什么是枚举
枚举算法是一种经典的暴力算法，是通过遍历所有候选答案以找到正确的解的问题解决策略；

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枚举的基本框架
1.给出解空间
建立数学模型，确立候选答案的范围，从数学的角度说：就是给出可能解的集合，这是最关键的一步，确立正确的解空间是应用枚举算法的前提。
2.找到枚举的具体方法
在确立了正确的解空间后，还要知道怎么枚举才能找到正确的答案。
对于不同的问题，枚举的具体方法很可能是不同的。

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枚举的种类
1.循环枚举
通过数层循环来达到穷举解空间里的解，找到正确的答案，是最基本的枚举算法

例：
求小于 N 的最大素数

纯暴力：

int n,i,j;
scanf("%d",&n);
for(i=n-1;i>=2;i--)
{for(j=2;j<=i-1;j++)if(i%j==0) break;if(j==i) {printf("%d",i);break;}
}

优化版
 

​
int n,i,j;
scanf("%d",&n);
for(i=n-1;i>=2;i--)
{for(j=2;j*j<=i;j++)if(i%j==0) break;if(j*j>i) {printf("%d",i);break;}
}​

2.子集枚举
解决可化归为集合的子集问题的题目；

原理分析：
当题目中出现的数据体现出子集的性质后，我们将子集中的中出现的元素用1代替，补集中的元素用0代替；

举个栗子：给定一个集合A{1,2,3,4,5},其中子集A1{1,3,4,5},A2{1,4,5},A3{3},A4{2,3}就可以这样表示

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∗(1)其实集合是有无序性的,但是按顺序来“编码”,不会破坏一般性；

∗(2)这里的“编码”规则是，二进制第n位与array[n]对应，尽管顺序相反程序也会“不重复”，“不遗漏”遍历解答树，但是会破坏二进制原有的顺序。
 

A中元素	1∗(1)	2	3	4	5	二进制∗(2)	十进制
在A1中的情况	1	0	1	1	1	11101	29
在A2中的情况	1	0	0	1	1	11001	25
在A3中的情况	0	0	1	0	0	00100	4
在A4中的情况	0	1	1	0	0	00110	6

集合与二进制：
1.并集：
从元素选择角度，A2和A3包含的元素合并起来就能得到A1。而分析A1的二进制值就是A2和A3的二进制，对应的每一位都按Or运算计算就得到的——这不就是C++中的按位或运算吗？即A1=A2∪A3等价于a1=a2|a3。

2.交集：
交集就是两个集合共有的元素组成的。在逻辑上交集上就含有"与"的意思。类比并集，求交集就等价于按位与运算，A1=A2∩A3⟺a1=a2&a3。

3.包含：
集合A2的元素都在A1中出现，说明A1包含A2。而在高中阶段我们知A_1道了，若A2⊂A1，则有A1∪A2=A1以及A1∩A2=A2，所以判断A2是否⊂A1，可以构造表达式(a1|a2==a1)&&(a1&a2==a2)，值为真，命题成立。

4.属于：
属于是指某个元素是否在集合内，可以看作包含的特殊情况——只需检查单独某项元素构成的集合是否是另一个集合的子集，则先用左移位运算构造出只有某一个元素的集合，然后和原集合取交，如果是空集则命题为真，在这个例子里，如果要判断第三个元素是否属于A1,就可以构造表达式1<<(3−1)&a1,表达式值为真，则命题为真。

5.补集：
补集是指全集去除某个集合后剩下的元素组成的集合。由上启发，我们可以使用按位异或运算来表示一个集合对于全集的补集，在这个例子里A2的补集A3=A⊕A2,即a3=a^a2。而根据二进制的运算规则也可以这么计算a3=a−a2。

总结：1.从上可以发现二进制和集合的密切关系。2.但是如果要用二进制来模拟集合运算，一定要确定一个全集，在子集间做运算，而全集一般可以从题目中提炼出。

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例:
已知 n个整数 x1,x2,…,xn，以及1个整数k(k<n)。从n个整数中任选k个整数相加，可分别得到一系列的和。例如当 n=4,k=3，4个整数分别为3,7,12,19时，可得全部的组合与它们的和为：
3+7+12=22
3+7+19=29
7+12+19=38
3+12+19=34
现在，要求你计算出和为素数共有多少种。

例如上例，只有一种的和为素数：3+7+19=29。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 1000001;
int sum2[N],ans2=0;
LL powme(LL sum){LL res=1,a=2;while(sum>0){if(sum&1) res*=a;a*=a;sum>>=1;}return res;
}//手打的快速幂，这段代码其实可以直接用pow(2,n)或(1<<n)代替;
bool pd(int sum){if(sum==1) return 0;if(sum==2) return 1;int i,s=sqrt(double(sum));for(i=2;i<=s;i++){if(sum%i==0) break;}if(i>s) return 1;else return 0;
}//判断是否为素数函数
void tobarr (int n,int k){for(int i=1;i<=powme(n)-1;i++){int b=i,m=1,ans=0,f=0;while(b>0){if(b&1) {ans+=sum2[m];f++;//转换进制的同时,计算和,并且统计子集中的数有几个b>>=1;m++;}if(f==k&&pd(ans)) ans2++;}
}
int main(){int n,k;scanf("%d%d",&n,&k);for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&sum2[i]);tobarr(n,k);printf("%d",ans2);return 0;
}

例2：
排列与组合是常用的数学方法，其中组合就是从n个元素中抽出r个元素(不分顺序且r≤n)，我们可以简单地将n个元素理解为自然数1,2,…,n从中任取r个数。

现要求你输出所有组合。

例如n=5,r=3,所有组合为：

123,124,125,134,135,145,234,235,245,345

分析：

这种题目背景我称之为全组合问题，这一题的难点就是字典序输出，

比如，从0枚举到25−1的二进制，有三个1的二进制所对应的组合按照出现顺序，则是如下：

123,124,134,234,125,135,235,145,245,345

并没有按照字典序。

但将样例数据和样例答案的二进制分别列举出来：

00111，01011，01101，01110，10011，10101，10110，11001，11010，11100

00111，01011，10011，01101，10101，11001，01110，10110，11010，11100

就惊喜地发现这两组数刚好左右对称相反。而要将上面的数变为下面的数可以分两步进行：
1.将二进制从小到大枚举变为从大到小枚举。
2.将每个二进制都左右对称翻转。

for(int S=(1<<n)-1;S>=0;S--)//二进制从大到小枚举{int cnt = 0;for(int i=n-1;i>=0;i--)//顺序点1if(S & (1<<i))a[cnt++]=n-i;//顺序点2if(cnt==r){for(int i=0;i<r;i++)//顺序点3printf("%3d",a[i]);puts("");}
}

 *而这到题的程序实现也很有趣，根据顺序点的不同组合会出现6种实现。

时间复杂度 O(2n)，很大，已经不属于多项式复杂度了，1秒的timelimit，n的范围大概 20−30。

3.排列枚举
在这里只介绍STL的简便方法，使用algorithm标准库中的内建函数 next_permutation(start,end) ，它可以生成在[start,end)内存的数组中产生严格的下一个字典序排列,并返回true，如果没有下一个排列，就返回 flase。

例
题目描述：

将 1,2,…,9 共 9 个数分成三组，分别组成三个三位数，且使这三个三位数的比例是 A:B:C，试求出所有满足条件的三个三位数，若无解，输出 No!!!。

分析：循环next_permutation(start,end)，直至生成 1−9 的全排列，每次构造数的时候，将排列切割成三段就行。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
int a[10];int main(){for(int i=1;i<=9;i++)a[i] = i;LL A,B,C,x,y,z,cnt=0;scanf("%lld%lld%lld",&A,&B,&C);do{x = a[1]*100 + a[2]*10 + a[3];y = a[4]*100 + a[5]*10 + a[6];z = a[7]*100 + a[8]*10 + a[9];if (x*B == y*A && y*C == z*B) printf("%lld %lld lld\n",x,y,z),cnt++;}while (next_permutation(a+1,a+10));if(!cnt) puts("No!!!");return 0;
}

时间复杂度：是O(n!)，比O(2n)更大，在1秒的timelimit下，n的范围大概是11以下。

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枚举的优化
例1:
一个数组中的数互不相同，求其中和为0的有序数对的个数

1.纯暴力：

int n,ans=0;
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&sum[i]);
for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)if(sum[i]+sum[j]==0 && i!=j) ans++;
printf("%d",ans);

2.优化一：

在算法一中中用for(i)和for(j)枚举了数对,如果数据中有(ai,aj)符合答案，那么(aj,ai)也是答案，总答案个数就是(ai,aj)个数的两倍，所以在枚举的过程中只要确定(ai,aj)的个数，乘2就行了

int i,j,n,ans=0;
scanf("%d",&n);
for(i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&sum[i]);
for(i=1;i<=n;i++)for(j=i+1;j<=n;j++)//j>i,确保(sum[i],sum[j])是正序的if(sum[i]+sum[j]==0)ans++;
printf("%d",ans*2);

 

3.优化二

再进一步挖解题目内部的条件，可以继续优化：
1.题目中说互不相同的数相加为零，那么只有可能为互为相反数了。
2.根据1的推断，进一步的就是想到用桶来标记：

先是想到如果sum出现，那么就将a[-sum]标记上。当-sum出现时，判定a[-sum],发现-sum有配对，那么计数器就可以加1了。
但是C++中数组不能有负数下标，那么就将桶的大小扩大为a[MAXN*2]（MAXN为数的绝对值上界），那么原来的0就映射为MAXN。

程序实现就如下：

bool a[MAXN*2]//乘2是为了避免负数下标
memset(a,0,sizeof(a));    
for(int i=1;i<=n;i++)
{if(a[MAXN+sum[i]]) ans++;a[MAXN-sum[i]]=1;
}

方法的核心原理就是利用问题的对称性，使用标记的方法，减少了不必要的枚举。

例2：

1.简单暴力法：

int i,j,k,MAXsum=-9999999,n;
scanf("%d",&n);
for(i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
for(i=1;i<=n;++i)for(j=i;j<=n;++j) {int Thissum=0;for(k=i;k<=j;k++)Thissum+=a[k];if(MAXsum<Thissum) MAXsum=Thissum;}
printf("%d",MAXsum);

  2.优化一：

在这里，我们可以发现原算法的第二重循环的下面，用了一重循环计算f(i,j)=∑jk=iak，但其实计算序列是同一个的，那么当i都是一样的话，f(i,j)=f(i,j−1)+aj,f(i,j−1)的部分就不用重复计算了，直接用上一层循环的结果加上aj就行，可以自己举个栗子看看。

int i,j,k,Thissum=0,MAXsum=-9999999,n;
scanf("%d",&n);
for(i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
for(i=1;i<=n;++i) {Thissum=0;for(j=i;j<=n;++j) {Thissum+=a[j];if(MAXsum<Thissum) MAXsum=Thissum;}
}
printf("%d",MAXsum);

优化二

int i,j,MAXsum=-9999999,n;
scanf("%d",&n);
for(i=1;i<=n;i++){scanf("%d",&a[i]);per[i]=per[i-1]+a[i];}
for(i=1;i<=n;++i)for(j=i;j<=n;++j) {if(MAXsum<per[j]-per[i-1]) MAXsum=per[j]-per[i-1];}
printf("%d",MAXsum);

优化1的方法是将重复的环节继续利用，而优化2是一维前缀和，就是预处理，将一部分原来枚举循环中重复的操作提到循环外面来。两者都是以减少枚举量，达到优化效果。

3.其实更优秀的算法的时间复杂度O(nlogn)算法3的核心思想是分而治之，即分治法,在分治法章节会详细讲解这个例子。
4.最优算法比算法3更好理解，但证明就比较繁琐。算法叫做在线处理，核心是贪心算法。时间复杂度甚至达到了线性，O(n)。

int max=0,ans=0;
for (int i=1;i<=n;i++)
{ans+=a[i];//累加器if(max<ans) max=ans; //更新答案else if (ans<0)//如果当前子列和小于0,这一段,只会使后面的答案更小ans=0;//所以就丢弃
}

 关于上面代码的实现，一定要写成if(max<ans)else if(ans<0)的形式，不能写成if(max<ans) if(ans<0)或者if(ans<0) if(max<ans)，原因是未考虑最大子列和小于0的情况。

这个贪心算法的正确性，以后我会在贪心章节再提起。

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枚举总结
我们常说的枚举指的是枚举算法，但是算法体现的思想，更加影响深远。

有很多算法本质上其实就是枚举的思想，或者是在枚举的基础上通过改进演变出来。

而很多解题策略也将枚举作为基本的操作出现。