一文让你轻松写出递归(Recursion)
递归
- 关于
- 递归是什么
- 递归有什么用
- 递归构成
- 递归的使用条件
- 如何使用递归
- 如何找递推关系?
- 递归时间复杂度分析
关于
递归是什么
简单说, 函数自己调用自己就叫递归
递归有什么用
简化代码: 只需少量代码就可描述出解题过程
简化问题: 把一个大型复杂问题转化为一个比原问题规模更小的子问题, 到子问题无需再次递归为止
递归构成
递归基例(递归出口)(bottom cases):最基本的情况, 递归到这种情况时, 不需要进一步的递归, 程序调用完成, 返回
递推关系(recurrentce relation):一个问题的结果与其子问题的结果之间的关系
递归的使用条件
1. 可以通过递归调用来缩小问题规模,且新问题与原问题有着相同的形式
2. 存在一种简单情境,可以使递归在简单情境下退出
下面举一个简单的例子来演示:
假如我们要计算m的n(n>0)次幂, 即mn
显然, 下面的式子成立 (递推关系):
mn=m×m×m×...×mm ^ n = m\times m\times m \times ...\times m mn=m×m×m×...×m
m×mn−1=m×m×m×...×mm \times m ^ {n-1} =m\times m\times m\times ...\times m m×mn−1=m×m×m×...×m
显然, 当n=1的时候 (递归出口)
m1=mm ^ 1=m m1=m
/*** 输入底数和指数计算幂* * @param m 底数* @param n 指数* @return m^n*/public static int pow(int m, int n) {if (n == 1) // 递归出口return m;return m * pow(m, n - 1); // 递推关系}
如何使用递归
写出递归最关键的就是找出递推关系和递归出口
递归出口往往是显而易见的, 就是那些最基本的情况, 比如n=0或n=1时的情况
比较复杂的是如何找出递推关系
如何找递推关系?
回顾上个计算幂的例子, 其中的递推关系是:
m×mn−1=m×m×m×...×mm \times m ^ {n-1} =m\times m\times m\times ...\times m m×mn−1=m×m×m×...×m
所以,代码中:
m * pow(m, n - 1);
可见, 在写递归代码的时候, 我们不需要考虑 n-1或n+1需要做什么, 只需要指定当前的n需要做什么
下面举一个著名的递归例子:
汉诺塔(Hanoi),有A, B, C三根柱子和若干块大小不同的圆盘
现在, 把圆盘从下面开始按大小顺序重新摆放在另一根柱子上(从A移到C)。并且规定,在小圆盘上不能放大圆盘,在三根柱子之间一次只能移动一个圆盘
这个问题该如何思考呢?
我们先想只有一个圆盘的情况(递归基例):
是不是直接把圆盘从A移到C就可以了😉
现在再想, A上有两个圆盘的情况:
1. 可以先把小的那个圆盘从A柱子移到B柱子上面: A->B
2. 再把较大的那个圆盘移到从A移到C上面: A->C
3. 然后把放在B上的那个圆盘放到C上: B->C
再想, A上有3个圆盘的情况(从上到下依次增大):
1. 把最上面的1移到C A->C
2. 把中间的2移到B A->B
3. 把C上的移到B C->B 此时我们已经把最后一个盘上面的所有盘移到了B
4. 把最下层的3移到C A->C
5. 把B上的1移到A B->A 相当于把两个盘从B移到C
6. 把B上的2移到C B->C
7. 把A上的1移到C A->C
我们观察上面两种情况, 不难发现步骤其实只有3步(假设有n个盘,从上到下编号1~n):
1. 把上面n-1个盘从A移到B
2. 把第n个盘从A移到C
3. 把n-1个盘从B移到C
也即
/*** 汉诺塔* * @param a 起始柱* @param b 辅助柱* @param c 目标柱* @param n 移动的次数*/public static void hannoi(char a, char b, char c, int n) {if (n == 1) {// 只有一个盘的情况System.out.println(a + " -> " + c);return;}hannoi(a, c, b, n - 1);// 把前n-1个从a->bSystem.out.println(a + " -> " + c);// 最后一个从a->channoi(b, a, c, n - 1);// 最后把前n-1个从b-c}
运行代码, 当n=10时, 需要移动 1023次
所以这种递归的问题, 在数据较大的时候, 用人脑去模拟势必会显得大脑不太够用
实际上在分析一个递归的问题时, 我们不需要跳进函数里面, 只需要指定这个函数的功能(如, 将圆盘从起始柱移到目标柱), 然后对当前的数据进行操作(如,System.out.println(a + " -> " + c); 第n个圆盘的起始柱和目标柱 )
应注意到, 递归调用函数的时候参数是在变化的:
起始柱, 目标柱, 辅助柱在变, 次数n也在变
找出递推关系的关键就是找到变化的量, 将它们作为参数传入函数
递归时间复杂度分析
就汉诺塔问题而言:
参数n代表问题的规模, 耗时用T(n)表示, 规模为n-1时的耗时为T(n-1)
当规模等于1时, 只需要移动一步即可, 耗时为O(1)
当规模大于1时, 先将n-1个圆盘从A移动到B, 耗时T(n-1)
将剩下的1个移动到C, 耗时O(1)
将B上的n-1个移动到C, 耗时T(n-1)
故:
T(n)={O(1),n=12T(n−1)+O(1),n>1T(n)=\begin{cases}O(1) ,n=1 \\2T(n-1)+O(1) ,n>1 \end{cases} T(n)={O(1),n=12T(n−1)+O(1),n>1
当n>1时: 令c=O(1)
T(n)=2T(n−1)+cT(n)=2T(n-1)+cT(n)=2T(n−1)+c
T(n)=2(2T(n−2)+c)+cT(n)=2(2T(n-2)+c)+cT(n)=2(2T(n−2)+c)+c
T(n)=2(2(2T(n−3)+c)+c)+cT(n)=2(2(2T(n-3)+c)+c)+cT(n)=2(2(2T(n−3)+c)+c)+c
T(n)=2n−1c+2n−1c−cT(n)=2^{n-1}c+2^{n-1}c-cT(n)=2n−1c+2n−1c−c
T(n)=2nc−cT(n)=2^nc-cT(n)=2nc−c
O(n)=2nO(n)=2^nO(n)=2n
所以如果要计算移动的次数, n个圆盘就需要移动2n-1次
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有不少windows10系统用户反映说碰到这样一个情况,就是电脑提示正在准备windows请勿关闭计算机,碰到这样的问题该怎么解决呢,现在小编就给大家分享一下windows10系统提示正在准备windows请勿关闭计算机的具体第一种方法:1、2、依次…...
2022/11/19 21:17:11 - 配置 已完成 请勿关闭计算机,win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机”的解决方法...
今天和大家分享一下win7系统重装了Win7旗舰版系统后,每次关机的时候桌面上都会显示一个“配置Windows Update的界面,提示请勿关闭计算机”,每次停留好几分钟才能正常关机,导致什么情况引起的呢?出现配置Windows Update…...
2022/11/19 21:17:10 - 电脑桌面一直是清理请关闭计算机,windows7一直卡在清理 请勿关闭计算机-win7清理请勿关机,win7配置更新35%不动...
只能是等着,别无他法。说是卡着如果你看硬盘灯应该在读写。如果从 Win 10 无法正常回滚,只能是考虑备份数据后重装系统了。解决来方案一:管理员运行cmd:net stop WuAuServcd %windir%ren SoftwareDistribution SDoldnet start WuA…...
2022/11/19 21:17:09 - 计算机配置更新不起,电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?
原标题:电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?win7系统中在开机与关闭的时候总是显示“配置windows update请勿关闭计算机”相信有不少朋友都曾遇到过一次两次还能忍但经常遇到就叫人感到心烦了遇到这种问题怎么办呢?一般的方…...
2022/11/19 21:17:08 - 计算机正在配置无法关机,关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机...
关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!关机提示 windows7 正在配…...
2022/11/19 21:17:05 - 钉钉提示请勿通过开发者调试模式_钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用...
钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用 更新时间:2020-04-20 22:24:19 浏览次数:729次 区域: 南阳 > 卧龙 列举网提醒您:为保障您的权益,请不要提前支付任何费用! 虚拟位置外设器!!轨迹模拟&虚拟位置外设神器 专业用于:钉钉,外勤365,红圈通,企业微信和…...
2022/11/19 21:17:05 - 配置失败还原请勿关闭计算机怎么办,win7系统出现“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”,长时间没反应,无法进入系统的解决方案...
前几天班里有位学生电脑(windows 7系统)出问题了,具体表现是开机时一直停留在“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”这个界面,长时间没反应,无法进入系统。这个问题原来帮其他同学也解决过,网上搜了不少资料&#x…...
2022/11/19 21:17:04 - 一个电脑无法关闭计算机你应该怎么办,电脑显示“清理请勿关闭计算机”怎么办?...
本文为你提供了3个有效解决电脑显示“清理请勿关闭计算机”问题的方法,并在最后教给你1种保护系统安全的好方法,一起来看看!电脑出现“清理请勿关闭计算机”在Windows 7(SP1)和Windows Server 2008 R2 SP1中,添加了1个新功能在“磁…...
2022/11/19 21:17:03 - 请勿关闭计算机还原更改要多久,电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机怎么办...
许多用户在长期不使用电脑的时候,开启电脑发现电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机。。.这要怎么办呢?下面小编就带着大家一起看看吧!如果能够正常进入系统,建议您暂时移…...
2022/11/19 21:17:02 - 还原更改请勿关闭计算机 要多久,配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以...
配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机&#x…...
2022/11/19 21:17:01 - 电脑配置中请勿关闭计算机怎么办,准备配置windows请勿关闭计算机一直显示怎么办【图解】...
不知道大家有没有遇到过这样的一个问题,就是我们的win7系统在关机的时候,总是喜欢显示“准备配置windows,请勿关机”这样的一个页面,没有什么大碍,但是如果一直等着的话就要两个小时甚至更久都关不了机,非常…...
2022/11/19 21:17:00 - 正在准备配置请勿关闭计算机,正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了解决教程...
当电脑出现正在准备配置windows请勿关闭计算机时,一般是您正对windows进行升级,但是这个要是长时间没有反应,我们不能再傻等下去了。可能是电脑出了别的问题了,来看看教程的说法。正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了方法一…...
2022/11/19 21:16:59 - 配置失败还原请勿关闭计算机,配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机...
我们使用电脑的过程中有时会遇到这种情况,当我们打开电脑之后,发现一直停留在一个界面:“配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机”,等了许久还是无法进入系统。如果我们遇到此类问题应该如何解决呢࿰…...
2022/11/19 21:16:58 - 如何在iPhone上关闭“请勿打扰”
Apple’s “Do Not Disturb While Driving” is a potentially lifesaving iPhone feature, but it doesn’t always turn on automatically at the appropriate time. For example, you might be a passenger in a moving car, but your iPhone may think you’re the one dri…...
2022/11/19 21:16:57