【数论】——同余

定义

• 若存在整数 a.b，除以 m 的余数相同，则称 a，b mod m 同余，记为：
  $$a\equiv b(modm)$$

同余系 & 剩余系

1. 同余系：对区间 [1,m-1], 集合 {a+km} 的所有数 mod m，余数都是 a，称集合为一个 mod m 的同余类，记做：$\overline{a}$。
2. 剩余系：mod m 的同余类有 m 个：
   $$\overline{0},\overline{1}...\overline{m-1}$$
   构成 m 的完全剩余系；
   [1,m] 中与 m 互质的数代表的同余类有：$\varphi (m)$ 个，构成 m 的简化剩余系。

• 简化剩余系关于 mod m 乘法封闭：
  任取其中 a，b 与 m 互质，则 a*b 也与 m 互质（反证法证明）。

扩展欧几里得

• 对于任意整数 a，b，存在一对整数 x，y，有：
  $$a\ast x+b\ast y=\gcd (a,b)$$

证明

1. 若 b = 0，则当：
   $$x=1,y=0$$
   公式成立。
2. 若 b>0, 根据欧几里得算法：
   $$\gcd (a,b)=\gcd (b,amodb)$$
   此时不妨假设存在：$x_0,y_0$ 使得
   $$b\ast x_0+(amodb)\ast y_0=\gcd (b,amodb)$$
   对 $(amodb)$ 展开有：
   $$amodb=a-b\ast [\frac{a}{b}]$$
   代入有：
   $$b\ast x_0+(a-b\ast [\frac{a}{b}])\ast y_0=\gcd (b,amodb)$$
   分理出 x，y：
   $$a\ast y_0+b\ast (x_0-[\frac{a}{b}]\ast y_0)=\gcd (b,amodb)=\gcd (a,b)$$
   令，$x^{\prime }=y_0,y^{\prime }=x_0-[\frac{a}{b}]\ast y_0$, 代入上式：
   $$a\ast x^{\prime }+b\ast y^{\prime }=\gcd (a,b)$$
   通过以上方式，可以运用数学归纳法，得证扩展欧几里得。

代码实现

• 在欧几里得的基础上，传入 x，y，运用：
  $$x^{\prime }=y,y^{\prime }=x-[\frac{a}{b}]\ast y$$
  即可递推得的到系数 x，y。
• 代码

int extend_gcd(int a, int b, int& x, int& y)// 函数返回 a，最大公约数
{if (!b) {x = 1, y = 0;return a;}int d = gcd(b, a % b, x, y);int t = x;// 临时记录 x// 利用：x'= y,y' = x-[a/b]*yx = y;y = t - y * (a / b);return d;
}

线性同余方程

定义

• 对于整数 a，b，m，满足：
  $$a\ast x\equiv b(modm)$$
  求整数 x（有解或无解）。由于未知数最高次为 1，因此又被称为一次同余方程。

求解

• 由定义式易知：$a\ast x-b$ 是 m 的倍数，不妨设商为 $-y$
  对定义式去模运算：
  $$a\ast x+m\ast y=b$$
  则原方程的解等价于求满足上式的 x 的值。
• 方程有解等价于：
  $$b\mid gcd(a,m)$$
• 因此可以借助扩展欧几里得进行求解

代码

int solve(int a, int m, int& x, int& y)
{if (!m) {x = 1, y = 0;return a;}int d = solve(m, a % m, x, y);int t = x;y = x;x = t - (a / m) * y;return d;
}
bool check(int m,int d)
{return m % d == 0;}
void answer(int a,int m)
{int x, y;int d = solve(a, m, x, y);int answer;if (check(m, d))answer = (x % m + m) % m;elseputs("impossible");
}

线性同余方程组

定义

• 对于 n 对模数与被模数 $a_i,m_i$, 有：
  $$x\equiv a_1(mod{m}_1)$$
  $$x\equiv a_2(mod{m}_2)$$
  $$...$$
  $$x\equiv a_n(mod{m}_n)$$

求解

1. 中国剩余定理
   设 $m,M_i$ 为 $$m=\prod _{i=1}^n{m}_i$$
   $$M_i=\frac{m}{m_i}$$
   若 $m_i$ 之间两两互质，设 $t_i$ 为：（$M_i^{-1}$）
   $$M_i\ast t_i\equiv 1(mod{m}_i)$$
   解 $x$ 为：
   $$x=\sum _{i=1}^n{a}_i\cdot M_i\cdot t_i$$

• 证明——（来自 李煜东 《算法竞赛进阶指南》）
  

2. m 不满足互余下的通解

• 取出前两个式子：
  $$x\equiv a_1(mod{m}_1)$$
  $$x\equiv a_2(mod{m}_2)$$
  去模处理：
  $$x=k_1\ast a_1+m_1$$
  $$x=k_2\ast a_2+m_2$$
  联立并化简：
  $$k_1\ast a_1-k_2\ast a_2=m_2-m_1$$
  根据扩展欧几里得, 求解 $k_1,k_2$
  不定方程 $x=k_1\ast a_1+m_1$ 的解为：
  $$x=(k_1+k\frac{a_1}{gcd(a_1,a_2)})\ast a_1+m_1$$
  化简：
  $$x=a_1\ast k_1+m_1+k\ast lcm(a_1,a_2)$$
  令 $m=a_1\ast k_1+m_1,a=lcm(a_1,a_2)$
  $$x=k\ast a+m$$
  因此方程组中所有式子两两合并，n-1 次后最终可以化为一个形如 $x=k\ast a^{\prime }+m^{\prime }$ 的等式。
  最终求解：
  $$xmod{a}^{\prime }\equiv m^{\prime }$$
  中 x 的解，等价于：$mmoda$的最小正整数。
• 代码

typedef long long LL;
LL exgcd(LL a, LL b, LL& x, LL& y)
{if (!b) {x = 1, y = 0;return a;}LL d = exgcd(b, a % b, x, y);LL t = x;x = y;y = t - (a / b) * y;return d;
}
LL mod(LL a, LL b)
{return ((a % b) + b) % b;
}
int main()
{int n;scanf("%d", &n);LL a, m;bool flag = true;scanf("%lld%lld", &a, &m);//先读入第一个式子n--;//读入剩余的并合并while (n--) {LL a0, m0;scanf("%lld%lld", &a0, &m0);LL k1, k2;LL d = exgcd(a, -a0, k1, k2);if ((m0 - m) % d) {//如果同余方程无解flag = false;break;}k1 = mod(k1 * (m0 - m) / d, abs(a0 / d));//防止溢出m = a * k1 + m;//合并后的m = a*k1+ma = abs(a / d * a0);//合并后的a = lcm(a,a0）}if (flag)printf("%lld", mod(m, a));elseputs("-1");return 0;
}