【OpenCV 完整例程】88. 频率域拉普拉斯高通滤波

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4.3 频率域拉普拉斯高通滤波

拉普拉斯算子（Laplace）是导数算子，会突出图像中的急剧灰度变化，抑制灰度缓慢变化区域，往往会产生暗色背景下的灰色边缘和不连续图像。将拉普拉斯图像与原图叠加，可以得到保留锐化效果的图像。

拉普拉斯算子（Laplace）是最简单的各向同性导数算子（卷积核）：
$$\begin{array}{rl}{\nabla }^{2}f& =\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}\\ \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}& =f(x+1,y)-2f(x,y)+f(x-1,y)\\ \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}& =f(x,y+1)-2f(x,y)+f(x,y-1)\\ {\nabla }^{2}f(x,y)& =f(x+1,y)+f(x-1,y)+f(x,y+1)+f(x,y-1)-4f(x,y)\end{array}$$

于是可以得到空间域拉普拉斯核 K1，考虑对角项后可以得到拉普拉斯核 K2。

$$K1=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& -4& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right],K2=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& -8& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right],K3=\left[\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ -1& 4& -1\\ 0& -1& 0\end{array}\right],K4=\left[\begin{array}{ccc}-1& -1& -1\\ -1& 8& -1\\ -1& -1& -1\end{array}\right]$$

在频率域中拉普拉斯算子可以用传递函数描述：

$$H(u,v)=-4{\pi }^2(u^2+v^2)$$
采用 D(u,v) 表示到频率中心的距离函数，可以进一步表示为：
$$H(u,v)=-4{\pi }^2[(u-P/2{)}^2+(v-Q/2{)}^2]=-4{\pi }^2{D}^2(u,v)$$

于是，

∇2f(x,y)=J−1{H(u,v)F(u,v)}g(x,y)=f(x,y)+c∇2f(x,y)=J−1{[1+4π2D2(u,v)]F(u,v)}\nabla ^2 f(x,y) = J^{-1} \{H(u,v) F(u,v)\}\\ g(x,y)= f(x,y) + c \nabla ^2 f(x,y) \\ = J^{-1} \{[1+4 \pi ^2 D^2(u,v)] F(u,v)\} ∇2f(x,y)=J−1{H(u,v)F(u,v)}g(x,y)=f(x,y)+c∇2f(x,y)=J−1{[1+4π2D2(u,v)]F(u,v)}

例程 8.27：频率域图像锐化（拉普拉斯算子）

# OpenCVdemo08.py
# Demo08 of OpenCV
# 8. 图像的频率域滤波
# Copyright 2021 Youcans, XUPT
# Crated：2021-12-30    # 8.27：频率域图像锐化（拉普拉斯算子）def LaplacianFilter(shape):  # 频域 Laplacian 滤波器u, v = np.mgrid[-1:1:2.0/shape[0], -1:1:2.0/shape[1]]D = np.sqrt(u**2 + v**2)kernel = -4 * np.pi**2 * D**2return kerneldef imgHPfilter(image, lpTyper="Laplacian"):  #　频域高通滤波# (1) 中心化, centralized 2d array f(x,y) * (-1)^(x+y)mask = np.ones(image.shape)mask[1::2, ::2] = -1mask[::2, 1::2] = -1fImage = image * mask  # f(x,y) * (-1)^(x+y)# (2) 最优 DFT 扩充尺寸, 快速傅里叶变换的尺寸扩充rows, cols = image.shape[:2]  # 原始图片的高度和宽度rPadded = cv2.getOptimalDFTSize(rows)  # 最优 DFT 扩充尺寸cPadded = cv2.getOptimalDFTSize(cols)  # 用于快速傅里叶变换# (3) 边缘扩充(补0), 快速傅里叶变换dftImage = np.zeros((rPadded, cPadded, 2), np.float32)  # 对原始图像进行边缘扩充dftImage[:rows, :cols, 0] = fImage  # 边缘扩充，下侧和右侧补0cv2.dft(dftImage, dftImage, cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)  # 快速傅里叶变换 (rPad, cPad, 2)# (4) 构建 频域滤波器传递函数: 以 Laplacian 为例LapFilter = LaplacianFilter((rPadded, cPadded))  # 拉普拉斯滤波器# (5) 在频率域修改傅里叶变换: 傅里叶变换 点乘 滤波器传递函数dftFilter = np.zeros(dftImage.shape, dftImage.dtype)  # 快速傅里叶变换的尺寸(优化尺寸)for j in range(2):dftFilter[:rPadded, :cPadded, j] = dftImage[:rPadded, :cPadded, j] * LapFilter# (6) 对高通傅里叶变换 执行傅里叶逆变换，并只取实部idft = np.zeros(dftImage.shape[:2], np.float32)  # 快速傅里叶变换的尺寸(优化尺寸)cv2.dft(dftFilter, idft, cv2.DFT_REAL_OUTPUT + cv2.DFT_INVERSE + cv2.DFT_SCALE)# (7) 中心化, centralized 2d array g(x,y) * (-1)^(x+y)mask2 = np.ones(dftImage.shape[:2])mask2[1::2, ::2] = -1mask2[::2, 1::2] = -1idftCen = idft * mask2  # g(x,y) * (-1)^(x+y)# (8) 截取左上角，大小和输入图像相等result = np.clip(idftCen, 0, 255)  # 截断函数，将数值限制在 [0,255]imgFilter = result.astype(np.uint8)imgFilter = imgFilter[:rows, :cols]return imgFilter# (1) 读取原始图像img = cv2.imread("../images/Fig0338a.tif", flags=0)  # NASA 月球影像图rows, cols = img.shape[:2]  # 图片的高度和宽度print(rows, cols)# (2) 空间域 拉普拉斯算子 (Laplacian)# 使用函数 filter2D 实现 Laplace 卷积算子kernLaplace = np.array([[0, 1, 0], [1, -4, 1], [0, 1, 0]])  # Laplacian kernelimgLaplace1 = cv2.filter2D(img, -1, kernLaplace, borderType=cv2.BORDER_REFLECT)# 使用 cv2.Laplacian 实现 Laplace 卷积算子imgLaplace2 = cv2.Laplacian(img, -1, ksize=3)imgLapReSpace = cv2.add(img, imgLaplace2)  # 恢复原图像# (3) 频率域 拉普拉斯算子 (Laplacian)imgLaplace = imgHPfilter(img, "Laplacian")  # 调用自定义函数 imgHPfilter()imgLapRe = cv2.add(img, imgLaplace)  # 恢复原图像plt.figure(figsize=(10, 6))plt.subplot(131), plt.imshow(img, 'gray'), plt.title("Origin from NASA"), plt.xticks([]), plt.yticks([])plt.subplot(132), plt.imshow(imgLapReSpace, 'gray'), plt.title("Spatial Lapalacian"), plt.xticks([]), plt.yticks([])plt.subplot(133), plt.imshow(imgLapRe, 'gray'), plt.title("Freauency Lapalacian"), plt.xticks([]), plt.yticks([])plt.tight_layout()plt.show()

（本节完）

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