浅谈进制

进制 二进制0b 十进制 八进制0 十六进制0x

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这里从最基础的开始：数字系统的由来，讲起

数字系统的由来

1.远古时代：

用结绳记事，或者石板上刻道道来计数

不方便，数据大时难数

非位置化数字系统：

2.罗马数字

比如罗马数字里：V表示5，当三个V排一起时：

VVV表示的不是五百五十五，而是单纯表示三个5相加，是15

这就是非位置化数字系统

3.位置化数字系统

人类现在使用的基本上都是位置化数字系统

而非位置化数字系统由于效率太低，现在基本上已经不使用了

二进制 八进制 十进制 十六进制都是位置化数字系统

由于人类有十根手指，所以很自然的人类选择了用十进制进行数学运算，但是计算机是由复杂的电路和电子元件组成的。他们并没有十根手指，只有通电和不通电两种形式，也就是计算机用二进制来进行数据和程序的存储和运算（二进制也就是0和1，0代表通电，1代表不通电）

这里为了好讲二进制，先讲十进制以便于理解

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十进制原理

十进制用10个可用符号来表示1个数字

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

就比如这个数字：

百位 十位 个位

2 3 5

2×100 + 3×10 + 5×1

这个235就代表了三个数字的和：2×100+3×10+5×1

换一种方式来表示就是：2×10^2+3×10^1+5×10^0

那么在二进制中

二进制原理

二进制用2个可用符号来表示1个数字

0 1

在十进制中，我们可以把0123456789十种不同的符号放到不同的位置（十位个位百位......），组成不同的数字

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所以在二进制中，我们同样可以把不同的符号，放入不同的位置，组成不同的数字

例： 1 0 1 1

这个1011就表示了：

1×2^3 + 0×2^2 + 1×2^1 + 1×2^0

1×8 + 0×4 + 1×2 + 1×1

也就是8 + 0 + 2 + 1 = 11（10）

注意：这里得到的11是十进制的，因为括号里是10，这里小括号应该是右小角的下角标小括号，这里打不出来，将就着看叭

在10进制中，10^0=1，所以第一位是个位，10^1是十位，10^2是百位

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类似的，在二进制中：

八位 四位 二位 个位

1×2^3 + 0×2^2 + 1×2^1 + 1×2^0

2的0次方=1，2的1次方=2，2的2次方=4，2的3次方=8

类似的11010就是1×2^4+1×2^3+0×2^2+1×2^1+0×2^0=26(10)

所以二进制中的11010=十进制中的26

所以二进制中的11010=十进制中的26

所以二进制中的11010=十进制中的26

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那么八进制和十六进制，就是分别用八个和十六个可用符号来表示数字

八进制

八进制用8个可用符号来表示一个数字：

0 1 2 3 4 5 6 7

八进制的数字和十进制的数字其实也是一一对应的

八进制的01234567其实就对应十进制的01234567（10）

2 7 7（8）

2×8^2 + 7×8^1 + 7×8^0

=128 + 56 + 7 = 191(10)

也就是八进制中的277等于十进制中的191

十六进制

十六进制用16个可用符号来表示一个数字：

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

十六进制的0123456789ABCDEF其实对应十进制的0123456789 10 11 12 13 14 15（10）

2 A E(16)

2×16^2 + 10×16^1 + 14×10^0

=2×256 + 10×16 + 14×1

=512 + 160 + 14 = 686（10）

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现在我们知道了其他进制的数字是怎么转化为十进制的，现在学十进制转化为计算机能识别的二进制和其他进制

方法：连除法

十进制转化为二进制：

如：29（10）

⬇/2

14 （10） 余 → 1 ↑

⬇/2 ↑

7 （10） 余 → 0 ↑

⬇/2 ↑ ➡➡就得到29（10）=11101(2)

3 （10） 余 → 1 ↑

⬇/2 ↑

1 （10） 余 → 1 ↑

⬇/2 ↑

0 （10） 余 → 1 ↑

一直除到此处为0就可以结束了 ，然后把右边的余数从下往上排列

十进制转化为八进制：

如：900（10）

⬇/8

112（10） 余 → 4 ↑

⬇/8 ↑

14 （10） 余 → 0 ↑

⬇/8 ↑ ➡➡得到4061（8）=900（10）

1 （10） 余 → 6 ↑

⬇/8 ↑

0 （10） 余 → 1 ↑

同样把右边的余数从下往上排列

十进制转化为十六进制：

如：2717（10）

⬇/16 ↑

169（10） 余 → 13（10） ↑

⬇/16 ↑

10 （10） 余 → 9 （10） ↑ ➡➡得到2717(10)=0A9D(16)

⬇/16 ↑

0 （10） 余 → 10（10） ↑

同样把右边的余数从下往上排列

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还有二进制|八进制|十六进制之间的相互转换：

1.由于2^3=8，所以每3位二进制可以转换为1位八进制

如：10111001（2）

按三位数排，排成10 111 001

从右往左数

最后两位不够了要补个0，0放在前面，也就是补成 010 111 001

从右边第一位数开始，前三位是100，也就是1×2^0+0×2^1+0×2^2=1

0 0 1

0×2^2 0×2^1 1×2^0

再往左三位，是111，也就是1×2^0+1×2^1+1×2^2=7

最后三位，010，0×2^0+1×2^1+0×2^2=2

这里同样是从下往上排

所以得到10111001（2）=271（8）

2.由于2^4=16，所以每4位二进制可以转换为1位十六进制

如：10111001（2）

按四位数排，排成1011 1001

从右往左数

从右边第一位数开始，前四位是1001，也就是1×2^0+0×2^1+0×2^2+1×2^3=9

再往左三位，是1101，也就是1×2^0+0×2^1+1×2^2+1×2^3=B

从下往上排

得到10111001（2）=B9（16）

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到这里就完全掌握了进制的相互转换

如果有同学想练习，可以把任意一个进制的数字转换成其他进制，网上有很多进制转换器，可以检查自己转换的对错。

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------所属院校：忻州师范学院

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------制作：索文涛