上一篇： 1.2 高斯消元法与矩阵的初等变换

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一，逆矩阵的概念与性质

二，用行初等变换求逆矩阵

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一，逆矩阵的概念与性质

        前面我们定义了矩阵的加法，减法和乘法三种运算。自然的，欲在矩阵中引入类似于除法的概念，其关键在于引入类似于倒数的概念。

        对于任意方阵A，有AI=IA=A.所以，从矩阵的乘法角度来看，单位矩阵I类似于数1的作用。一个数a≠0的倒数可用来刻画，类似的，我们引入逆矩阵的概念。

        定义    设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使得AB=BA=I,则称A是可逆矩阵，简称A可逆，并称B是A的逆矩阵。

        定理1  设A是逆矩阵，则它的逆矩阵是唯一的。

有定义可知，若B是A的逆矩阵，则A亦是B的逆矩阵，它们互为逆矩阵。

若A可逆，则A的逆矩阵存在，记为,且

要注意的是，并不是所有的矩阵都有逆矩阵，例如矩阵 不可能有逆矩阵，这是因为它与任何二阶矩阵的乘积都不可能为单位矩阵。

我们可以用待定系数法求n阶矩阵的逆矩阵，但当n较大时，工作量很大，并不方便，后面将介绍简便的方法，在此之前，我们要先研究一下逆矩阵的性质。

定理2  设A,B均为n阶可逆矩阵，数≠0，则

1）可逆，且;

2)可逆，且;

3)AB可逆，且

4)可逆，且

初等矩阵是可逆的，且逆矩阵仍为初等矩阵

定理 3 设A为n阶矩阵，则下列各命题是等价的：

1.A是可逆的；

2.齐次线性方程组AX=0只有零解

3.A与I行等价

4.A可表示为有限个初等矩阵的乘积

推论：设A为n阶矩阵，则非齐次线性方程组AX=b有唯一解的充要条件是A可逆

二，用行初等变换求逆矩阵

现在我们介绍一个求的简便方法，设A可逆，故存在初等矩阵使得,即

因此，如果用一系列初等变换将A化为I，则用同样的行初等变换就将I化为.

这就给我们提供了一个计算的有效方法：若对（A,I）施以行初等变换将A变为I，则I就变为I,则I就变成了 

例  利用行初等变换求的逆矩阵

 

 值得注意的是：用行初等变换求逆矩阵时，必须始终用行初等变换，期间不能做列初等变换。

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