本文采用的定义在上一篇文章《【高等数学笔记】证明：闭包一定是闭集》中给出。

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首先是孤立点。
定义 若$a\in A$，但$a\notin A^{\prime }$，则称$a$为$A$的孤立点。
显然，根据定义，孤立点不是聚点，不属于$A$的导集，但属于$A$，因此属于$A$的闭包。

在上一篇文章我们介绍了

定理1 $a\in A^{\prime }⟺\forall \epsilon >0,\mathring{U}(a,\epsilon )\cap A\ne \varnothing$（$\varnothing$表示空集）。

取它的否命题：
推论 $a\notin A^{\prime }⟺\exists \epsilon >0,\mathring{U}(a,\epsilon )\cap A=\varnothing$。
定理4 孤立点不属于内部。
证明：设$a$是$A$的孤立点。假设$a\in A^{\circ }$，则$\exists \delta >0$使得$U(a,\delta )\subseteq A$。然而，$\exists \epsilon >0,\mathring{U}(a,\epsilon )\cap A=\varnothing$，分类讨论：
当$\delta \le \epsilon$时，$\mathring{U}(a,\delta )\subseteq \mathring{U}(a,\epsilon )$，则$\mathring{U}(a,\delta )\cap A=\varnothing$，$U(a,\delta )\subseteq A$显然不成立；
当$\delta >\epsilon$时，由$\mathring{U}(a,\epsilon )\cap A=\varnothing$知$\exists p\in \mathring{U}(a,\epsilon )$使得$p\notin A$，而$\mathring{U}(a,\epsilon )\subset U(a,\delta )$，所以$p\in U(a,\delta )$，故也不成立。
综上，孤立点不属于内部。证毕。
定义 设$a\in R^n$，$A\subseteq R^n$，若$\forall \delta >0$，$U(a,\delta )\cap A\ne \varnothing$，且$U(a,\delta )\cap A^C\ne \varnothing$，则$a$是$A$的边界点。$A$的所有边界点组成的集合称为$A$的边界，记作$\partial A$。
定义 设$A\subseteq R^n,a\in R^n$，若$\exists \delta >0$，使得$U(a,\delta )\cap A=\varnothing$，则称$a$是集合$A$的外点。由$A$的所有外点组成的集合称为$A$的外部，记作$\text{ext}A$。
定理5 $R^n=A^{\circ }\cup \partial A\cup \text{ext}A$。
证明：考察$U(a,\delta )$及内点、边界点、外点的定义即可。
定理6 孤立点是边界点。
证明：设$a$是$A$的孤立点。$\forall \delta >0$，$U(a,\delta )\cap A\ne \varnothing$显然满足，因此$a$不是外点。又由定理4知$a$不是内点，故$a$是边界点。

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下面讨论闭包。
引理1 $A\subseteq A^{\circ }\cup \partial A$。
证明：只需证$\forall a\in A$，$a\notin \text{ext}A$。而$\forall \delta >0$，$U(a,\delta )\cap A\ne \varnothing$，故$a\notin \text{ext}A$。证毕。
引理2 $A^{\circ }\subseteq A$。
证明：设$a\in A^{\circ }$，则$\exists \delta >0$，使得$U(a,\delta )\subseteq A$，而$a\in U(a,\delta )$，那么$a\in A$。证毕。
定理7 $\bar{A}=A^{\circ }\cup \partial A$。
证明：由定义，$\bar{A}=A\cup A^{\prime }$。所以需证$A\cup A^{\prime }=A^{\circ }\cup \partial A$。
先证$\bar{A}\subseteq A^{\circ }\cup \partial A$。由引理1，只需证$A^{\prime }\subseteq A^{\circ }\cup \partial A$。由定理1知，$a\in A^{\prime }⟺\forall \epsilon >0,\mathring{U}(a,\epsilon )\cap A\ne \varnothing$，故$\forall a\in A^{\prime }$，$a\notin \text{ext}A$，即$A^{\prime }\cap \text{ext}A=\varnothing$，所以$A^{\prime }\subseteq A^{\circ }\cup \partial A$，即$\bar{A}\subseteq A^{\circ }\cup \partial A$。
再证$A^{\circ }\cup \partial A\subseteq \bar{A}$。由引理2知$A^{\circ }\subseteq A$，故只需证$\partial A\subseteq \bar{A}$。设$a\in \partial A$，分类讨论：
(1) 当$a\in A$，显然有$a\in \bar{A}$；
(2) 当$a\notin A$，根据边界点的定义，$\forall \delta >0$，$U(a,\delta )\cap A\ne \varnothing$，结合$a\notin A$有$\mathring{U}(a,\delta )\cap A\ne \varnothing$，由定理1知$a\in A^{\prime }$。
证毕。