ARIMA模型建模的基本条件是要求待预测的数列满足平稳的条件，即个体值要围绕序列均值上下波动，不能有明显的上升或下降趋势，如果出现上升或下降趋势，需要对原始序列进行差分平稳化处理。

数据平稳性与差分

平稳性就是要求经由样本时间序列所得到的拟合曲线，在未来的一段期间内仍然能顺着现有的形态"惯性"地延续下去。

平稳性要求序列的均值和方差不随时间发生明显变化。

严平稳：表示随机变量的分布不随时间的改变而改变，比如：白噪声（正态），无论怎么取值，期望都是0，方差都是1。

弱平稳：期望与相关系数（依赖性）不变，未来某时刻的$t$的值$X_t$依赖于过去的信息。

一阶差分法：时间序列在$t$与$t-1$时刻的差值。

二阶差分则是一阶差分的差分。

ARIMA模型

首先，了解自回归模型AR；

AR描述当前值与历史值之间的关系，用变量自身的历史时间数据对自身进行预测，自回归模型必须满足平稳性要求，$p$阶自回归模型的公式定义为：$$y_t=\mu +\sum _{i=1}^p{\gamma }_i{y}_{t-i}+e_t$$其中，$y_t$是当前值，$\mu$是常数项，$p$是阶数，${\gamma }_i$是自相关系数，$e_t$是误差。

自回归模型通常要求数据具有自相关性，如果自相关性太小，则不适合采用。

然后了解移动平均模型MA；

移动平均模型关注的是自回归模型中的误差项的累加，移动平均可以消除预测中的随机波动，$q$阶的公式定义为：$$y_t=\mu +e_t+\sum _{i=1}^q{\theta }_i{e}_{t-i}$$我们结合AR和MA得到模型ARMA，即自回归移动平均模型：$$y_t=\mu +\sum _{i=1}^p{\gamma }_i{y}_{t-i}+e_t+\sum _{i=1}^q{\theta }_i{e}_{t-i}$$ARIMA模型则是在ARMA的基础上增加了数据的差分处理，全称ARIMA(p,d,q)，即差分自回归移动平均模型，p为自回归项数，d为时间序列成为平稳序列所需的差分次数，q为移动平均项数。

ARIMA的原理是将非平稳时间序列差分转化为平稳时间序列后，将因变量对输出的滞后值与误差的滞后值进行回归建模。

相关性函数

首先，我们了解自相关函数ACF；

ACF为有序的随机变量序列与其自身相比较，自相关函数反映了同一序列在不同时序的取值之间的相关性，公式为：$$ACF(k)={\rho }_k=\frac{Cov(y_t,y_{t-k})}{Var(y_t)}$$其中，${\rho }_k$的取值在$[-1,1]$，-1和1分别代表负相关和正相关，注意，正负相关都是相关，越接近0才代表越不相关。

虚线表示置信区间，举例，95%的置信区间表示，假设当前有100个数据，至少有95个是符合我们定义的逻辑。横轴lag表示阶数$k$。

偏自相关函数PACF：对于自相关系数，实际得到的并不是单纯的$y_t$和$y_{t-k}$之间的相关关系，$y_t$同时会受到中间$k-1$个随机变量$y_{t-1},...,y_{t-k+1}$的影响，这$k-1$个随机变量又都和$y_{t-k}$具有相关关系，因此PACF是严格的$y_t$与$y_{t-k}$之间的相关性度量。

参数p,d,q的确定与模型检验

d为差分的次数，d通常不超过2，p和q参数由下表的规则确定：

模型	ACF	PACF
$AR(p)$	-	p阶后截尾
$MA(q)$	q阶后截尾	-

其中，截尾表示落在置信区间内的阶数（通常是95%置信区间）。

比如：

比如上图，应该选择p=2，q=10。

在确定p，d，q三个参数后，我们对$\mu ,\gamma ,\theta$进行学习，学习的方式是灵活的，比如以MSE为损失进行梯度下降。

对于模型检验；

我们将模型得到的输出数据与真实值进行求差操作（计算残差），并进行白噪声检验，如果残差序列是白噪声序列，就说明时间序列中有用的信息已经被提取完毕了，剩下的全是随机扰动，是无法预测和使用的，残差序列如果通过了白噪声检验，则建模就可以终止了，因为没有信息可以继续提取。如果残差不是白噪声，就说明残差中还有有用的信息，需要修改模型或者进一步提取。