，PCA 也存在一些限制，例如它可以很好的解除线性相关，但是对于高阶相关性就没有办法了，对于存在高阶相关性的数据，可以考虑Kernel PCA，通过 Kernel 函数将非线性相关转为线性相关。另外，PCA 假设数据各主特征是分布在正交方向上，如果在非正交方向上存在几个方差较大的方向，PCA 的效果就大打折扣了。

最后需要说明的是，PCA 是一种无参数技术，也就是说面对同样的数据，如果不考虑清洗，谁来做结果都一样，没有主观参数的介入，所以 PCA 便于通用实现，但是本身无法个性化的优化。