一、2D变换（2D Transformation）

（1）放缩（Scale）
①2D场景中将图形等比例缩小0.5倍，该操作对应的图像以及坐标变换如下。

②坐标变换可以写成矩阵形式。

③也可以不等比例进行放缩，对应的图像以及坐标变换如下：

（2）翻转（Reflection）
①2D场景中将图形绕y轴翻转，该操作对应的图像以及坐标变换如下。

（3）剪切变换（Shear Transformation）

（4）旋转（Rotate）
①计算机图形学中，默认绕着（0,0）逆时针旋转。
②2D场景中将图形绕原点旋转45度，该操作对应的图像以及坐标变换如下。

（5）线性变换
①上述操作的坐标变换都可以写成x和y的组合变换，同时可以写成矩阵形式，此时有一个变换矩阵。

二、齐次坐标（Homogeneous coordinates）

（1）平移 transiation

①发现平移的公式无法改写成线性变换对应的矩阵形式公式。
②此时只能改写成如下形式，但这种情况并不是线性变换，因此引入了齐次坐标来尝试解决。

（2）2D齐次坐标
①点的第三维为1，因为点平移会发生变化。
②向量的第三维为0，因为向量具有平移不变性。
③向量与点的齐次坐标运算性质如下图。

④其中，点+点表示这两个点的中点。

（3）仿射变换（Affine Transformations）
①仿射变换指的是进行一次线性变换，然后进行一次平移。
②仿射变换对应的变换矩阵如下。

三、逆变换（Inverse Transform）

（1）逆变换为变换的逆操作。
（2）逆变换对应的矩阵为变换矩阵的逆矩阵。

四、组合变换（Compose Transform）

（1）下图对同一张图按照不同顺序分别进行了两种操作：

①上图先进行平移，再旋转。
②下图先进行旋转，再平移。
③由于每次变换都相当于左乘一个矩阵，操作的顺序会影响矩阵相乘的顺序，从而影响最终的结果。写成公式形式如下图。

（2）组合变换推广
①从两次操作的组合变换推广到多次操作的组合变换。

（3）组合变换分解

①图上所给的例子为如何获得绕点c旋转的变换矩阵。
②先做平移-c回到原点，再旋转对应角度，最后做平移c返回原位。

五、3D变换（3D Transformation）

（1）3D变换中，点和向量对应的齐次坐标如下，在最后一行分别添加1或0即可。

（2）进行仿射变换的3D变换对应的齐次矩阵如下。
①同样是先进行线性变换，再进行平移操作。

参考文献

课程视频链接: GAMES101 Lecture03 Transformation