质数

质数基本性质

概念

• 对于一正整数 a，如果 a 的因数有且仅有 1 和 a，则称 a 为质数（素数），否则称 a 为合数。

质数定理

• 在整个自然数集合中，质数分布相对稀疏，对于一个足够大的数 N，[1,N] 中所有的质数个数为：
  $$CountOfPrimes=\frac{N}{\ln N}$$

质数的判定

试除法

• 模版题AcWing 866. 试除法判定质数
  枚举 [2,x] 所有整数，如果 x%i == 0 则 x 不是质数。

• 优化
  容易发现，合数 x 的因数总是成对出现，并且关于 $\sqrt{x}$ 对称，因此只将枚举区间缩小至 [2,$\sqrt{x}$] 即可，每次判断 x 是否为质数时间复杂度为严格 O($\sqrt{x}$)。

• 代码

bool is_prime(int x)
{if (x <= 1)return false;/*这里建议写 i<=x/i原因：1）写 sqrt(x)，要调用 <cmath> 的函数，太慢、2）写 i*i<=x, 如果 i 过大会溢出。*/for (int i = 2; i <= x / i; i++) {if (x % i == 0)return false;}return true;
}

质数的筛选

• 模版题AcWing 868. 筛质数

埃氏筛法

• 对于任意 x，其倍数 2x，3x… 必然不是质数， 从 2 开始扫描所有小于 N 的数，如果当前数为质数，筛除其小于等于 N 的所有倍数。直到筛去 [1,N] 中的所有质数的倍数，就可以筛去区间内所有合数。

• 优化：
  由于对于数字 6，会被 2，3 各筛一遍，因此若当前数 x 为质数，小于 x^2 的所有合数已经之前的质数筛去了，只需要筛除 [$x^2$, [$\frac{N}{x}$] ] 的所有 x 的倍数即可。

• 筛除图解——（来自 李煜东 《算法竞赛进阶指南》）
  

• 复杂度分析
  每次将 x 的倍数筛除，需要计算：
  $$cnt=\frac{N}{2}+\frac{N}{3}+...+\frac{N}{N-1}+\frac{N}{N}$$

$$cnt=N\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{N-1}+\frac{1}{N}\right)$$
此式为 调和级数：
$$cnt=\ln N+C$$
因此复杂度为：O($n\cdot \log \left(\ln n\right)$)。

• 代码

bool st[N]; // 表示是（true）否被筛
int primes[N], cnt = 0; //primes 存储所有质数，cnt 表示当前质数个数
void Eratosthenes(int n)
{for (int i = 2; i <= n; i++) {if (st[i])continue;primes[++cnt] = i; // 如果没被筛过，就是质数for (int j = i; j <= n / i; j++) // 从 x^2 开始筛去 x 的倍数st[j * i] = true;}
}

线性筛法

• 上述从 $x^2$ 开始还是会重复筛除，eg：12 ，被 2，3，6 重复标记，因此需要对产生 12 的方式进行固定，只让其被筛除一次以达到线性复杂度 （O(n)）。

• 线性筛法，是将一个数 x，只使 x 被其的最小质因数筛除，eg：12 仅被 2 筛除。

• 实现方式：
  在埃式筛法的基础上，每次扫描不大于 $\frac{n}{i}$ 的所有质数，将 st[primes[j] * i ] = true 筛除。

• 筛除图解——（来自 李煜东 《算法竞赛进阶指南》）!
  

• 代码

bool st[N]; // 表示是（true）否被筛
int primes[N], cnt = 0; //primes 存储所有质数，cnt 表示当前质数个数
void get_primes(int n)
{for (int i = 2; i <= n; i++) {if (!st[i])primes[++cnt] = i; // 如果没被筛过，就是质数for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j++){if (i % primes[j] == 0) // 如果可以整除，则存在比当前更小的 prime 可以筛去 i，退出break;st[primes[j] * i] = true; //primes[j] 是 primes[j] * i 的最小质因子}}
}