微积分引子
微积分
只是想写一写加深印象而已,作者是个蒟蒻。(借鉴了很多其他题解的解释)
看了一些大佬们关于微积分的讲解,逐步摸清了微积分的轮廓。
对于微积分最关键也是源头来源于不规则几何形状的求解。
譬如举个例子:
这个一次函数和二次函数之间围成的矩形怎么求解?(思考一下)
在这里我们就需要用到极限思想去想方设法去用规则的图形逼近这个不规则的曲面的面积,我们可以用三角形。
请注意并不是可以将三角形随便乱摆,我们要尽可能要用三角形覆盖掉尽可能多的面积,也就是初中所学的关于此类问题三角形的最大值,其实作者做的这个图不太完美,大家可以仔细观察可以得到,中间的三角形的面积等于左右两旁三角形面积和的4倍(误差是由精度造成的)。然后就像这样再以各两旁三角形为基础往各自两个曲面尽可能的放进一个三角形。
可以发现这新加入的四个三角形又是前两个三角形的面积和的1/4倍。
那么我们可以一直放三角形一直放到无限接近于此曲面的面积。假设我放了n轮三角形,(已经无限接近曲面面积)。三角形ABC面积为x。
则有
Sn=x+14x+(14)2x+...+(14)nSn=x+\frac{1}{4}x+(\frac{1}{4})^2x+...+(\frac{1}{4})^nSn=x+41x+(41)2x+...+(41)n
很明显这是一个等比数列求和,套进去。
等比数列:
Sumn=a1(1−qn)1−qxSum_n=\frac{a1(1-q^n)}{1-q}xSumn=1−qa1(1−qn)x
Sn=4−14n−13xSn=\frac{4-\frac{1}{4^{n-1}}}{3}xSn=34−4n−11x
当n趋向于无穷多时,可以把−14n−1-\frac{1}{4^{n-1}}−4n−11视为零,也就是说这个曲面的面积为43x\frac{4}{3}x34x。
这里就是具有类似于积分的思想了,那么我们接着拓展。
对于曲面面积的计算其实大部分时候用的是矩形来逼近。
就例如f(x)=x2f(x)=x^2f(x)=x2
看到那个绿色的矩形了吗,(画的粗糙了),我们把它的横长缩小到无限小,从我们的视角来看,这个矩阵是不是就很贴近这个二次函数了。(脑补一下)
那么我们来求一下这个函数0~1部分与x轴之间的面积,又是一个曲面,但这次大家可以尝试着自己写一下面积表达式。(0 ~ 1之间分成x个矩阵)
Sn=1x(1x)2+1x(2x)2+...+1x(xx)2Sn=\frac{1}{x}(\frac{1}{x})^2+\frac{1}{x}({\frac{2}{x}})^2+...+\frac{1}{x}(\frac{x}{x})^2Sn=x1(x1)2+x1(x2)2+...+x1(xx)2
因式分解:
Sn=1x3(12+22+...+x2)Sn=\frac{1}{x^3}(1^2+2^2+...+x^2)Sn=x31(12+22+...+x2)
然后就用平方和公式化简一下。
Sn=1x3(2x3+3x2+x6)Sn=\frac{1}{x^3}(\frac{2x^3+3x^2+x}{6})Sn=x31(62x3+3x2+x)
Sn=13+12x+16x2Sn=\frac{1}{3}+\frac{1}{2x}+\frac{1}{6x^2}Sn=31+2x1+6x21
很明显,跟上面的例子一样,x趋近于无限大时,后面两项都可以省略,曲面面积就为1/3。
其实这两个的过程实际上是微积分中积分的部分。
对于第二个例子我们可以通过一个式子来表示
∫01f(x)dx\int_{0}^{1}f(x)dx∫01f(x)dx
表示的就是在0~1范围里f(x)与x轴围成的面积,其中f(x)*dx表示的其实就是一个个矩形的面积,dx表示无限小的横长。
其实微积分的精髓就是微分和积分的相互转换,他们其实是一对互逆运算的关系。也就是说反向积分为微分,反向微分为积分。
然后我们再说说关于微分的部分,关于这一部分,就不得不涉及到求导的应用了。
对于f(x)有导函数f‘(x)。(导函数简单来说其实就是原函数个点的斜率函数)
举个例子。f(x)=13x3\frac{1}{3} x^331x3
那么它的导函数就应该为f′(x)=f(x+dx)−f(x)dx+x−xf'(x)=\frac{f(x+dx)-f(x)}{dx+x-x}f′(x)=dx+x−xf(x+dx)−f(x)
算出来f′(x)=x2f'(x)=x^2f′(x)=x2
那我们再把上面的问题掏出来问一遍,f(x)=x2f(x)=x^2f(x)=x2 0~1的函数图像与x轴围成的面积为多少。
很简单,直接就是原函数f(1)−f(0)=13f(1)-f(0)=\frac{1}{3}f(1)−f(0)=31
这就算完了。这就是微积分就重要的思想体现之一,对于一个函数,反向求导可以b表示其函数的面积,你想一想是不是。
于是就有了微积分基本定理,也称牛顿-莱布尼茨公式,令F(x)为f(x)的反向求导的结果(反向微分),也就是它的原函数。
那么就有
∫abf(x)dx=F(b)−F(a)\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)∫abf(x)dx=F(b)−F(a)
还有就是关于极小值的问题(因为这个数十分不严谨),这一个会有一个ε−δ\varepsilon-\deltaε−δ极限来定义。
这就是求导成为了这个样子。
f′(x)=limΔx→0f(x+Δx)−f(x)x+Δx−xf'(x)=\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{x+\Delta x-x}f′(x)=Δx→0limx+Δx−xf(x+Δx)−f(x)
这里严格用极限这个定义来解释了无限趋近这一动态问题。使微积分开始变为了一个严谨的数学概念。
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2022/11/19 21:17:11 - 配置 已完成 请勿关闭计算机,win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机”的解决方法...
今天和大家分享一下win7系统重装了Win7旗舰版系统后,每次关机的时候桌面上都会显示一个“配置Windows Update的界面,提示请勿关闭计算机”,每次停留好几分钟才能正常关机,导致什么情况引起的呢?出现配置Windows Update…...
2022/11/19 21:17:10 - 电脑桌面一直是清理请关闭计算机,windows7一直卡在清理 请勿关闭计算机-win7清理请勿关机,win7配置更新35%不动...
只能是等着,别无他法。说是卡着如果你看硬盘灯应该在读写。如果从 Win 10 无法正常回滚,只能是考虑备份数据后重装系统了。解决来方案一:管理员运行cmd:net stop WuAuServcd %windir%ren SoftwareDistribution SDoldnet start WuA…...
2022/11/19 21:17:09 - 计算机配置更新不起,电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?
原标题:电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?win7系统中在开机与关闭的时候总是显示“配置windows update请勿关闭计算机”相信有不少朋友都曾遇到过一次两次还能忍但经常遇到就叫人感到心烦了遇到这种问题怎么办呢?一般的方…...
2022/11/19 21:17:08 - 计算机正在配置无法关机,关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机...
关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!关机提示 windows7 正在配…...
2022/11/19 21:17:05 - 钉钉提示请勿通过开发者调试模式_钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用...
钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用 更新时间:2020-04-20 22:24:19 浏览次数:729次 区域: 南阳 > 卧龙 列举网提醒您:为保障您的权益,请不要提前支付任何费用! 虚拟位置外设器!!轨迹模拟&虚拟位置外设神器 专业用于:钉钉,外勤365,红圈通,企业微信和…...
2022/11/19 21:17:05 - 配置失败还原请勿关闭计算机怎么办,win7系统出现“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”,长时间没反应,无法进入系统的解决方案...
前几天班里有位学生电脑(windows 7系统)出问题了,具体表现是开机时一直停留在“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”这个界面,长时间没反应,无法进入系统。这个问题原来帮其他同学也解决过,网上搜了不少资料&#x…...
2022/11/19 21:17:04 - 一个电脑无法关闭计算机你应该怎么办,电脑显示“清理请勿关闭计算机”怎么办?...
本文为你提供了3个有效解决电脑显示“清理请勿关闭计算机”问题的方法,并在最后教给你1种保护系统安全的好方法,一起来看看!电脑出现“清理请勿关闭计算机”在Windows 7(SP1)和Windows Server 2008 R2 SP1中,添加了1个新功能在“磁…...
2022/11/19 21:17:03 - 请勿关闭计算机还原更改要多久,电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机怎么办...
许多用户在长期不使用电脑的时候,开启电脑发现电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机。。.这要怎么办呢?下面小编就带着大家一起看看吧!如果能够正常进入系统,建议您暂时移…...
2022/11/19 21:17:02 - 还原更改请勿关闭计算机 要多久,配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以...
配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机&#x…...
2022/11/19 21:17:01 - 电脑配置中请勿关闭计算机怎么办,准备配置windows请勿关闭计算机一直显示怎么办【图解】...
不知道大家有没有遇到过这样的一个问题,就是我们的win7系统在关机的时候,总是喜欢显示“准备配置windows,请勿关机”这样的一个页面,没有什么大碍,但是如果一直等着的话就要两个小时甚至更久都关不了机,非常…...
2022/11/19 21:17:00 - 正在准备配置请勿关闭计算机,正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了解决教程...
当电脑出现正在准备配置windows请勿关闭计算机时,一般是您正对windows进行升级,但是这个要是长时间没有反应,我们不能再傻等下去了。可能是电脑出了别的问题了,来看看教程的说法。正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了方法一…...
2022/11/19 21:16:59 - 配置失败还原请勿关闭计算机,配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机...
我们使用电脑的过程中有时会遇到这种情况,当我们打开电脑之后,发现一直停留在一个界面:“配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机”,等了许久还是无法进入系统。如果我们遇到此类问题应该如何解决呢࿰…...
2022/11/19 21:16:58 - 如何在iPhone上关闭“请勿打扰”
Apple’s “Do Not Disturb While Driving” is a potentially lifesaving iPhone feature, but it doesn’t always turn on automatically at the appropriate time. For example, you might be a passenger in a moving car, but your iPhone may think you’re the one dri…...
2022/11/19 21:16:57