【二项式定理】【组合数学】【二进制】Divan and bitwise operations
二项式定理前置知识
二项式系数相关性质:
- 对称性:Cnm=Cnn−mC_n^m = C_n^{n-m}Cnm=Cnn−m
- 增减性与最大值:二项式系数前半部分逐渐增大,后半部分逐渐减小,中间取最大值。
最大值max={Cnn2Cnn−12=Cnn+12max=\begin{cases} C_n^{\frac{n}{2}} \\ C_n^{\frac{n-1}{2}}=C_n^{\frac{n+1}{2}}\end{cases}max={Cn2nCn2n−1=Cn2n+1 - 二项式系数之和:Cn1+Cn2+Cn3+...+Cnn−1+Cnn=2nC_n^1+C_n^2+C_n^3+...+C_n^{n-1}+C_n^n=2^nCn1+Cn2+Cn3+...+Cnn−1+Cnn=2n
- 二项式奇数项系数之和等于偶数项系数之和,即
Cn1+Cn3+Cn5+...=Cn2+Cn4+Cn6+...=2n−1C_n^1+C_n^3+C_n^5+...=C_n^2+C_n^4+C_n^6+...=2^{n-1}Cn1+Cn3+Cn5+...=Cn2+Cn4+Cn6+...=2n−1
题目链接
https://codeforces.com/problemset/problem/1614/C
给定一个序列一些子区间的 所有元素的 或 值,求出原序列所有子序列异或值的和
- 如果整个序列构造出来,如何求子序列的异或和?
思路:按位考虑求每一位对答案的贡献
子序列的话,可以考虑排列组合的方法求所有情况的贡献。
设第i
位为1
的数字有k
个,则为0
的数有n-k
个。异或值只有奇数个1
才会产生贡献,所以从k
个1
中选择奇数个。而剩下的0
可以随便选择,情况为2n−k2^{n-k}2n−k。
产生的贡献为w={2i−1∗(Ck1+Ck3+...+Ckk−1)∗2n−k,k为偶数2i−1∗(Ck1+Ck3+...+Ckk−1)∗2n−k,k为奇数w =\begin{cases}2^{i-1}*(C^1_k+C^3_k+...+C^{k-1}_k)*2^{n-k},k为偶数\\2^{i-1}*(C^1_k+C^3_k+...+C^{k-1}_k)*2^{n-k} ,k为奇数\end{cases}w={2i−1∗(Ck1+Ck3+...+Ckk−1)∗2n−k,k为偶数2i−1∗(Ck1+Ck3+...+Ckk−1)∗2n−k,k为奇数
根据二项式定理得:w=2i−1∗2k−1∗2n−k=2i−1∗2n−1w=2^{i-1}*2^{k-1}*2^{n-k}=2^{i-1}*2^{n-1}w=2i−1∗2k−1∗2n−k=2i−1∗2n−1
可见: 只要该位中至少有一个数为1
,就会产生贡献,而且产生的贡献相同(只有对应的i
不同) - 所以构造序列就没有必要了。只需要对所有的区间或值或起来,得到最终的一个值,如果对应位为1,那么该位必然至少有一个
1
,就可以产生贡献。 - 计算:相同项保留,只有
i
不同,这一项所有的相加,就是该位为1时对应的二进制值相加,这一个项所有相加的结果为 所有值的或。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod = 1e9+7,N = 2e5+5;
typedef long long ll;int n,m;
ll fact[N];void solve()
{int l,r,x;cin>>n>>m; ll res = 0;while(m--){cin>>l>>r>>x;res |= x;}cout<<res * fact[n-1] % mod<<endl;
}
int main()
{int t;cin>>t;fact[0] = 1;for(int i=1;i<N;i++) fact[i] = fact[i-1]*2%mod;while(t--) solve();return 0;}
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钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用 更新时间:2020-04-20 22:24:19 浏览次数:729次 区域: 南阳 > 卧龙 列举网提醒您:为保障您的权益,请不要提前支付任何费用! 虚拟位置外设器!!轨迹模拟&虚拟位置外设神器 专业用于:钉钉,外勤365,红圈通,企业微信和…...
2022/11/19 21:17:05 - 配置失败还原请勿关闭计算机怎么办,win7系统出现“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”,长时间没反应,无法进入系统的解决方案...
前几天班里有位学生电脑(windows 7系统)出问题了,具体表现是开机时一直停留在“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”这个界面,长时间没反应,无法进入系统。这个问题原来帮其他同学也解决过,网上搜了不少资料&#x…...
2022/11/19 21:17:04 - 一个电脑无法关闭计算机你应该怎么办,电脑显示“清理请勿关闭计算机”怎么办?...
本文为你提供了3个有效解决电脑显示“清理请勿关闭计算机”问题的方法,并在最后教给你1种保护系统安全的好方法,一起来看看!电脑出现“清理请勿关闭计算机”在Windows 7(SP1)和Windows Server 2008 R2 SP1中,添加了1个新功能在“磁…...
2022/11/19 21:17:03 - 请勿关闭计算机还原更改要多久,电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机怎么办...
许多用户在长期不使用电脑的时候,开启电脑发现电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机。。.这要怎么办呢?下面小编就带着大家一起看看吧!如果能够正常进入系统,建议您暂时移…...
2022/11/19 21:17:02 - 还原更改请勿关闭计算机 要多久,配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以...
配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机&#x…...
2022/11/19 21:17:01 - 电脑配置中请勿关闭计算机怎么办,准备配置windows请勿关闭计算机一直显示怎么办【图解】...
不知道大家有没有遇到过这样的一个问题,就是我们的win7系统在关机的时候,总是喜欢显示“准备配置windows,请勿关机”这样的一个页面,没有什么大碍,但是如果一直等着的话就要两个小时甚至更久都关不了机,非常…...
2022/11/19 21:17:00 - 正在准备配置请勿关闭计算机,正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了解决教程...
当电脑出现正在准备配置windows请勿关闭计算机时,一般是您正对windows进行升级,但是这个要是长时间没有反应,我们不能再傻等下去了。可能是电脑出了别的问题了,来看看教程的说法。正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了方法一…...
2022/11/19 21:16:59 - 配置失败还原请勿关闭计算机,配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机...
我们使用电脑的过程中有时会遇到这种情况,当我们打开电脑之后,发现一直停留在一个界面:“配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机”,等了许久还是无法进入系统。如果我们遇到此类问题应该如何解决呢࿰…...
2022/11/19 21:16:58 - 如何在iPhone上关闭“请勿打扰”
Apple’s “Do Not Disturb While Driving” is a potentially lifesaving iPhone feature, but it doesn’t always turn on automatically at the appropriate time. For example, you might be a passenger in a moving car, but your iPhone may think you’re the one dri…...
2022/11/19 21:16:57